2022-2023学年内蒙古自治区包头市高二年级上册学期期中考试数学（理）试题【含答案】

2022-2023学年内蒙古自治区包头市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】将特称命题否定为全称命题即可.【详解】命题“，”的否定是“，”，故选：A.2．圆与圆的位置关系为（

）A．相离 B．内切 C．外切 D．相交【答案】B【分析】根据圆心距与的关系求得正确答案.【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，圆心距，所以两圆的位置关系是内切.故选：B3．已知双曲线（m为非零常数）的渐近线方程为，则双曲线的虚轴长是（

）A．－3 B．3 C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的渐近线方程求得，进而求得双曲线的虚轴长.【详解】双曲线，即，双曲线的渐近线方程为，所以，所以双曲线方程为，所以，则虚轴长.故选：C4．已知椭圆经过点，且焦点分别为，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件求得，从而求得椭圆的离心率.【详解】由于焦点，所以焦点在轴上，且，由于椭圆经过点，所以，所以，所以椭圆的离心率为.故选：D5．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为4，则等于（

）A．10 B．9 C．6 D．5【答案】B【分析】利用抛物线的几何意义求解即可.【详解】设，由题意得，所以由抛物线的几何意义得，故选：B.6．已知空间四边形ABCO中，，，，M为OA中点，点N在BC上，且，则等于（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解．【详解】如图所示：点N在BC上，且，∴，由，，，为中点，，，．故选：D．7．曲线与曲线的（

）A．焦距相等 B．焦点相同 C．离心率相等 D．顶点相同【答案】A【分析】先分清两曲线分别是什么类型的曲线，再分别求出每个曲线的几何特征即可.【详解】对于曲线，，是焦点在x轴上的椭圆，；对于曲线，，是焦点在y轴上的双曲线，；所以两曲线的焦距相同.故选：A8．下列命题中的说法正确的是（

）A．命题“若，则”的否命题为“若，则”B．命题“”为真命题，则“命题”和“命题”均为真命题C．“，则全为0”的逆否命题是“若不全为0，则”D．命题“若空间向量，则”的逆命题是真命题【答案】C【分析】利用否命题、逻辑连接词、逆否命题和逆命题的定义判断各选项即可.【详解】命题“若，则”的否命题为“若，则”，选项A错误；命题“”为真命题，则“命题”和“命题”均为真命题或其中一个为真命题，选项B错误；“，则全为0”的逆否命题是“若不全为0，则”，选项C正确；命题“若空间向量，则”的逆命题为“若空间向量，则”，由于模长相等方向不一定相等，所以该命题为假命题，选项D错误；故选：C9．已知圆外一点，点P是圆上任意一点，线段NP的垂直平分线l和直线MP交于点Q，则点Q的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合双曲线的定义求得正确答案.【详解】圆的圆心为，半径，由于线段的垂直平分线交直线于，所以，所以，所以点的轨迹是双曲线，且，所以点的轨迹方程为.故选：A10．椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为（

）A．1 B． C．－1 D．【答案】C【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．【详解】设弦的两端点为，，则，因为，所以点在椭圆内，将，代入椭圆得两式相减得，即，即，即，即，所以弦所在的直线的斜率为.故选：C．11．直线与圆有公共点是点在该圆外的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】结合直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系、充分和必要条件的知识确定正确答案.【详解】圆的圆心为，半径为，当直线与圆有公共点时，，所以在圆上或圆外，所以直线与圆有公共点是点在该圆外的必要不充分条件.故选：B12．已知P是抛物线上的一点，过点P作直线的垂线，垂足为H，设圆上任意一点Q，则的最小值是（

