第5章第2节泰勒公式课件

引言本节从利用一阶导数做近似计算及估计误差入手,导入Taylor公式利用高阶导数和多项式函数做一般函数的近似计算及估计误差.

主要内容

1.利用一阶导数做近似计算

(1)近似计算;(2)估计误差

2.Taylor公式及几种余项形式1/5/20231

1.近似计算于是一、利用(一阶)导数作近似计算指的是对复杂函数用简单计算方法得到一定精度的计算结果.yxo1/5/202321.近似计算于是一、利用(一阶)导数作近似计算指的是对复杂这就是利用导数作近似计算的公式。.

1/5/20233这就是利用导数作近似计算的公式。.12/20/2022例1.如图，加工圆锥台时计算刀架应取角.s因一般相当小，故解：于是从而1/5/20234例1.如图，加工圆锥台时计算刀架应取角.s因例2.开方的近似计算.常用近似公式（充分小有）：

由此可得1/5/20235例2.开方的近似计算.常用近似公式（充分小例3.计算的近似值.解：查表得0.4848加题1/5/20236例3.计算的近误差估计例如：设计一根轴长度120毫米，加工后量得120.03毫米，误差为毫米.设计一个键销长度12毫米，加工后量得12.03毫米，误差为毫米.称这种误差为绝对误差，表明了一个量与它的近似值之间的差值，反映了某种近似程度.是指估计近似值与精确值的差1/5/20237误差估计例如：设计一根轴长度120毫米，加工后量得120.0上例中，尽管他们的绝对误差相等，但明显地，轴长（120毫米）的精度要比键销（12毫米）的精度高。可见，一个量的近似精度依赖于其绝对误差和这个量本身的大小，故需计算绝对误差占总长度的百分比（即相对误差）.例如：轴：键销：称这样的百分比为相对误差.显然，轴长精度比键销长的精度高得多.一般地，有定义：1/5/20238上例中，尽管他们的绝对误差相等，但明显地，轴长Def:相对误差1/5/20239Def:相对误差12/20/20229例4.

多次测量一根圆钢,测得其直径的平均值为D＝50毫米，绝对误差不超过0.05毫米.试计算其截面积,并估计其误差.解：S的绝对误差：相对误差：1/5/202310例4.多次测量一根圆钢,测得其直径的平均值为D＝50毫二、Taylor公式简单函数多项式复杂的函数近似表示从而近似公式近似计算和理论分析中1/5/202311二、Taylor公式简单函数多项式复杂的函数近似表示从而近为提高近似精度，可用二次多项式作近似代替（二阶近似）且要求一般地，可用n次多项式作近似代替（n阶近似）且…1/5/202312为提高近似精度，可用二次多项式作近似代替（二阶近似）且要求一1/5/20231312/20/202213例5.

上述公式表明，近似式阶数越高，近似程度越好.近似程度是多少？教材P198例41/5/202314例5.上述公式表明，近似式阶数越高，近似程度越好.近似Th：Taylor公式（也称马克劳林(Maclaurin)公式），式中叫做Lagrange

余项.此函数可表示为以下多项式函数形式1/5/202315Th：Taylor公式（也称马克劳林(Maclaurin证明：作辅助函数再作辅助函数1/5/202316证明：作辅助函数再作辅助函数12/20/202216利用Cauchy定理，得Lagrange余项还可写为：又因此余项又可表示为称为皮亚诺(Peano)余项.,将以下代入上式得:(证毕)1/5/202317利用Cauchy定理，得Lagrange余项还可写为：又因注1：

Cauchy余项注2：由余项可见，不论缩小x或增大阶数n都可提高精度.1/5/202318注1：Cauchy余项注2：由余项可见，不论缩小x或增大Lagrange余项或Peano余项1/5/202319Lagrange余项或Peano余项12/20/2022例5中,误差为(Lagrange余项)1/5/202320例5中,误差为(Lagrange余项)12/20/2022例6.求的幂函数展开式时的Maclaurin公式解:所以Lagrange余项1/5/202321例6.求的幂函数展开式时的Maclaurin公式解:所以L加题Maclaurin公式1/5/202322加题Maclaurin公式12/20/202222例7.Peano余项.Maclaurin公式

解:

…………将x=0依次代入，得1/5/202323例7.Peano余项.Maclaurin公式解:特别，二项式展开公式Peano余项.1/5/202324特别，二项式展开公式Peano余项.12/20/202224例8.Peano余项.Maclaurin公式展开解:加题同学们做题要多算几项找出规律1/5/202325例8.Peano余项.Maclaurin公式展开解:加题同例9.解：加题Peano余项.分项分式法利用前面ppt24结果对两项分别展开1/5/202326例9.解：加题Peano余项.分项分式法利用前面ppt24结例10.解：加题Peano余项.利用例8结果展开然后再还原1/5/202327例10.解：加题Peano余项.利用例8然后再还原12/20例11.求注3.

