2018考研数学线性代数讲义

线性代数全程基础课张引３个小题′两个选择题一个填空题２个大题′两个解答题课程分为三篇第一篇基 行列式与矩第二篇向量组与方程组第三篇应 特征值与二次１第一 —基础篇—行列式与矩一从行列式讲起

１ a a １

a１１aa１a a１１aa１a既

b１ a１１a１a１

a１１a１ba１１a１a１再看３阶:a１a a３１ 沙路法

５１２２５４１３４我０你 我有 生有三元线性方程组a aa ３jja１３j称为系数行列式２jjD中第j列换做b

而得的新行列式如一般地

a１１b１a１３a１b a３１b３a３３a１a

n个n维向量所拼成的n维图形体积 行列式的性质

AT AT

行列地位相同

５１１７

⇒

２ ００ １２７A中有两行列元素对应成比例⇒iin αn

１２ ２５ １２６２５３１２２２５３单列可拆加３１７３１７３１７４７９４７９４７９ij

ji)αinij例题

ii ii１aa１an１计算n１n－ ３１n１ １n１

n１

１ １２４８８１２自练

４８１２２４８

１３ 行列式是由向量拼成的且 A≠０⇒组成A的向量全独立线性无关 ０⇒组成A的向量至少一个多余线性相关二矩阵及其本质的描述引例 男生人 人英语系

９６机械系９８２nkjnn

k.nk.２．本质上的问题给出Am×n ∃k阶子式不为 ArAk１阶子式全为⇔k个独立向k１个向量,至少一个多余

⇔有且仅有k个独立向量rA)kA有且仅有k个独立向量秩是组成A的独立向量的个数１２如

台阶 秩i．０２ ００．化A为行阶梯型阵行最简阶梯型阵４A满若有０行全在下方从行上看,自左边起,出现连续０的个数自上而下严格单增．称A为行阶梯型阵．若A还满３台角位置元素是４台角正上方元素全是１称A为行简阶阵．初等行变换１２３２１１互换

↔ ２１６１２１１×２２４１２ 并加到第二行上 ↔２１ ５ ３６分析５７ ５７０１０A) *４９０→０ ３ ０ ００ ２ ０例１】化 ４ 为行最简阶梯型阵 rA ２５ １ ０分析１０００００

第一 ５第二讲向量组与方程组综述 a１nxn

１１a anxna β１ βn a１ a１n

１ a

an b １⋮x⋮ n⋮ ⋮

amα

n

β方程组的解就是系数一定性研究相关性有无多余向量表示性如何表示多余向量代表性极大线性无关组等价性等价向量组αα

有无多余向

αs 无ααα１ s＜S１αs１xαs⇔若要使x１ s称αααs线性无关

xs使x１α xs０成立,必须有 xs,６

ααα

αα

Xααα线性相关 s

ααα ０只有０解ααα线性无关 s A系数矩阵X未知α１aanβ１b α,)a b n) １ n内 ⋮ sx１ xs rA 独立方程个A＜S rA８个定理αsαs＋１)αsαs－１αsαss＋１αsαs－１ s 给出α１ sβ１１

叫升维反之叫降维若ααs相关则βs不定．)若βs相关则ααs相关若ααs无关则βs无关．若βsαs小结部分相关⇒整体相关整体无关⇒部分无关;原来相关⇒缩短相关;原来无关⇒延长无关;７表示性能α不β β αs) rαs rαβ⇔∃一组数x１xs使x１α xs s

任何一组数xxx使 α 成 β

αα

１１ ssβ线性表示． 不可由 x１ x１( ( β有解αs)A,⋮

β无解 自由项阵A是增广矩阵X 非齐次方程注对于AXrAAX

rArArAβ３．代表性极大线性无关αα.( α １ r为原向量组的一个极大线rA＜S

任一i均可由其表

１如何表示这无穷多解呢?这无穷多解的代表是极大线性无关组也叫基础解系)AmrA＜nm:方程个数可能有变未知数个数不能有变.s线性无X０任一解均可由其表示８sn个n维线性无关向量组张成nαβi βi２称Ι可由Π线性表示j１ sj２称Π可由Ι线性表示当同时成立时Ι与Π等价rAB二定量描述１．给出AX求其通解全部解．rArA＜n．关键在于求基础解系提出:求基础解系的步骤A化为行最简阶梯型按列找出一个秩为rA的子矩阵则剩余位置的变量即为自由变量．按基础解系定义反着写→→ xx ３x０２x１x ３x３５ 例１

求其通解 ５x３６x４７x１１１ ３１０２ 解 ２１３ ５*０１１３ １ １０００００ ３１５ ７００００００rA

( ３０１０T 解２９１ ３krArAXrA⇒rAn⇒１ ks xx x２x３２

为AX０的通解Xβ的特解例２３x１２xx３x４３x

?时方程组有解并求出全部解 １１１ １１１１１a ０１２ ０１２２６b解 → 有解 ３２１１３００００００ ５４３３１００００００１１１１１１ ６rA)A )ab ０１２２６

()０００００ ０００００ ２１００T ２０１０TrA, ６００１Tη(２３０００Tηk

注设

６

b?时β可由ii表出并写出表达式其解与例２完全相同第三 应用—特征值与二次引言 xy 含交叉项一般形⇓′ ′) (２３

只含平方项标准形一二次型二次齐次f１xx３ 规１ ３x１规 x１ 写 ３２３x３对称矩阵化成

关键:将矩阵A相似对角化Λ需三个准备工作二A的特征值和特征向量对于An×n若存在数非零列向量使得Aξ称λ为A的特征值为A的属于λ的特征向量．１ ０１ １ 如 １１２１ １１ ξAξ⇒EAξ⇒EX λniEXEX例求矩阵

