2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高二年级下册学期月考数学（理）试题【含答案】

2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高二下学期月考数学（理）试题一、单选题1．已知在等差数列中，，则（

）A．2 B．4 C．5 D．7【答案】C【分析】由等差数列下标和的性质计算.【详解】由等差数列下标和的性质可得，所以.故选：C2．已知中，内角，，的对边分别为，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可.【详解】根据正弦定理，由因为，所以，于是有，故选：A3．某班有60名同学，一次数学考试（满分150分）的成绩服从正态分布，若，则本班在100分以上的人数约为（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】根据正态曲线的性质求出，即可估计人数；【详解】解：因为，所以本班在100分以上的人数约为.故选：B4．二项式的展开式中，常数项是（

）A．15 B． C．30 D．【答案】A【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的幂指数为求出，从而得到展开式中的常数项.【详解】设展开式中的项为常数项，，则，解得，所以常数项为，故选：.5．如图，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据向量对应线段的位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义，用表示即可.【详解】由题图，.故选：A6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球，则随机取一袋，再以该袋中随机取一球，该球是白球的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】应用独立事件乘法及互斥事件的加法公式，求取出白球的概率.【详解】由题意，白球的概率为.故选：D7．4月1日，根据当前疫情防控工作需要，定州市新冠肺炎疫情防控工作总指挥部发布通告，要求我市全域内除特殊人员外，所有人员保持居家，不出小区（村）等待全员核酸检测．为了保障广大居民的生活需要，某小区征集了多名志愿者，现有5名志愿者承包A，B，C三栋居民楼，每位志愿者负责一栋楼，且每栋楼至少一名志愿者，则分派方法的种数为（

）A．90 B．150 C．180 D．300【答案】B【分析】先分组再分配，分组又分为3,1,1和2,2,1两类，第二类涉及平均分组，需要去重【详解】先分组:按照居民楼人数分为3,1,1和2,2,1两类3,1,1:从5名志愿者中选出3名作为一个组,其余2人各自一组,有种2,2,1:从5名志愿者中选出4名平均分为两组,剩下1人一组,有种再分配:3个组到三栋居民楼有种所以总的分派方法数有种故选：B8．已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前n项和，则的最小值为（

）A． B．7 C． D．【答案】C【分析】由题意，，，成等比数列，可得，即可求出，代入，再结合双勾函数性质可求出答案.【详解】由于，，成等比数列，所以，∴，解得∴，∴所以，由双勾函数性质知在上单调递增，所以当时，取得最小值为：，所以的最小值为.故选：C.二、多选题9．已知与线性相关，且求得回归方程为，变量，的部分取值如表所示，则（

）A．与负相关 B．C．时，的预测值为 D．处的残差为【答案】BC【分析】利用数据求出样本中心坐标，代入回归直线方程，得到，进而逐一判断正误即可.【详解】解：由题意得，，所以样本中心点的坐标为，代入线性回归方程得，解得，B正确；由可知与正相关，A错误；时，，C正确；时，，残差为，D错误．故选：BC．10．等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的有A． B． C． D．【答案】BC【解析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.【详解】由等差中项的性质可得为定值，则为定值，为定值，但不是定值.故选：BC.【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.11．已知随机变量的分布列为1230.3则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据随机变量分布列的性质可求解的值，然后再根据分布列计算数学期望即可.【详解】由，得，则.故选：AC.12．对于函数，下列说法正确的是（

