文科立体几何解答题类型总结及其答案

精选优质文档-----倾情为你奉上精选优质文档-----倾情为你奉上专心---专注---专业专心---专注---专业精选优质文档-----倾情为你奉上专心---专注---专业《立体几何》解答题1.（2008年江苏卷）如图，在四面体ABCD中，CB＝CD,AD⊥BD，点E,F分别是AB,BD的中点.求证：（Ⅰ）直线EF∥平面ACD；（Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD.2.（2009年江苏卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C求证：（Ⅰ）EF∥平面ABC；（Ⅱ）平面A1FD⊥平面BB1C1C.ABCABCMNA1B1C1（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）3.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，M、N分别为A1B、B1C1（Ⅰ）求证：BC∥平面MNB1；（Ⅱ）求证：平面A1CB⊥平面ACC1A1．4.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1，AC⊥BC,点D是AB的中点.（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅲ）线段AB上是否存在点M，使得A1M⊥平面CDB1？5.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，Ｅ为BC的中点.（Ⅰ）求证：BD⊥平面AB1E；（Ⅱ）求直线AB1与平面BB1C1C所成角的正弦值；（Ⅲ）求三棱锥C－ABD的体积.6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，F为AA1的中点.求证：（Ⅰ）A1C∥平面FBD；（Ⅱ）平面FBD⊥平面DC1B.（第5题）（第6题）（第7题）7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB（Ⅰ）求证：EF∥平面CB1D1；（Ⅱ）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1（Ⅲ）如果AB＝1，一个点从F出发在正方体的表面上依次经过棱BB1、B1C1C1D1、D1D、DA上的点，又回到F，指出整个线路的最小值并说明理由.8.正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点，BC＝BB1,设B1DBC1＝F.（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面AB1D.（第8题）9.如图所示,在直四棱柱ABCD－A1B1C1中,DB＝BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点.(Ⅰ)求证：B1D1∥面A1BD；(Ⅱ)求证：MD⊥AC；(Ⅲ)试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.10.四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为8的菱形，∠BAD＝60°,QUOTE∠BAD=π3若PA＝PD＝5，平面PAD⊥平面ABCD.(Ⅰ)求四棱锥P－ABCD的体积；(Ⅱ)求证：AD⊥PB；(Ⅲ)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论？MAMABCDA1B1C1D1（第9题）（第10题）（第11题）（第12题）11.如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)求证：AE⊥BE；(Ⅱ)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE．12.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3,BC＝2,D是BC的中点，F是CC1上一点，且CF＝2，E是AA1上一点，且AE＝2.(Ⅰ)求证：B1F⊥平面ADF；（Ⅱ）求证：BE∥平面ADF.13.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点.（Ⅰ）若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB.14.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD＝4,BD＝，AB＝2CD＝8.（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？（Ⅲ）求四棱锥P－ABCD的体积．AABCMPD（第13题）（第14题）（第16题）16.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D,E,F分别为AA1,CC1,AB的中点，M为BE的中点,AC⊥BE.求证：（Ⅰ）C1D⊥BC；（Ⅱ）C1D∥平面B1FM.17.如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD；DCPAB（第18题）（Ⅲ）在线段AE上找一点RDCPAB（第18题）（第17题）18.