函数的Taylor公式是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段，从而可将无理或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解，大大简化计算.Peano余项.加题1/5/202328例11.求注3.函数的Taylor公式是函数小结:

1.利用一阶导数做近似计算公式相对误差

2.绝对误差Taylor公式:把一个一般函数用n次多项式函数表示的形式.(高阶导数)注意:(1)系数(2)余项形式Maclaurin公式是Taylor公式的特殊形式.作业:P2032.3.7(1).(3)估计误差:使用方法1/5/202329小结:1.利用一阶导数做近似计算公式相对误差

引言本节从利用一阶导数做近似计算及估计误差入手,导入Taylor公式利用高阶导数和多项式函数做一般函数的近似计算及估计误差.

主要内容

1.利用一阶导数做近似计算

(1)近似计算;(2)估计误差

2.Taylor公式及几种余项形式1/5/202330

1.近似计算于是一、利用(一阶)导数作近似计算指的是对复杂函数用简单计算方法得到一定精度的计算结果.yxo1/5/2023311.近似计算于是一、利用(一阶)导数作近似计算指的是对复杂这就是利用导数作近似计算的公式。.

1/5/202332这就是利用导数作近似计算的公式。.12/20/2022例1.如图，加工圆锥台时计算刀架应取角.s因一般相当小，故解：于是从而1/5/202333例1.如图，加工圆锥台时计算刀架应取角.s因例2.开方的近似计算.常用近似公式（充分小有）：

由此可得1/5/202334例2.开方的近似计算.常用近似公式（充分小例3.计算的近似值.解：查表得0.4848加题1/5/202335例3.计算的近误差估计例如：设计一根轴长度120毫米，加工后量得120.03毫米，误差为毫米.设计一个键销长度12毫米，加工后量得12.03毫米，误差为毫米.称这种误差为绝对误差，表明了一个量与它的近似值之间的差值，反映了某种近似程度.是指估计近似值与精确值的差1/5/202336误差估计例如：设计一根轴长度120毫米，加工后量得120.0上例中，尽管他们的绝对误差相等，但明显地，轴长（120毫米）的精度要比键销（12毫米）的精度高。可见，一个量的近似精度依赖于其绝对误差和这个量本身的大小，故需计算绝对误差占总长度的百分比（即相对误差）.例如：轴：键销：称这样的百分比为相对误差.显然，轴长精度比键销长的精度高得多.一般地，有定义：1/5/202337上例中，尽管他们的绝对误差相等，但明显地，轴长Def:相对误差1/5/202338Def:相对误差12/20/20229例4.

多次测量一根圆钢,测得其直径的平均值为D＝50毫米，绝对误差不超过0.05毫米.试计算其截面积,并估计其误差.解：S的绝对误差：相对误差：1/5/202339例4.多次测量一根圆钢,测得其直径的平均值为D＝50毫二、Taylor公式简单函数多项式复杂的函数近似表示从而近似公式近似计算和理论分析中1/5/202340二、Taylor公式简单函数多项式复杂的函数近似表示从而近为提高近似精度，可用二次多项式作近似代替（二阶近似）且要求一般地，可用n次多项式作近似代替（n阶近似）且…1/5/202341为提高近似精度，可用二次多项式作近似代替（二阶近似）且要求一1/5/20234212/20/202213例5.

上述公式表明，近似式阶数越高，近似程度越好.近似程度是多少？教材P198例41/5/202343例5.上述公式表明，近似式阶数越高，近似程度越好.近似Th：Taylor公式（也称马克劳林(Maclaurin)公式），式中叫做Lagrange

余项.此函数可表示为以下多项式函数形式1/5/202344Th：Taylor公式（也称马克劳林(Maclaurin证明：作辅助函数再作辅助函数1/5/202345证明：作辅助函数再作辅助函数12/20/202216利用Cauchy定理，得Lagrange余项还可写为：又因此余项又可表示为称为皮亚诺(Peano)余项.,将以下代入上式得:(证毕)1/5/202346利用Cauchy定理，得Lagrange余项还可写为：又因注1：

Cauchy余项注2：由余项可见，不论缩小x或增大阶数n都可提高精度.1/5/202347注1：Cauchy余项注2：由余项可见，不论缩小x或增大Lagrange余项或Peano余项1/5/202348Lagrange余项或Peano余项12/20/2022例5中,误差为(Lagrange余项)1/5/202349例5中,误差为(Lagrange余项)12/20/2022例6.求的幂函数展开式时的Maclaurin公式解:所以Lagrange余项1/5/202350例6.求的幂函数展开式时的Maclaurin公式解:所以L加题Maclaurin公式1/5/202351加题Maclaurin公式12/20/202222例7.Peano余项.Maclaurin公式

解:

…………将x=0依次代入，得1/5/202352例7.Peano余项.Maclaurin公式解:特别，二项式展开公式Peano余项.1/5/202353特别，二项式展开公式Peano余项.12/20/202224例8.Peano余项.