１ ０ １０ １的特征值和特征向量 １１解写特征方程λE 因此１

λ

λλλ)TEXT

１ λ１

~E

X,

得到 １０ １→０ ０ １００００

１１０Tλ２T

~E

X,

得到 ( １１２１→０１１ １１００ １０１０１λ １时⇒EAX即 １ １１０１２得 ２０００ξ３(１２１T三相似的定A~ A１ξn)１ξn １nnii四正交矩阵定义若PPTE则称P为正交阵α１→a１１a１a１３a１１a１a３１

１０

０１α→a１ α３→a３１a３a３３a１３a３a３３００ a１１ a１ a３１

１α １３) αα３α３五二次型的一般形化为标准形PTPT P１YAY)PYTPP)Y求一个正交变换化下列二次型为标准形fx１x３２x１x１ ０x１ 解写A

x ０１１x３ λ

求A的λ与

２ 将１ξ３正交化单位化⇒拼成正交阵

１

１ １ξ)

２１３)

０

１η３ η１

６ξ (, ξ １ １故令 １ηη３

)

１１f ) (y３１１ 附录:课后该做习题第一 行列章内考纲要必做例必做习题§二阶与三阶行列行列式的概了例P２习题一二三阶行列式计算的对角会§．全排列和对换排列及其逆序数的概念考研不做要对§n阶行列式的定义n阶行列式的定了例２习题一３对角行列式上下三角形行列掌握重点结论需要记住,以后直接使用§．行列式的性质性质~性质及各个推论掌例~９例０证明不要求,结论记住以后直接使用)P习题,自己证明性质３~性利用行列式的性质计算行列会§５行列式按行列)展开式代数式的概理,３定理行列式按行列展开法则及其推会证明不要求掌握定理２推论的证明范德蒙德行列式的定义与结理解熟记范德蒙德行列式的特点与计算公式)第二 矩阵及其运章内考纲要必做例必做习题§线性方程组和矩阵齐次线性方程组非齐次性方程组的概念,零解非零解的概理例mn矩阵n阶方阵列向量概同型矩阵,矩阵相等,零矩阵的概念了单位矩阵三角矩阵对和称矩阵,对角矩阵的概２的运算矩阵的加法数的定义和运算掌例５,,８９经典例题,０矩阵乘法的定义和运算律,矩阵的纯量矩阵数量矩阵的概了矩阵转置的定义和特点掌对阵矩阵的定义和特点了方阵的行列式和运算律伴随矩阵的定义和性质理解重点３逆矩阵的定理 ３５~,,定理定理２及推掌方阵逆矩阵的运算律矩阵方程例)矩阵的m次多项式４默法则克拉默法则及其证明会重点例二５５分块法分块矩阵的运算律(i~例９经典例题２按行分块的按列分块线性方程组便是的变形形式:式０)第三 矩阵的初等变换与线性方程章内考纲要必做例必做习题§矩阵的初等初等变换的定理解数一了解数二数三矩阵等价的定义和性质了行阶梯形矩阵的特点行最简形矩阵的特点定掌初等矩阵的概念和性质性质性质)了方阵可逆的充分必要条件掌２矩阵的秩的定义满秩矩阵掌握重点例(),２定理２及其推论矩阵秩的基本性质①§３３方程组的解定理３与求解线性方程组的步掌握重点例３３４,(３,２定理４~定理解重点定理掌握重点第四 向量组的线性相关章内考纲要必做例必做习题§向量组及其线性组合向量向量组的定理解数一数二了解数三例线性组合线性表示向量组等价的定义理解重点定理,矩形阵等价与向组等价之间的关系定理２及其推论,定理单位坐标向量的定义(见例§４２的线性相关性线性相关线性无关的概念理解重点例P习题四:３()４~定理定理５及其证明掌握重点３组的秩最大线性无关组定义与等价定理解数一数二了数三重点例P习题四:~２,仅数学３向量组的秩与矩阵的秩之间的关理解数一数三了数二重点矩阵的最大线性无关组会§４４方程组的解的结构齐次线性方程组的解向量的性质性质性质掌握重点例P习题四:２,２２~,仅数学一３齐次线性方程组的解向量的性质:性质３性质理解重点齐次线性方程组的基础解系,定理掌握重点齐次非齐次线性程组的通掌握重点用初等行变换求解线性方程组的方法５向量空间的定义,量空间的基维了解仅数学一要求P习题四:仅数学一要求向量在基下的坐标,基变换公式坐标变换公式过渡矩阵第五 相似矩阵及二次章内考纲要必做例必做习题§５．向量的内积长度及正交性向量内积的定义和性质向量长度的定义与性质了例两个向量正交,正向量组定理规范正交基,施密正交化过掌正交矩阵的定义和性质理正交变§５２方阵的特征值与特征向量方阵的特征值和特征向量的定理例~３特征方程特征多项式,特值和特征向量的计算会数一数二掌握数三特征值的性质:例掌特征值的性质:定理理解(数学三不作要求３相似矩阵的定义及性质定理３及其推论理解重点数三要求掌握其性质例４~矩阵的相似对角化定理４及其推论掌握重点４矩阵的对角化定理５及其推论掌握重点定理５的证明不用看例３~４,对称矩阵对角化的步骤掌握重点５型及其标准化二次型的概念,二次型的标准形规范形的概了解重点考研不要求的内容:复二次型例２仅数学一二次型的