第2章-物理系统数学模型

控制理论基础(I)交通大学精品课程系列课程负责人：丁汉教授

顾问：王显正教授2004.4.30第二章物理系统的数学模型本章主要内容:

2.I

2.2

2.3

2.42.5物理系统的数学模型非线性数学模型的线性化拉氏变换及其反变换典型环节及其传递函数系统方框图和信号流图Part2.1

物理系统的数学模型2.1.12.1.22.1.3

机械系统电气系统相似系统数学模型的定义建立数学模型的基础提取数学模型的步骤ExamplePart2.1.1

数学模型的定义系统示意图系统框图Remember恒温箱自动控制系统?Part2.1.1

数学模型的定义系统框图

t

u2

u

ua

n

v

u

t由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系。物理量的变换，物理量之间的相互关系信号传递体现为能量传递（放大、转化、储存）由动态到最后的平衡状态--稳定运动Part2.1.1

数学模型的定义数学模型：

描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程解析法

依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。实验法人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。建立数学模型的方法：数学模型的形式时间域： 微分方程 差分方程 状态方程复数域： 传递函数 结构图频率域： 频率特性数学模型的准确性和简化Part2.1.2

建立数学模型的基础机械运动：牛顿定理、能量守恒定理电学： 欧姆定理、基尔霍夫定律热学： 传热定理、热平衡定律

微分方程（连续系统）差分方程（离散系统）线性与非线性分布性与集中性参数时变性机械运动系统的三要素机械运动的实质：牛顿定理、能量守恒定理阻尼B质量M弹簧K实例机械平移机械旋转机械平移系统1）微分方程的系数取决于系统的结构参数2）阶次等于独立储能元件的数量！静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响。机械旋转系统电气系统三元件电阻电容电感电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。RLC串联网络电路相似物理系统Part2.1.3

提取数学模型的步骤划分环节写出每或一环节(元件)运动方程式消去中间变量写成标准形式实例二级减速齿轮传动系统二级RC无源网络负载效应根据元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量(必要时还要考虑扰动量)，并根据需要引进一些中间变量。由运动方程式（一个或几个元件的独立运动方程）划分环节

按功能（测量、放大、执行）写出每或一环节(元件)运动方程式找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化，考虑忽略一些次要因素）。写成标准形式例如微分方程中，

将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂排列。

折算转动惯量折算力矩折算阻尼系数2级减速齿轮传动系统2级RC无源网络Part2.2

非线性数学模型的线性化2.2.12.2.22.2.3常见非线性模型线性化问题的提出线性化方法Example液面系统单摆Example液面系统单摆单变量多变量2.2.1

常见非线性模型数学物理方程中的线性方程：未知函数项或未知函数的（偏）导数项系数依赖于自变量针对时间变量的常微分方程：

线性方程指满足叠加原理叠加原理：可加性齐次性不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。常见非线性情况饱和非线性死区非线性间隙非线性继电器非线性单摆(非线性)是未知函数的非线性函数，所以是非线性模型。液面系统(非线性)是未知函数h的非线性函数，所以是非线性模型。有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的。2.2.2

线性化问题的提出可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。线性系统缺点：线性系统优点：线性化定义

将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。2.2.3

线性化方法

以微小偏差法为基础，运动方程中各变量就不是它们的绝对值，而是它们对额定工作点的偏差。增量（微小偏差法）假设：

在控制系统整个调节过程中，所有变量与稳态值之间只会产生足够微小的偏差。非线性方程局部线性增量方程增量方程增量方程的数学含义将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理。多变量函数泰勒级数法增量方程静态方程单变量函数泰勒级数法函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：略去含有高于一次的增量∆x=x-x0的项，则：注：非线性系统的线性化模型，称为增量方程。注：y=f(x0)称为系统的静态方程单摆模型(线性化)液面系统线性化常数！Part2.3

拉氏变换及其反变换2.3.12.3.22.3.3拉氏变换的定义拉氏变换的计算拉氏变换求解方程拉氏变换拉氏反变换Part2.3.1

拉氏变换的定义设函数f(t)满足：

1f(t)实函数；

2当t<0时，f(t)=0；

3当t0时，f(t)的积分在s的某一域内收敛则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）；F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数;f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。拉氏反变换的定义其中L－1为拉氏反变换的符号。高等函数初等函数指数函数三角函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数幂函数Part2.3.2.1

