初升高衔接-公开课教学设计

集合学习本章之前需要掌握简单方程和不等式求解的基本知识，学完本章之后，我们将会明白如下几个问题：什么样的群体是一个集合，如何来表示一个集合；集合之间有怎样的关系，特别地，子集是一个怎样特殊的集合；集合之间常见的运算有哪些？1．1集合的概念及集合之间的关系为了方便讨论，我们需要在一定范围内，按一定标准对所讨论的事物进行分类.分类后，我们会用一些术语来描述它们，例如“群体”、“全体”、“集合”等.一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set）.集合中的每一个对象称为该集合的元素（element），简称元.为了方便书写，我们通常用大写拉丁字母来表示集合，例如集合、集合等.特别地，自然数集记作N，正整数集记作N或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.集合的元素常用小写拉丁字母表示，如果是集合的元素，那么就记作，读作“属于”，例如，R；如果不是集合的元素，那么就记作或，读作“不属于”，例如，Q.列举法和描述法是表示集合的常用方式.列举法将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内，用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关.例如，集合{苏州，杭州}.如果两个集合所含的元素完全相同（即中的元素都是中的元素，中的元素也都是中的元素），那么称这两个集合相等，如{杭州，苏州}={苏州，杭州}.描述法将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成的形式，如：N.有时用Venn图示意集合，更加直观（如图1-1-1）.杭州，苏州杭州，苏州0，1，2（2）图1-1-1一个集合可以用不同的方法表示.例如，由不等式的所有非负整数解构成的集合，可以表示为下列形式.(1)列举法：；(2)描述法：N（也可以是为不等式的所有非负整数解）.例1.求不等式的解集.解：由可得，所以不等式的解集合为R.这里，R可简记为.例1中的解集的元素有无限多个.一般地，含有有限个元素的集合称为有限集（finiteset），含有无限个元素的集合称为无限集（infiniteset）.我们把不含任何元素的集合称为空集（emptyset），记作.例如，集合R就是空集.如果集合的任意一个元素都是集合的元素（若，则），那么集合称为集合的子集（subset），记为或，读作“集合包含于集合”或“集合包含集合”.图1-1-2可以用Venn图来表示（图1-1-2）.图1-1-2根据子集的定义，我们知道.也就是说，任何一个集合是它本身的子集.对于空集，我们规定，即空集是任何集合的子集.思考：与能否同时成立？例2.写出集合的所有子集.解：集合的所有子集是，，，.思考：集合有多少个子集？如果，并且，那么集合称为集合的真子集（subset），记为⫋或，读作“集合真包含于集合”或“集合真包含集合”，如⫋.例3.下列各组的3个集合中，哪两个集合之间具有包含关系.(1)；图1-1-3(2)R，RR；图1-1-3(3)为地球人为中国人为外国人.解：在(1)、(2)、(3)中都有⫋，⫋，可用图1-1-3来表示.思考：观察例3中每一组3个集合，他们之间还有什么关系？图1-1-4设，由中不属于的所有元素组成的集合称为的子集的补集（complementaryset），记作，读作“在中的补集”，即图1-1-4且.可用图1-1-4中的阴影部分来表示.对于例3，我们有.如果集合包含我们所要研究的各个集合，这时可以看作一个全集（universalset），全集通常记作.例如，在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集.例4.不等式组的解集为，R，试求及.解：，且，，或，在数轴上分别表示如下.(1)(1)(2)图1-1-5为了方便，我们常常会用到区间的概念，设R，且，规定，，，，，，，.分别叫做闭区间、开区间；叫做半开半闭区间；叫做相应区间的端点.例如，例4中的集合可以表示为，读作“到的左开右闭区间”；集合可表示为，读作“到正无穷的开区间”.