）A． B．5 C．6 D．4【答案】B【分析】结合抛物线的定义以及圆的几何性质求得正确答案.【详解】抛物线的焦点，准线方程为，根据抛物线的定义可知，圆的圆心为，半径，，所以,所以当三点共线时，取得最小值.故选：B二、填空题13．抛物线的准线方程是________．【答案】【分析】先将抛物线方程化为标准形式，即可得出其准线方程.【详解】因为抛物线的标准方程为：，因此，即；所以其准线方程为：.故答案为：【点睛】本题主要考查求抛物线的准线方程，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.14．过点的等轴双曲线，其焦点到渐近线的距离是______．【答案】【分析】根据点求得等轴双曲线的方程，求得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，从而求得正确答案.【详解】当双曲线的焦点在轴上时，设等轴双曲线的方程为，由于等轴双曲线过点，所以，所以，双曲线方程为，渐近线方程为，即，双曲线其中一个焦点到其中一条渐近线的距离为，根据对称性可知，双曲线焦点到渐近线的距离是.当双曲线的焦点在轴上时，设等轴双曲线的方程为，由于等轴双曲线过点，所以，不符合题意.综上所述，该等轴双曲线的焦点到渐近线的距离是.故答案为：15．点P是椭圆上的一点，则点P到直线的距离最大值是______．【答案】【分析】设，为OP与x轴正半轴的夹角，由点线距离公式及辅助角公式即可求化简大值.【详解】设，为OP与x轴正半轴的夹角，则点P到直线的距离为，其中，故.故答案为：16．如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.【答案】2米【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，将A（2，-2）代入，得m=-2，∴，代入B得，故水面宽为米，故答案为米．【解析】抛物线的应用17．已知是双曲线的右焦点，P是双曲线右支上的一点，且轴，点A是双曲线的左顶点，若，则双曲线的离心率为______．【答案】【分析】根据，得到，，进而利用勾股定理，得到，列方程计算可得答案.【详解】如图，，又，则有，且为直角三角形，，列方程得，，化简得，再整理得，，解得或（舍去）故答案为：18．已知曲线有如下命题：：若，则C是椭圆，其焦点在y轴上：若，则C是圆，其半径为：若，则C是双曲线，其渐近线方程为：若，，则C是两条直线则下述命题中所有真命题的序号是______．①②③④【答案】①③【分析】根据椭圆、圆、双曲线、直线的知识对四个命题进行分析，结合逻辑连接词的知识求得正确答案.【详解】依题意，曲线，：若，则，曲线表示焦点在轴上的椭圆，为真命题.若，则曲线，表示圆心在原点，半径为的圆，是假命题，是真命题.若，则当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，由，所以双曲线的渐近线方程为.当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，由，所以双曲线的渐近线方程为.综上所述，是真命题，是假命题.若，，的方程为，所以是两条直线，所以是真命题，是假命题，所以①为真命题；②为假命题；③为真命题；④为假命题.所以真命题的序号①③.故答案为：①③三、解答题19．已知圆C经过点，，且圆心C在直线上．(1)求圆C的一般方程；(2)若线段OP的端点P在圆C上运动，端点O为坐标原点，求线段OP的中点M的轨迹方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法即可求得圆C的一般方程；（2）利用直接代入法即可求得点M的轨迹方程.【详解】（1）设所求圆的C的一般方程为，则圆心，由题意得，解得，所以圆的C的一般方程为.（2）依题意，设，，因为M为线段OP的中点，，所以，又因为点P在圆C上运动，所以，故，整理得：，所以点M的轨迹方程为.20．在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设l与C交于P，Q两点．(1)求l与C的极坐标方程；(2)求．【答案】(1)l的极坐标方程为，圆C的极坐标方程为；(2)【分析】（1）先把参数方程化为直角坐标方程，再化为极坐标方程；（2）求出直线l、圆C的直角坐标方程和交点坐标，再由两点间的距离公式计算即可.【详解】（1）l的直角坐标方程为，化为极坐标方程为，将圆C的参数方程平方相加得，化为极坐标方程为；（2）设，由得，解得，当时，即，当时，即，所以.21．已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点到焦点的距离为4．(1)求此抛物线的方程．(2)若此抛物线方程与直线相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为4，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）结合抛物线的定义求得，进而求得抛物线的方程.（2）联立直线的方程与抛物线的方程，化简写出根与系数关系，根据中点的横坐标求得.【详解】（1）依题意，抛物线焦点在轴，且的横坐标为正数，所以抛物线开口向右，设抛物线的方程为，由于抛物线上一点到焦点的距离为4，所以，所以抛物线方程为.（2）由消去并化简得，则，，解得且，设，则，AB中点横坐标为4，所以，解得或（舍去）.22．已知，椭圆的两个焦点，椭圆上的任意一点P使得，且的最大值为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证直线l过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(1)(2)证明详见解析，定点坐标为【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，根据“以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点”列方程，由此求得定点坐标.【详解】（1）依题意，，由于的最大值为，所以，所以，所以椭圆的标准方程是.（2）椭圆的右顶点为，当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，由得，设，则，由于以AB为直径的圆经过