拉氏变换的计算指数函数的拉氏变换（尤拉公式）三角函数的拉氏变换幂函数的拉氏变换阶跃函数的拉氏变换斜坡函数单位速度函数的拉氏变换洛必达法则单位脉冲函数拉氏变换抛物线函数单位加速度函数拉氏变换Part2.3.2.3

拉氏变换的主要运算定理线性定理微分定理积分定理位移定理延时定理卷积定理初值定理终值定理比例定理线性定理叠加定理微分定理原函数的高阶导数

像函数中s的高次代数式多重微分积分定理原函数的n重积分像函数中除以sn多重积分原函数乘以指数函数e-at像函数d在复数域中作位移a位移定理原函数平移像函数乘以e-s

延时定理原函数f(t)的稳态性质

sF(s)在s=0邻域内的性质终值定理初值定理卷积定理其它方法变量置换法F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)条件：分母多项式能分解成因式多项式极点多项式零点Part2.3.2.2

拉氏反变换方法部分分式法的求取拉氏反变换将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程；解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。Part2.3.3

拉氏变换求解线性微分方程应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。微分方程式的解正弦函数Bsin(t+)指数函数Aeat微分方程式的各系数起始条件外部条件a、A、B、Part2.4

典型环节及其传递函数2.4.12.4.2传递函数的定义典型环节的传递函数在零初始条件()下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。系统(或环节)的输入量系统(或环节)的输出量Part2.4.1

传递函数的定义

输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t<0时，输出量及其各阶导数也均为0复杂机械系统初始条件为零时微分方程拉氏变换系统的传递函数!传递函数的直接计算法系统传递函数的一般形式N(s)=0系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。

N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。K——系统处于静态时，输出与输入的比值。当s=0时系统的放大系数或增益特征方程M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，称为传递函数的零点。N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,…,n)，称为传递函数的极点。！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。零点和极点传递函数的零、极点分布图：将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。零点用“O”表示极点用“×”表示零、极点分布图g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数）系统输出单位脉冲函数脉冲响应函数传递函数系统动态特性单位脉冲响应传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性，即以系统外部的输入－输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s)决定。结论适用于线性定常系统传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数。传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律无法描述系统内部中间变量的变化情况只适合于单输入单输出系统的描述注意设系统有b个实零点;d个实极点;c对复零点;e对复极点;v个零极点Part2.4.2

典型环节的传递函数b+2c=mv+d+2e=n比例环节一阶微分环节二阶微分环节积分环节惯性环节振荡环节延迟环节！串联纯微分环节环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件。一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成。同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。运动方程式：传递函数：K——环节的放大系数例1：齿轮传动例2：晶体管放大器放大环节/比例环节齿轮传动共发射极晶体管放大器运动方程式：传递函数：K——环节的放大系数T——环节的时间常数!储能元件！输出落后于输入量，不立即复现突变的输入例1：弹性弹簧例2：RC惯性环节惯性环节弹性弹簧RC惯性环节运动方程式：传递函数：K——环节的放大系数！记忆！积分输入突然除去积分停止输出维持不变例1：电容充电例2：积分运算放大器积分环节如当输入量为常值A时，输出量须经过时间T才能达到输入量在t=0时的值A。！改善系统的稳态性能！具有明显的滞后作用电容充电积分运算放大器理想微分实际微分惯性T0KT有限运动方程式：传递函数：传递函数：例1：测速发电机例2：RC微分网络例3：理想微分运放例4：一阶微分运放微分环节!无负载时测速发电机RC微分网络理想微分运算放大器一阶微分运算放大器不同形式储能元件能量转换振荡运动方程式：传递函数：

——环节的阻尼比K——环节的放大系数T——环节的时间常数0<<1产生振荡1两个串联的惯性环节例1：机械平移系统例2：RLC串联网络振荡环节机械平移系统RLC串联网络电路运动方程式：传递函数：1两个串联的一阶微分环节