习题A组1.用列举法表示下列集合：(1)为15的正约数；(2)“mathematics”中字母组成的集合.2.用描述法表示下列集合：(1)正奇数的集合；(2)不等式的解集.3.用“”或“”填空:(1)若，则，.(2)若N，则，.4.判断下列表示是否正确：(1)；(2)；(3)；(4)⫋.5.若Z，Z，Z，则，.B组6.已知数集，那么实数不能取那些值？7.已知集合N，N，用列举法表示集合.8.已知，求当时，实数的取值范围.C组9.已知集合Z，求证：若，则.

1．2集合的简单运算在中的补集是由给定的两个集合得到的一个新集合.这种由两个给定的集合得到一个新集合的过程成为集合运算.其实，由两个集合（或几个集合）得到一个新集合的方式有很多，集合的交和并就是常见的两种集合运算.一般地，由所有属于集合且属于集合的元素构成的集合，称为 与的交集（intersectionset），记作，读作“交”，即，且.图1-2-1可用图1-2-1中的阴影部分来表示.图1-2-1思考：可能成立吗？可能成立吗？一般地，由所有属于集合或者属于集合的元素构成的集合，称为 与的并集（unionset），记作，读作“并”，即，或.图1-2-2可用图1-2-2中的阴影部分来表示.图1-2-2思考：可能成立吗？是什么集合？例1.设，求和.解：，.

例2.学校举办排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛.后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛.已知两项都参加的有6名同学.两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加比赛？图1-2-3(6)(6)(14)解设为参加排球赛的同学，为参加田径赛的同学，则为排球赛和田径赛都参加的同学.图1-2-3(6)(6)(14)画出Venn图（图1-2-3），可知没有参加过比赛的同学有（名）答这个班共有19名同学没有参加过比赛.思考：如果我们用表示有限集中元素的个数，且已知为有限集，那么这四个集合的元素的个数有什么关系？例3.设，求和.解,R.例4.已知数集与数集，若，求.解：由于，则.(1)当，即时，，则，与已知矛盾. (2)当，即时，，符合要求；(3)当时，方程无解；从而，此时，所以.

习题A组1.为全集，集合为的子集，则,,,,,.2.设，求和.3.设，求.4.设，.(1)成立吗？成立吗？(2)求和.5.在平面内，为定点，为动点，若集合，集合，则(1)集合分别表示什么图形？(2)集合的集合意义是什么？B组6.已知集合，求.7.已知集合，若，求实数的值.8.(1)，求与；（第8题）(2)在下列图中用阴影表示与；（第8题）(3)由(1)、(2)，你发现什么规律？

C组9.我们知道，如果集合，那么的子集的补集为，且.类似地，对于集合，我们把集合，且叫做集合与的差集，记作.例如，，则.（第9题）(1)在下列各图中用阴影表示集合；（第9题）(2)如果，那么集合与之间具有怎样的关系？

阅读：有限集与无限集在本章节中，我们曾讨论过有限集和无限集.例如，是有限集，N是无限集.对于有限集合，我们知道集合的元素比集合的元素多，集合与集合的元素一样多.然而，对于两个无限集合N，N，你能判断哪一个集合的元素更多吗？德国数学家康托尔根据人们在计数时运用的“一一对应”思想给出了两个集合“等势”的概念：若两个无限集的元素之间能建立起一一对应，则称这两个集合等势.(1)(2)图1-3-1(1)(2)图1-3-1我们也可以建立N与N这两个无限集之间的一一对应，如于是，N与N等势.通俗地说，它们的元素“一样多”.思考：N与Q等势吗？

复习题A组1.用适当的方法表示“小于5的自然数”所构成的集合.2.判断下列集合是有限集还是无限集.(1)N；(2)N；3.求满足的集合的个数.4.已知集合R，R，若，求实数的所有取值所组成的集合.5.开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？B组6.期中考试，某班数学优秀率为70%，语文优秀率为75%.问：上述两门学科都优秀的百分率至少为多少？7.设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，求由的个元素构成的所有集