高中数学高考06第一部分 板块二 专题二 数 列 第1讲　数列、等差数列与等比数列(小题)

第1讲数列、等差数列与等比数列(小题)热点一等差数列、等比数列的基本运算1．等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d；等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.等差数列的求和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d；等比数列的求和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))2．等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q；(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列；(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．例1(1)(2019·福建省永春一中、培元中学、季延中学、石光中学四校联考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝156，a2＋a4＋a6＝147，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大值时n的值为________．(2)(2019·咸阳模拟)正项等比数列{an}中，存在两项am，an，使得eq\r(am·an)＝2a1，且a6＝a5＋2a4，则eq\f(1,m)＋eq\f(9,n)的最小值是________．跟踪演练1(1)(2019·长春模拟)等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若a2＋a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为()(2)(2019·吕梁模拟)Sn为等比数列{an}的前n项和，a2＝1，aeq\o\al(2,5)＝2a7，则S6等于()A．31B.eq\f(63,2)C．63D.eq\f(31,2)(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，a5＝1，则使得Sn>0成立的n的最大值为________．热点二等差数列、等比数列的性质1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).2．前n项和的性质：(1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外)．(2)对于等差数列，有S2n＋1＝(2n＋1)an＋1.例2(1)(2019·潍坊模拟)在等差数列{an}中，若a2＋a5＋a8＝42，则数列{an}的前9项和S9等于()A．126B．130C．147D．210(2)(2019·西安陕师大附中、西安高级中学等八校联考)已知函数f(x)＝eq\f(2,1＋x2)(x∈R)，若等比数列{an}满足a1a2019＝1，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2019)等于()A．2019B.eq\f(2019,2)C．2D.eq\f(1,2)(3)已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝________.跟踪演练2(1)(2019·鞍山模拟)等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若对一切自然数n，都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n,3n＋1)，则eq\f(a6,b6)等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(9,14)C.eq\f(20,31)D.eq\f(11,17)(2)已知等比数列{an}中，a5＝2，a6a8＝8，则eq\f(a2018－a2016,a2014－a2012)等于()A．2B．4C．6D．8(3)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝130，则S40等于()A．－510 B．400C．400或－510 D．30或40热点三等差数列、等比数列的综合问题解决数列的综合问题的失分点(1)公式an＝Sn－Sn－1适用于所有数列，但易忽略n≥2这个前提；(2)对含有字母的等比数列求和时要注意q＝1或q≠1的情况，公式Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)只适用于q≠1的情况．例3(1)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＋S5＝18，a5＝7.若a3，a6，am成等比数列，则m＝________.(2)已知等差数列{an}的前n项和为Tn，a3＝4，T6＝27，数列{bn}满足bn＋1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，b1＝b2＝1，设cn＝an＋bn，则数列{cn}的前11项和S11等于()A．1062B．2124C．1101D．1100跟踪演练3(1)(2019·黄冈、华师附中等八校联考)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝3，且a2，a4，a7成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝2n(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝anbn(n∈N*)，则数列{cn}的前3项和为()A．31B．34C．62D．59(2)(2019·北京房山区期末)Sn为数列{an}的前n项和，其中an表示正整数n的所有因数中最大的奇数，例如：6的因数有1,2,3,6，则a6＝3；15的因数有1,3,5,15，则a15＝15.那么S30等于()A．240B．309C．310D．345热点四数列的递推关系由递推关系式求数列的通项公式常用的方法(1)求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式(注意验证)；(2)将已知递推关系式整理、变形得到等差或等比数列的通项公式，或用累加法(适用于an＋1＝an＋f(n)型)、累乘法(适用于an＋1＝an·f(n)型)、待定系数法(适用于an＋1＝pan＋q型)求通项公式．例4(1)(2019·榆林模拟)已知正项数列{xn}满足xn＋2＝eq\f(xn＋1,xn)，n＝1,2,3，…，若x1＝1，x2＝2，则x2019＝________.(2)(2019·永州模拟)设[x]表示不超过x的最大整数，已知数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝an(an＋1)，若eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a1,a1＋1)＋\f(a2,a2＋1)＋…＋\f(an,an＋1)))＝100，则整数n等于()A．99B．100C．101D．102跟踪演练4(1)数列{an}满足an＋1＋an＝(－1)n·n，则数列{an}的前20项和为()A．－100B．100C．－110D．110(2)(2019·漳州模拟)已知数列{an}和{bn}首项均为1，且an－1≥an(n≥2)，an＋1≥an，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2SnSn＋1＋anbn＋1＝0，则S2019等于()A．2019B.eq\f(1,2019)C．4037D.eq\f(1,4037)真题体验1．(2015·全国Ⅰ，文，7)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10等于()A.eq\f(17,2)B.eq\f(19,2)C．10D．122．(2015·全国Ⅱ，文，9)已知等比数列{an}满足a1＝eq\f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于()A．2B．1C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,8)3．(2019·全国Ⅰ，文，14)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝eq\f(3,4)，则S4＝________.押题预测1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2019，则m＝________.2．在等差数列{an}中，a8＝eq\f(1,2)a10＋1，则数列{an}的前11项和S11＝________.3．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3－a1＝8，当a4取最小值时，数列{naeq\o\al(2,n)}的前n项和Sn＝________.A组专题通关1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a3＝6，S10＝100，则a5等于()A．8B．9C．10D．112．(2019·沈阳模拟)在等比数列{an}中，a3＝2，a5＝8，则a4等于()A．4B．5C．±4D．±53．(2019·安徽江淮十校联考)已知等比数列{an}的公比q＝－eq\f(1,2)，该数列前9项的乘积为1，则a1等于()A．8B．16C．32D．644．(2019·荆门调研)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn.若2S1，S3，S2成等差数列，则数列{an}的公比为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．2D．35．已知等差数列{an}和等比数列{bn}的各项都是正数，且a1＝b1，a11＝b11.那么一定有()A．a6≤b6B．a6≥b6C．a12≤b12D．a12≥b126．(2019·济南外国语学校模拟)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋(－1)n，则a2018的值为()A．2017×1008 B．2017×1009C．2018×1008 D．2018×10097．(2019·衡水中学摸拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx－2017，x≥2019，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3m,2018)＋1))x－2020，x<2019，))数列{an}满足：an＝f(n)，n∈N*，且{an}是单调递增函数，则实数m的取值范围是()A．(1,2] B．(1,2)C．(2，＋∞) D．(1，＋∞)8．(2019·合肥一中、马鞍山二中等六校联考)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于()A．23B．32C．35D．389．(2019·柳州模拟)已知数列{an}的首项为1，第2项为3，前n项和为Sn，当整数n>1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)恒成立，则S15等于()A．210B．211C．224D．22510．(2019·荆门调研)正项等比数列{an}满足a1＝1，a2a6＋a3a5＝128，则下列结论正确的是()A．∃n∈N*，Sn>an＋1B．∀n∈N*，anan＋1≥an＋2C．∃n∈N*，an＋an＋2＝2an＋1D．∀n∈N*，an＋an＋3>an＋1＋an＋211．(2019·哈尔滨模拟)已知x2＋y2＝4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为()A．2eq\r(10)B.eq\f(1,2)eq\r(10)C.eq\r(10)D.eq\f(3,2)eq\r(10)12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an·an＋1)))的前n项和的最大值为()A.eq\f(4,9)B．1C.eq\f(41,81)D.eq\f(151,315)13．已知数列{an}与eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a\o\al(2,n),n)))(n∈N*)均为等差数列，且a1＝2，则a1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a3,3)))3＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))n＝________.14．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整