在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）若平面PAB平面PCD，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由.19.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，AB＝BC＝AC，E是PD的中点，F为ED的中点.（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PCD；（Ⅱ）求证：CF∥平面BAE.（第19题）20.如图,ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB＝4a，BC＝CF＝2a，P为AB（Ⅰ）求证：平面PCF⊥平面PDE；（Ⅱ）求四面体PCEF的体积.（第20题）（第21题）21.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,∠ACB＝90°,E,F,G分别是AA1,AC,BB1的中点，且CG⊥C1G.(Ⅰ)求证：CG∥平面BEF；(Ⅱ)求证：CG⊥平面A1C1G.22.如图甲，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC＝PB＝2CD，A是PB的中点.现沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB（如图乙所示），E、F分别为BC、AB边的中点.（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PDE；（Ⅲ）在PA上找一点G，使得FG∥平面PDE.23.已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，（第23题）∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，（）.（Ⅰ）求证：不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当为何值时，平面BEF⊥平面ACD？《立体几何》解答题参考答案1.证明：（Ⅰ）∵E、F分别是AB、BD的中点,∴EF是△ABD的中位线∴EF∥AD又∵EF面ACD，AD面ACD,∴直线EF∥面ACD（Ⅱ）∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD,∵CB＝CD,F是BD的中点,∴CF⊥BD又EFCF＝F,∴BD⊥面ECF,∵BD面BCD,∴面EFC⊥面BCD2.证明：（Ⅰ）因为E,F分别是A1B,A1C的中点，所以EF∥BC，又EF平面ABC，BC平面ABC，所以EF∥平面ABC；（Ⅱ）因为直三棱柱ABC－A1B1C1，所以BB1⊥平面A1B1C1，BB1⊥A1D，又A1D⊥B1C.所以A1D⊥平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.AABCMNA1B1C1（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）3.证明：（Ⅰ）因BC∥B1C1，且B1C1平面MNB1，BC平面MNB1，故BC∥平面MNB1． （Ⅱ）因BC⊥AC，且ABC－A1B1C1 故BC⊥平面ACC1A1．因BC平面A1CB，故平面A1CB⊥平面ACC1A14.证明：（Ⅰ）∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴平面ABC⊥平面A1ABB1,∵AC＝BC，点D是AB的中点，∴CD⊥AB,面ABC面A1ABB1＝AB∴CD⊥平面A1ABB1（Ⅱ）连结BC1，设BC1与B1C的交点为E，连结DE．∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1.（Ⅲ）存在点M为B.由（Ⅰ）知CD⊥平面A1ABB，又A1B平面A1ABB，∴CD⊥A1B∵AC＝BC＝CC1，AC⊥BC，点D是AB的中点．∴A1A:AB＝BD:BB1＝1:,∴A1B⊥B1D,又CDB1D＝D,∴A1B⊥平面CDB1.5.解：（Ⅰ）∵棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，且E为BC的中点，∴平面ABC⊥平面BCC1B1，又AE⊥BC且AE平面ABC,∴AE⊥平面BCC1B1而D为CC1中点，且BD平面BCC1B1∴AE⊥BD由棱长全相等知Rt△BCD≌Rt△B1BE,即，故BD⊥B1E,又AEB1E＝E，∴BD⊥平面AB1E（Ⅱ）由AE⊥平面BCC1B1知∠AB1E是直线AB1与平面BB1C1C所成的角，设为∵正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2,∴在Rt△AEB1中（Ⅲ）6.证明：（Ⅰ）连结AC,设ACBD＝O.∵F为AA1的中点，O为AC的中点∴FO∥A1C∵A1C平面BFD，FO平面BFD∴A1C∥平面BFD（Ⅱ）设正方体棱长为1.∵∴∴FO⊥OC1又∵AA1⊥平面ABCD∴AA1⊥BD∵BD⊥AC∴BD⊥平面A1ACC1∵FO平面A1ACC1∴BD⊥FO∵BDC1O＝O∴FO⊥平面BDC1∵FO平面BFD∴平面BFD⊥平面C1BD另证：∵∴Rt△FAO∽Rt△OCC1∴∠FOA＝∠OC1C∴∠FOA＋∠COC1＝∠OC1C＋∠COC1＝90°∴∠FOC1＝90°∴FO⊥OC17.（Ⅰ）证明：连结BD.在长方体AC1中，对角线BD∥B1D1.又E、F为棱AD、AB的中点，∴EF∥BD.∴EF∥B1D1.