2007年所有数模竞赛高教社杯全国生数学建模

2007高教社杯大学生数学建模竞赛区评阅编号（由赛区评阅前进行编号赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用统一编号（由赛区送交前编号评阅编号（ 评阅前进行编号本文以题目中所给数据分中短期（20年）和长期（50年）首先本文采用移算方法建立了生命表模型，再根据2002年人口数据立生命表，建立生命表的目的在于通过生命表的方法对2002年别人口的存活概率予以估计，生命表组距为1。生命表的算法是（1）计算发生概（2）（3）（4）（5）（7）1）对男女出生比进行了预测，预测结果见正文。由得到的结果可以看出，男女出生比呈上升趋势。对于总和率，先用三样条插值法得到2000年各地方的总和率，再使用灰色预测模型进行预测。20022059年各区域的总人口数。接着本文根据得到的预测结果对结果的产生原都是先增加再减少老年人所占都是逐年增加的说明人口模型都趋近于化育龄妇女人数都是下降的趋势这也是导致总人口下降的因素同时还可以看出男女比例失衡在老年平均女性的人数比的人数要多而且得到了女性的平均比的平均要长与基尼系数测量集中度等结论。：生命表模型存活概率灰色预测出 比总 问题重已有数据，运用数学建模的方法，人口做出分析和预测是一个重要问题，近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如化进程加速、出生长。2007年初发布的《国家人口发展》(附录1)还做出了进一步的分析。关于2就是从《口统计年鉴》上收集到的部分数据。，数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据，建立口增长的数学模型，并由此人口增长的中短期和长期趋势做出预测，并模型的不足和优问题分，以及乡村人口城镇化等因素，除了这些人口问题，环境破坏等也都是境关系不可缺少的之一，同时是人口决策的重要依据。我们已知2001年到2005年的人口普查数据，数据为别，，城镇乡人口，要预测中国中短，基本假 假设每年 率是一定的，并且各年的率相同，是一常数2000年以后， 育水平TFR在1.8附近变符号说 发生概d 基于事件发生概率计算生命表事件发生T

xx岁到x＋1岁之间的处于初始状态的人年数，即确切在x到x+1队列xxtPt1

在t1时刻在x到x+1岁人口tP(xt2

在t2时刻在x+1到x+2岁的人口1Bt11wt,1

t1到t2t1时刻xtMPt1tt1

在t1时刻在x岁至x+1岁的农村迁出人口t1年度内人口迁移为迁移模式， 别人口迁移 模，以2002的人口数据为基础，根据推荐的期望经验数据：平均预期达到67.5～70.0岁时每五年增长0.75岁，女性增长1.8岁；平均预期达到70.0～72.5岁时，男女每五年平均增长各为0.45岁和1.40岁；平均预期达到72.5～75.0岁时，男女每五年平均增长各为0.2岁和1.00，本文采用移算方法建立模型，根据2002年人口数据建立生命表，建立生命表的目的在于通过生命表的方法对2002年别人口的存活概率予以估计，生命表组距为1。从率出发，计算发生概xq1xmx为在区间（x,x+1）上的基于事件发生概率计算生命表事件发生数dxdxdx为在区间（x,x+1）上的事件发生数，l(x)为x岁的存活人假设l(0)1，计算其余计算其余各岁的尚存活人口数l(x1)l(x)l(x为x+1计算x岁到x＋1LxL(x)1(l(x)l(x2w计算x岁以后的仍处于初始状态的人年数TwT(x)i计算xe(x)Tl(x)

P(x1)P(x)L(x

1式中x的取值范围是0岁到100岁；Pt(x)是在t1时刻在x到x+1岁人口数12Pt(x1)是在t2时刻在x+1到x+2岁的人口数。L(x)是确切在x到2队列存活人年数；L(x1)是确切在x+1到x+2队列的存活人年数 1由于Pt(0)Bt 1

1Bt1

为t1到t2时刻内的出生人数；L(0有在15到49岁的人有能力，所以可Bt1~t2 1Bt~t(x)为某段育龄的妇育的婴儿数，使用队列方程计算，即t1时刻1岁组的育龄妇女在t1到t2时刻的一个年度内的人数。该队列在该年度两个组，即x岁组和x+1岁组。其在x岁组时，按x岁组的水平fx育；在x+1岁组时，按x+1岁组的水平

Bt

(x)wt,xfxwt,x111 wtx为t1时刻x岁组的育龄妇女人数，wtx1为t1时刻x 到t2时刻的人数。其计算公式2wt,2

wt

L(x1 式中fx为x岁组育龄妇女的水平；fx1为x+1岁组育龄妇女的水平。因1 P(0)L(0)

wt,xfxwt,x1

.通过期望参数推算存活概期望是人口预测过程中经常使用和设定的综合指标。在人口预测过程中首先需要对人口的预期 进行预测或假定然后对未来人口状况加以研究经常使用的方法是基于假定 模式不变，水平降低引起期望的提高，从而到达对人口变动中存活或 参数予以控制的目的。其具体算法如下：第一，对当前存活函数进行logit假定用p(a)表示一个人能够从出生（确切为0岁〕存活至确切a岁p(a)l(a)p(a的logity(a)logit(p(a))1ln((1 .第二，确定a值。.