——环节的阻尼比K——环节的放大系数T——环节的时间常数二阶微分环节运动方程式：传递函数：—环节的时间常数超越函数近似处理例1：水箱进水管的延滞延滞环节惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。延迟环节从输入开始之初，在0~τ时间内没有输出，但t=τ之后，输出完全等于输入。延迟环节与惯性环节的区别水箱进水管的延滞对于实零点zi=−αi对于实极点pj=−βj对于复零点对zl=−αl+jl、zl+1=−αl-jl对于复极点对pk=−k+jk、zk+1=−k-jkPart2.5

系统方块图和信号流图2.5.12.5.22.5.3方块图系统信号流图控制系统传递函数

结构方块图由方块图求系统传递函数方块图的绘制Part2.5.1

方块图2.5.1.12.5.1.22.5.1.3

2.5.1.1

结构方块图！脱离了物理系统的模型!系统数学模型的图解形式形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。依据信号的流向，将各元件的方块连接起来组成整个系统的方块图。函数方块图

任何系统都可以由信号线、函数方块、信号引出点及求和点组成的方块图来表示。求和点函数方块引出线函数方块信号线1信号线带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。

2信号引出点（线）/测量点表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。

3函数方块(环节)

函数方块具有运算功能4求和点（比较点、综合点）1.用符号“”及相应的信号箭头表示2.箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号!注意量纲相邻求和点可以互换、合并、分解。

代数运算的交换律、结合律和分配律。!求和点可以有多个输入，但输出是唯一的方框图的等效变换法则公式直接法化简法代数法方块图的化简方块图的运算规则串联、并联、反馈基于方块图的运算规则基于比较点的简化基于引出点的简化2.5.1.2

由方块图求系统传递函数

几个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传递函数的乘积。例：隔离放大器串联的RC电路串联运算规则同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递函数之和。并联运算规则反馈运算规则基于方块图的运算规则基于比较点的简化基于引出点的简化把几个回路共用的线路及环节分开，使每一个局部回路、及主反馈都有自己专用线路和环节。确定系统中的输入输出量，把输入量到输出量的一条线路列成方块图中的前向通道。通过比较点和引出点的移动消除交错回路。先求出并联环节和具有局部反馈环节的传递函数，然后求出整个系统的传递函数。方块图求取传递函数-简化法方块图化简方块图求取传递函数只有一条前向通道的多回路系统的闭环传递函数（梅逊公式）闭环系统输入量到输出量间的串联环节的总传递函数即前向通路传递函数的乘积。n

闭环系统所具有的反馈回路的总数i各反馈回路的序号闭环系统中各交错反馈或多环局部反馈的开环传递函数即每个反馈回路的传递函数的乘积。-正反馈+

负反馈公式法梅逊公式方块图直接求取传递函数代数法隔离放大器串联的RC电路建立系统各元部件的微分方程,明确信号的因果关系（输入/输出）。对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件的方框图。按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。例：二阶RC电气网络例：二阶机械平动系统2.5.1.3

方块图的绘制二阶RC电气网络二

阶

机

械

平

动

系

统2.5.2.1信号流图及其术语2.5.2.2信号代数运算法则2.5.2.3根据微分方程绘制信号流图2.5.2.4根据方框图绘制信号流图2.5.2.5信号流图梅逊公式Part2.5.2

系统信号流图

信号流图起源于梅逊（S.J.MASON）利用图示法来描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一种信号传递网络。节点表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和。支路连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。通路沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。2.5.2.1信号流图及其术语输入节点只有输出的节点，代表系统的输入变量。输出节点只有输入的节点，代表系统的输出变量。输出节点输入节点混合节点既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，可点变为输出节点。前向通路从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，一般用pk表示。回路起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增益，用Lk表示。不接触回路相互间没有任何公共节点的回路X2、X3X3、X4X52.5.2.2信号代数运算法则取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、Uo(s)作为信号流图的节点Ui(s)、Uo(s)分别为输入及输出节点2.5.2.3根据微分方程绘制信号流图只有一条前向通路三个不同回路L1、L2不接触P1与L1、L2、L3均接触2.5.2.4根据方框图绘制信号流图方块图转换为信号流图方块图转换为信号流图G—系统总传递函数Pk—第k条前向通路的传递函数（通路增益）∆—流图特征式—所有不同回路的传递函数之和—每两个互不接触回路传递函数乘积之和

—每三个互不接触回路传递函数乘积之和—第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式∆，将与第k条前向通路相接触的回路传递函数代以零值，余下的∆即为