又B1D1平面CB1D1，EF平面CB1D1，∴EF∥平面CB1D1.（Ⅱ）证明：在长方体AC1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1.又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥平面CAA1C1又B1D1平面CB1D1，∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1．（Ⅲ）解：最小值为.如图，将正方体六个面展开，从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为.8.证明：（Ⅰ）连结A1B,设A1B与AB1交于E,连结DE∵点D是BC的中点，点E是A1B的中点∴DE∥A1C∵A1C平面AB1D,DE平面AB1D∴A1C∥平面AB1D（Ⅱ）∵△ABC是正三角形，点D是BC的中点∴AD⊥BC∵平面ABC⊥平面B1BCC1，平面ABC平面B1BCC1＝BC，AD平面ABC∴AD⊥平面B1BCC1∵BC1平面B1BCC1∴AD⊥BC1∵点D是BC中点，BC＝BB1∴BD＝BB1∵∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1∴∠BDB1＝∠BC1C,∴∠FBD＋∠BDF＝∠C1BC＋∠BC1C＝90°∴BC1⊥B1D∵B1DAD＝D∴BC1⊥平面AB1D9.(Ⅰ)证明：由直四棱柱,得BB1∥DD1,且BB1＝DD1.所以BB1D1D是平行四边形,所以B1D1∥BDMABCDA1B1C1D1NN1O而BD平面A1BD，BMABCDA1B1C1D1NN1O(Ⅱ)证明：因为BB1⊥面ABCD,AC面ABCD，所以BB1⊥AC又因为BD⊥AC,且，所以AC⊥面BB1D而MD面BB1D，所以MD⊥AC (Ⅲ)当点M为棱BB1的中点时,平面DMC1⊥平面CC1D1D取DC的中点N,D1C1中点N1,连结NN1交DC1于O,连结OM.因为N是DC中点,BD＝BC,所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线,而面ABCD⊥面DCC1D1,所以BN⊥面DCC1D1又可证得,O是NN1的中点,所以BM∥ON且BM＝ON,即BMON是平行四边形,所以BN∥OM,所以OM平面,因为OM面DMC1,ai所以平面DMC1⊥平面.10.解：(Ⅰ)过P作PM⊥AD于M，∵面PAD⊥面ABCD,∴PM⊥面ABCD，又PA＝PD＝5∴M为AD的中点且PM＝,∴(Ⅱ)证明：连结BM，∵BD＝BA＝8，AM＝DM,∴AD⊥BM又AD⊥PM,BMPM＝M∴AD⊥面PMB又PB面PMB∴AD⊥PB(Ⅲ)能找到并且F为棱PC的中点证法一：∵F为PC的中点，∴EF∥PB，又由(Ⅱ)可知AD⊥面PMB，∴AD⊥DE，AD⊥EF∴AD⊥面DEF，又AD面ABCD，∴面DEF⊥面ABCD证法二：设CMDE＝O,连结FO，∴O为MC的中点在△PMC中FO∥PM，∵PM⊥面ABCD，∴FO⊥面ABCD又FO面DEF，∴面DEF⊥面ABCD11.证明：（Ⅰ）因为BC⊥平面ABE，AE平面ABE，所以AE⊥BC，又BF⊥平面ACE，AE平面ACE，所以AE⊥BF，又BFBC＝B，所以AE⊥平面BCE,又BE平面BCE，所以AE⊥BE．（Ⅱ）取DE的中点P，连接PA，PN，因为点N为线段CE的中点．所以PN∥DC，且，又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，所以AM∥DC，且，所以PN∥AM，且PN＝AM，故四边形AMNP是平行四边形，所以MN∥AP而AP平面DAE，MN平面DAE，所以MN∥平面DAE.12.证明：（Ⅰ）因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD平面ABC,所以AD⊥BB1,又BCBB1＝B,所以AD⊥平面BCC1B1，又B1F平面BCC1B1，所以AD⊥B1F,在矩形BCC1B1中，C1F＝CD＝1,CF＝C1B1＝2,所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1,所以∠CFD＝∠C1B1F所以∠B1FD＝90°,所以B1F⊥FD,又ADFD＝D,所以B1F⊥平面ADF.（Ⅱ）连结EF,EC,设ECAF＝M,连结DM,因为AE＝CF＝2,又AE∥CF,AC⊥AE,所以四边形AEFC是矩形，所以M为EC中点，又D为BC中点，所以MD∥BE，因为MD平面ADF,BE平面ADF，所以BE∥平面ADF.13.解：（Ⅰ）连结BD，四边形ABCD是菱形∵AD＝AB，∠BAD＝60°∴△ABD为正三角形，Q为AD的中点，∴AD⊥BQPA＝PD,Q为AD的中点，∴AD⊥BQ又BQPQ＝Q,∴AD⊥平面PQB,又AD平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD（Ⅱ）当时，使得PA∥平面MQB，连结AC交BQ于N，交BD于O，则O为BD的中点，又BQ为△ABD边AD上的中线，∴N为正△ABD的中心，令菱形ABCD的边长为a，则，.∵PA∥平面MQB,PA平面PAC，平面PAC平面MQB＝MN，∴PA∥MN即：，∴.14.解：（Ⅰ）在△ABD中，∵AD＝4,BD＝,AB＝8，∴．∴AD⊥BD又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，∴BD⊥平面PAD．又BD平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.