）A． B．在处取得极大值C．有两个不同的零点 D．若在上恒成立，则【答案】ABD【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值的定义判断选项AB；由函数零点的定义可判断选项C；构造函数，利用导数求函数的最大值，可判断D.【详解】对于函数，，，；令，得，解得，当时，，所以函数在上为单调递增函数，当时，，所以函数在,上为单调递减函数，∴，又，∴，故A正确；所以函数在处取得极大值，故B正确；因为时，得，解得，所以函数只有一个零点，选项C错误；因为在上恒成立，则在上恒成立，令，则，令，解得，当时，，单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，，所以，选项D正确.故选：ABD.三、填空题13．计算：_________．【答案】【分析】由平面向量的加减法及其运算律求解即可.【详解】.故答案为：.14．袋子中装有3个黑球和2个白球共5个小球，如果不放回地依次摸取2个小球，则在第1次摸到黑球的条件下，第2次还摸到黑球的概率为________.【答案】##【分析】根据条件概率公式进行求解即可.【详解】设事件：第1次摸到黑球，事件：第2次摸到黑球，所以，，因此，故答案为：15．现有4种不同颜色要对如图的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有______种.【答案】48【分析】根据题意，依次分析四个区域的涂色方法数目，由分步计数乘法原理计算可得答案．【详解】若先给最上面一块着色，有4种结果，再给中间左边一块着色，有3种结果，再给中间右边一块着色，有2种结果，最后给下面一块着色，有2种结果，根据分步乘法计数原理知共有4×3×2×2=48（种）结果．故答案为：48．16．若的展开式中项的系数为20，则的最小值为_________.【答案】2【分析】由二项式定理与基本不等式求解【详解】由二项式定理得展开通项为，令，得，故，，，当且仅当时等号成立，故答案为：2四、解答题17．如图．正方体中，棱长为1，(1)求证：AC⊥平面；(2)求二面角的平面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：∵在正方体中，平面ABCD，又平面ABCD，∴，∵，，，BD，平面，∴AC⊥平面；（2）∵，所以，又，而，面BAC，∴为二面角的平面角．在中，，，∴，∴．18．在中，分别为内角A，B，C的对边，且．（1）求C的大小；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先利用正弦定理将转化为，再利用两角和的正弦公式化简可求得答案；（2）由余弦定理结合已知条件可求出，，然后利用三角形的面积公式可求得结果【详解】解：（1）∵，∴根据正弦定理可得，，∴，∴．因为，∴，又∴．（2）由余弦定理，得，解得，由得所以的面积所以的面积．19．已知数列是等比数列，公比，且是的等差中项，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意，将条件化简为的形式并求解，代入写出等比数列的通项公式；（2）利用错位相减法求和.【详解】（1）依题意得：，，又（2）由（1）知，相减得：整理得：20．新能源汽车是指除汽油､柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企统计了近期购车的车主性别与购车种类的情况，其中购车的男性占近期购车车主总人数的，女性购置新能源汽车人数为所有购车总人数的，男性购置传统燃油汽车人数为所有购车总人数的，现有如下表格：购置新能源汽车（辆）购置传统燃油汽车（辆）总计男性60女性总计(1)完成上面的的列联表，并判断能否有的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；(2)以样本中购置新能源汽车的频率作为概率，现从全国购车的车主中随机抽取4人，设其中购置新能源汽车的人数为，求的分布列及期望．参考公式及数据：，其中．【答案】(1)填表见解析；有的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关(2)分布列见解析；期望为3【分析】（1）由题中的数据可计算出每一个值，然后填表即可，再根据表中的数据计算即可求解问题；（2）由题意，将问题看成是二项分布即可求解问题.【详解】（1）由题中的数据可得列联表如下：购置新能源汽车（辆）购置传统燃油汽车（辆）总计男性501060女性251540总计7525100所以，所以有的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关．（2）（2）由题意及（1）知，购置新能源汽车的概率为的可能取值为．，故的分布列为：01234所以21．已知椭圆：的离心率为，以椭圆上一点和短轴两个端点为顶点的三角形面积的最大值为2.(1)求的方程；(2)直线过椭圆长轴上点且与椭圆相交于不同两点，，点，当为何值时为定值，并求其定值.【答案】(1)；(2)当时，为定值12.【分析】（1）列方程组解方程组即得解；（2）当直线斜率不为0，设直线：，，，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，为定值，求出或，当直线过点斜率为0时亦成立，即得解.【详解】（1）解：由题意可知解得，，故椭圆的方程为.（2）解：当直线斜率不为0，设直线：，，，则整理得：，∴由知，.∵，，∴又∵，，代入上式得：为定值，∴，解得：或，又∵在椭圆长轴上，∴，满足，且（定值），当直线过点斜率为0时亦成立，∴当时，为定值12.22．已知函数，曲线在点处的切线方程为.(1)求a，b的值；(2)若对任意的都有成立，求m的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据题意可得代