辽宁省北票市高中数学 第二章 统计 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 新人教B必修3

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征（二）

编辑ppt知识回顾1.如何根据样本频率分布直方图，分别估计总体的众数、中位数和平均数？（1）众数：最高矩形下端中点的横坐标.（2）中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标.（3）平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和.

编辑ppt知识探究：标准差

样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.编辑ppt

数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述。

为了表示样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求出样本方差或者它的算术平方根.编辑ppt（1）方差：设在一组数据，x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数x的差的平方分别是

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，一组数据方差越大，则这组数据波动越大。那么我们用它们的平均数，即编辑ppt（2）标准差：我们把数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量。计算标准差的算法：S2算出每个样本数据与样本平均数的差（i=1，2，……，n）；S1算出样本数据的平均数x；编辑pptS3算出（i=1，2，…，n）；S4算出（i=1，2，…，n）这n个数的平均数，即为样本方差s2；S5算出方差的算术平方根，即为样本标准差s。编辑ppt的平均数为，（2）新数据方差为

．，方差仍为．（1）新数据的平均数为，方差为．的平均数为（3）新数据如果数据的平均数为，方差为，则（3）方差的运算性质：编辑ppt例1.计算数据5，7，7，8，10，11的标准差.解：S1x=———————=85+7+7+8+10+116数据xiS1xS2xi－xS3(xi－x)258－3978－1178－1188001082411839编辑pptS4s2=———————=4；9+1+1+0+4+96S5.所以这组数据的标准差是2.编辑ppt例2.计算数据89，93，88，91，94，90，88，87的方差和标准差。（标准差结果精确到0.1）解：.

所以这组数据的方差为5.5，标准差为2.3.编辑ppt例3.从甲、乙两名学生中选拔一人乘积射击比赛，对他们的射击水平进行测试，两人在相同的条件下各射击10次，命中环数如下﹕甲﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.（1）计算甲、乙两人射击命中环数的平均数和标准差；（2）比较两人的成绩，然后决定选择哪一人参赛.编辑ppt解：（1）计算得x甲=7，x乙=7；

s甲=1.73，s乙=1.10.（2）由（1）知，甲、乙两人平均成绩相等，但s乙<s甲，这表明乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以选乙参赛。编辑ppt（3）标准差和频率直方图的关系

从标准差的定义可知，如果样本各数据都相等，则标准差得0，这表明数据没有波动幅度，数据没有离散性；若个体的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也很大，数据的离散程度很高，因此标准差描述了数据对平均数的离散程度。编辑pptAB样本数据3333311355平均数33标准差01.79频率分布直方图数据没有离散度数据离散程度很高编辑ppt

再看钢管内径尺寸的例子，它的样本平均数是25.401，样本标准差是0.056，再直方图中用虚线标出平均数所在的位置，并画出距平均数两侧各一倍标准差和两倍标准差的区间。可以看到大约有70%的钢管内径尺寸落在距平均数两侧各一倍标准差的区间内，即(x－s,x+s)

大约有95%的钢管内径尺寸落在距平均数两侧各两倍标准差的区间内，即(x－2s,x+2s)。编辑pptss2s2sx编辑ppt练习1．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定。品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为[(9.8－10)2+(9.9－10)2+(10.1－10)2+(10－10)2+(10.2－10)2]÷5=0.02.编辑ppt乙品种的样本平均数也为10，样本方差为[(9.4－10)2+(10.3－10)2+(10.8－10)2+(9.7－10)2+(9.8－10)2]÷5=0.24.

因为0.24>0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定。编辑ppt练习2．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差。天数150~180180~210210~240240~270270~300300~330330~360360~390灯泡数1111820251672编辑ppt解：各组中值分别为165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均数约为165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天)这些组中值的方差为[1×(165－268)2+11×(195－268)2+18×(225－268)2+20×(255－268)2+25×(285－268)2+16×(315－268)2+7×(345－268)2+2×(375－268)2]÷100=2128.60(天2).编辑ppt故所求的标准差约（天）答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天.编辑ppt3.(2011年高考江苏卷6)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差（）3.2编辑ppt4.（2011年高考辽宁卷文科19)(本小题满分12分)某农场计划种植某种新作物．为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验，选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中．随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙(Ⅰ)假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率：(Ⅱ)试验时每大块地分成8小块．即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位kg／hm2)如下：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种?附：样本数据x1，x2…xa的样本方差，其中为样本平均数。编辑ppt由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙。编辑ppt5．(2011年高考北京卷理科17)本小题共13分以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率． 解：（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为编辑ppt6．(2011年高考广东卷文科17)（本小题满分13分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用表示编号为的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：（1）求第6位同学成绩，及这6位同学成绩的标准差；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间中的概率．编号n

12345成绩

7076727072编辑ppt6.练习：（3）若k1,k2,…,k8的方差为3，则2(k1－3),2(k2－3),…,2(k8－3)的方差为________43212编辑pptAB编辑ppt7。在一次歌手大奖赛上，七位评委为