（Ⅱ）当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，PA∥平面MBD.证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN．∵AB∥DC，所以四边形ABCD是梯形．∵AB＝2CD，∴CN:NA＝1:2．又∵CM:MP＝1:2，∴CN:NA＝CM:MP∴PA∥MN.∵PA平面MBD，MN平面MBD，∴PA∥平面MBD.（Ⅲ）过P作PO⊥AD交AD于O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．即PO为四棱锥P－ABCD的高.又∵△PAD是边长为4的等边三角形，∴.在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形ABCD的高．∴梯形ABCD的面积.故.16.证明：（Ⅰ）由直三棱柱可知CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AC又因为AC⊥BE,CC1BE＝E,AC⊥面BCE,所以AC⊥BC又在直三棱柱中，CC1⊥BC,ACCC1＝C，故BC⊥平面ACC1A1,C1D平面ACC1A1,所以BC⊥C1D（Ⅱ）连结AE，因为C1E∥DA，且C1E＝DA，所以四边形ADC1E为平行四边形，所以C1D∥EA，在△AEB中，因为M,F分别为BE,BA的中点，所以MF∥EA，所以C1D∥MF，又C1D平面B1FM，MF平面B1FM，所以C1D∥平面B1FM17.证明：（Ⅰ）由已知得：DE⊥AE,DE⊥EC,AEEC＝E,∴DE⊥平面ABCE,∴DE⊥BC,又BC⊥CE,DEEC＝E,∴BC⊥平面DCE（Ⅱ）取AB中点H，连接GH,FH.∴GH∥BD,FH∥BC,∴GH∥平面BCD,FH∥平面BCD∴平面FHG∥平面BCD,∴GF∥平面BCD（或证明CQ∥FG）（Ⅲ）当R点满足3AR＝RE时，平面BDR⊥平面BDC.证明：取BD中点Q，连结DR,BR,CQ,RQ计算得,在△BDR中,延长BQ到S使SQ＝RQ，则在平行四边形BRDS中,对角线的平方和等于四边的平方和.由可知,∴在△CRQ中,,∴CQ⊥RQ又在△CBD中,CD＝CB,Q为BD的中点，∴CQ⊥BD,BDRQ＝QDCPAB（第18题）∴CQ⊥平面BDR,又CQ平面DCPAB（第18题）18.解：（Ⅰ）因为∠ABC＝90°，AD∥BC，所以AD⊥AB.而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCD＝AB,所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥PA.同理可得AB⊥PA.

由于AB、AD平面ABCD，且ABAD＝C,所以PA⊥平面ABCD.（Ⅱ）（解法一）不平行.证明：假定直线l∥平面ABCD,由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD＝CD,所以∥CD.同理可得l∥AB,所以AB∥CD.这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰相矛盾,故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行.（解法二）因为梯形ABCD中AD∥BC,所以直线AB与直线CD相交，设ABCD＝T.由TCD，CD平面PCD得T平面PCD.同理T平面PAB.即T为平面PCD与平面PAB的公共点，于是PT为平面PCD与平面PAB的交线.所以直线与平面ABCD不平行.19.证明：（Ⅰ）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AC⊥CD，且ACPA＝A，所以CD⊥平面PAC，又CD平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．（Ⅱ）解法一：取AE中点G，连接FG，BG．因为F为ED的中点，所以FG∥AD且FG＝eq\F(1,2)AD．在△ACD中，AC⊥CD，∠DAC＝60°，所以AC＝eq\F(1,2)AD，所以BC＝eq\F(1,2)AD．在△ABC中，AB＝BC＝AC，所以∠ACB＝60°，从而∠ACB＝∠DAC，所以AD∥BC．综上，FG∥BC，FG＝BC，四边形FGBC为平行四边形，所以CF∥BG．又BG平面BAE，CF平面BAE，所以CF∥平面BAE．解法二：延长DC与AB交于G点，连接EG．因为在△ABC中，AB＝BC＝AC，所以∠CAB＝60°,所以∠CAB＝∠CAD，即AC为∠DAG的平分线．又AC⊥CD，所以AG＝AD，C为DG中点，又F为ED的中点．所以CF∥EG．根据EG平面BAE，CF平面BAE，所以CF∥平面BAE．20.解：（Ⅰ）因为ABCD为矩形，AB＝2BC,P为AB的中点，所以三角形PBC为等腰直角三角形，∠BPC＝45°.同理可证∠APD＝45°.所以∠DPC＝90°，即PC⊥PD.又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD内，所以PC⊥DE.因为DEPD＝D，所以PC⊥PDE.又因为PC在平面PCF内，所以平面PCF⊥平面PDE.（Ⅱ）因为CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以DE∥CF.又DC⊥CF，所以在平面ABCD内，过P作PQ⊥CD于Q，则PQ∥BC，PQ＝BC＝2a因为BC⊥CD，BC⊥CF，所以BC⊥平面PCEF，所以PQ⊥平面DCEF，亦即P到平面DCEF的距离为PQ＝2a.（注：本