logitp(alogit同生命表中，从出生存活至确切a岁时的存活概率的logit函数值。ysa活概率y(a)的值可根据上述线性关系中的a和b确定。也就是说y(a)的水平将主要由参数a的数值决定y(a)的模式将主要由参数b的数值决定。特别是，当b＝1时，ya的模式与ys(a)曲线的模式基本相同。假定在预测期内人口的b对y(a水平的影响，只考虑其对y(a＝1是很长，通过上述合理假定，可将模型y(aa+bys(aa的模p(a)

ps(a)(1上式给出了y(a与参数a之间的解析关系，是用来编制新生命表的基本方程。新aa<0时，有y(ays(a时，有y(a＝ys(aa>0时，有y(ays(a。显然，0<y(a1y(a0a趋于时y(a1a值是获得存活概率的重要方法。给定0岁平均预期确定a值方法如下：e(x)T(x)1l(a)da1

l(x)

p(x)ps(a)[ps(x)(1ps(x))e2axps(x)[ps(a)(1ps(a))e2a]从上式很难确定参数a与e(x)a的据给定的e(x)的值估计及相应的a值。二分迭代法的迭代步骤如下：设定迭代精度esp，esp>0取12

min

p(a)

ps(a)(1

p(ap(a计算相应的e(x，a)（d（b说明a>a*，令amin＝a转入（b根据p(a

ps(a)(1

a值，和已有的ps(a)可以求得 组的p(a)。根据p(a)l(a)得到l(a)，更一步，计算出L(x)。也就是说，当根据某个水平估计出相应的a值后，p(a)

ps(a)(1

式中即可得到一组存活概率

p(a一些数据存在较大误差甚至异常，如本文在统计数据时发现2005年我计数16.98亿明显比实际偏大，不符合我国的实际人口情况。又如表中的2001-2004年的市，镇，乡男女人口丢了一位数，本文统计各年人口总数只有1.2亿左右是明显的工作 本文对此的处理是各数乘上10， 率为0的情况，我们取0.0001替代，使合符平滑性的要求，也使之符合模型求解算法中的率不为0的要求。然后2002年数据作为预测基年，对我国人口增长中短期（20-50）和长期趋势作出预测，同时也可用2003，2004，2005在对男女出生比求解中，本文直接对它用灰色系统中GM(1,1)[见]预测，表 男女出生比（女市男女出镇男女出乡男女出图一对于总和率，先用三样条插值法，补全2000年的市，镇，乡育龄妇育率，如下，2000年市，镇，乡育龄妇率分别为33.59‰27.66‰48.25‰然后再用灰色系统中的GM(1,1)对总和率预测。20022002中短期预测（20年图二在2014年附近城市人口达到最高点。在2014年以前，人口数逐年增加，比较符合中国的现状，人口总体呈增加的趋势。2014年以后，人口逐年递减，其主要图三城市人城市的人口也在2012年达到最大值，基本和城市总人口的变化趋势相同。2012年以前由于人口基数大，即使育龄妇女人数减少但总体趋势还是上升的。到2012年以后，由于化及育龄妇女人数的减少等因素的影响，使得图四，2014年达到最大，在这年以前人口逐年上升，基本每年的女性总人数都小于总人数，这是由于男女比例失衡的人口基数大于女性的人口基数，但是在2014年以后，女性的人数的下降趋势比人数的下降速度要缓慢。这是由于女性的平均比，活人数要多于图 城市老年人口可以很明显的看出城市的老年人口是逐年递增的这也符合中龄化的现图六2022年城市人口结构金字，由的结构金字塔可以得到，在2022年男婴出生人数比女婴的人数要大并且在老年段的人数少于女性的人数。明显看出女性的平均要大于的平均。，图六表二人数（个人数（个图七2018年达到最高点，然后呈递减趋势。可以得到镇人口达到最大值的说明镇的总和率比城市的总和率要高。图 镇人口镇人口在2019年达到最大值，基本和镇人口的变化趋势相同图九2018年达到最大值，以后呈递减趋势，其变化趋势和镇的总人口图 镇育龄妇女人2011年以前，育龄妇女人数有小范围的波动，之后逐年递减，这可能是由于图十一镇老年人口镇老年人口的是逐年递增的。图十二 镇2022年人口结构金字塔 人数（个人数（个

表 农村各年总人人数（个人数（个图十四2022年，农村总人口达到最大值。农村人口的总数比城市人口的总数要大，图十五农村人口总2022图十六于的人数，可以得到女性的率比的要低，人均要大于的人均。图十七农村老年人上图中，农村的老年人也在不断增加，说明农村的生活环境越来越好。并且这也是受化趋势的影响。图十八图十九农村育龄妇女人口在2011年达到最大值，随后递减。在2011年前，育龄人口数2013年才开始减少。图二十农村2022年结构金字上图是2022年农村人口的结构金字塔其基本状况与城市2025年的人口年表五2003～2022年总人人数（亿人数（亿长期人口预测（50年图二十一城市人口在2012年达到最高后，逐年递减，由于化及率的下降等因素图二十二城市老年人口城市中老年人口的是逐年增加的并且最后会趋向于平稳即稳定在某个值处不变。也可以看出，我国正在步入化社会，化对我国的人口影响很大，图二十四50年的预测中，可以很明显的看到城市育龄妇女的人数在逐年减少，这也人镇图二十五2020年，镇人口达到最大，这与前面短期预测的结果不一致，但是图二十六镇老年人口，镇的老年人口总体的趋势是上升的，但是在2043到2053年有下降的，图二十七镇的育龄妇女人数总体是下降的趋势，并且在图中可以看到在2029年到，育龄妇女的人数是不变的，说明这期间水平是相同的乡图二十八图二十九乡老年人口农村的老年人口大体呈上升的趋势，只是在个别的年份略有下降图三十间段，人口数变化很小，而且会使老年人占总人口的有一点下降。表六人口别生命表（2002年011234567891其中，M(x)别率，q(x)别概率，l(x)为x活的人数（设l(0)1）,D(x)为x岁人数，L(x)为存活人年数，T(x)为x岁仍处于初始状态的人年数，e(x)为x岁时的平均预期。女性的生命表见附录 图三十 2002年存活曲人口相关分由上图可看出人口分布比较集中，大部分人能活到70岁。现在分析一下人口集中度的度量，我们基尼系数方法来度量。，。尼系数本来是经济学的内容曲线多用于表示所得分配状况，基尼系数是延伸曲线的不均匀指标曲线横轴为所得收入单位累积，个人分配完全均等线，对角线与曲线所围成的面积（即A的面积）与三角形，。 曲线假想为该人口分布的曲线，横轴即人数累积百分比，纵轴即的累积百分比，人口是有限的，人口在上限贴近于横轴接近上限时人口率非常高，贴近于1，尼系数也趋进于1，在基尼系数于生命表应用上，我们用推导的基尼系数计算G1 e(0)e(0)为出生时的预 ，x为。G0为测量不均匀度的l(x),代入公式求出不均匀度人口结构分考虑到城市镇乡村的人的观念不同对他们取不同的总和率计算，我国目前的总和率为1.8左右.对城市以1.6-1.5为中短期预测,以1.4为长期预测.对镇是以1.8-1.7为中短期预测,以1.6长期预测.乡村的总和生育率较大,我们以2.0-1.9中短期预测,1.8为长期预测.得到各地区的人口预 数类0-1415-6人65龄人口的标准,如果老年人超过7%就算型。少年儿童(人口)系数――指14岁及以下少年儿童人口占总人口的。是老少比――指65岁及以上老年人口与0-14岁的少年儿童人口之比，该指标负担系数――也称抚养人口系数。指每100名劳动人口所负担的非劳动人口数反映了劳动人口与非劳动人口之间的关系。一般以15-64岁者为劳动人口，0-1465表 我国人口结构 数 1老年(人口）少年儿童人口系由国际上关于构成类型划分标人口结构类少年儿童人口系4%以40%15%4%-7%以30%30%，由于使得人口出生率突然下降结构不均匀，过几十年后，又会慢慢恢复。由于老人增加，必然使总抚养比升高。，模型未来人口的模式保持不变分城乡人口预测模型是建立在单区域人口预测基础上两状态的人口预测模与单区域人口预测的相同点是在生命表的建立方法模型与单区域人口预测P(x1)(P(x)MP(x))L(x

121式中x的取值范围是0岁到100岁；Pt(x)是在t1时刻在x岁至x+1岁的人口数；Pt(x1)是在t2时刻在x+1岁至x+2岁的人口数；L(x)是确切在x至x+1岁的队列存活人年数；L(x1)是确切在x+1至x+2岁的队列存活人年数；MPt(x)为在t1时刻在x岁至x+1岁的农村迁出人口数。121MPt(x)TMPtMIG(x)TMPt为t1MIG(x P'(x1)(P'(x)MP(

L'(x；式中x的取值范围是0岁到100岁；P'(x)是在t时刻在x岁至x+1岁的 口数；P'(x1)是在t时刻在x+1岁至x+2岁的人口数；L'(x)是确 2在至x+1队列存活人年数；L'(x1)是确切在x+1至x+2队列存活人年数1MPt(x)为在t