高一数学《函数的奇偶性》

y偶函数12-1-2012-1341.y=f(x)=x2xf(-1)=1,f(1)=1即f(-1)=f(1)f(-2)=4,f(2)=4即f(-2)=f(2)……f(-x)=f(x)编辑ppt

设函数f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且f(－x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数。∵当x=3时，f(3)=9,但f(-3)不存在，不符合偶函数的定义∴f(x)不是偶函数函数f(x)=x2x∈(-3,3]是不是偶函数？编辑ppt120-1-2-8-118xyf(-1)=-1,f(1)=1即f(-1)=-f(1);f(-2)=-8,f(2)=8即f(-2)=f(2);……f(-x)=-f(x)2.y=f(x)=x3奇函数编辑ppt

设函数f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且f(－x)=-f(x),则这个函数叫做奇函数。编辑ppt一.函数的奇偶性概念①f(－x)=-f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。②f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数。设函数f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且编辑ppt☆对奇函数、偶函数定义的说明:(1).定义域关于原点对称.

[a,b][-b,-a]xo（2)若f(x)为奇函数,则f(-x)=－f(x)成立。若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。（3）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,

那么我们就说函数f(x),具有奇偶性。编辑ppt练习1.说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数奇函数①f(x)=x4

②f(x)=x奇函数⑤f(x)=x-2

偶函数③f(x)=x5

⑥f(x)=x-3

说明：对于形如f(x)=xn(n€N*)的函数，若n为偶数，则它为偶函数。若n为奇数，则它为奇函数。④f(x)=x-1

编辑ppt练习2.：判断下列函数的奇偶性(1).f(x)=x3x∈[-1,3](2).f(x)=5x∈R(2)∵f(-x)=5=f(x)∴f(x)=5是偶函数解(1)∵当x=3时，f(3)=27,但f(-3)不在，不符合函数奇偶性定义∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数f(x)＝５oxy5编辑ppt解:(4)定义域为[0,+∞)∵定义域不关于原点对称∴f(x)为非奇非偶函数(3)f(x)=3(4).f(x)=√x√x解:(3)定义域为R∵f(-x)=3-x=-3√x=-f(x)∴f(x)为奇函数√编辑ppt(5)f(x)=0解:(5)定义域为R∵f(-x)=f(x)=0又f(-x)=-f(x)=0∴f(x)为既奇又偶函数说明:函数f(x)=0(定义域关于原点对称),既奇又偶函数。编辑ppt

奇函数说明：根据奇偶性,偶函数函数可划分为四类:既奇又偶函数非奇非偶函数编辑ppt练习3.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x(2)f(x)=2x4+3x2解:∵f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2∴f(x)为偶函数定义域为R解:定义域为R即f(-x)=f(x)编辑ppt(3).f(x)=解：∵定义域为{xx∈R且x≠1}

关于原点不对称∴是非奇非偶函数。编辑ppt解：1-x2≥0|x+2|≠2-1≦x≦1x≠0且x≠-4-1≦x≦1且x≠0∴定义域为[-1,0)∪(0,1]√1-x2∴f(x)=(x+2)-2∵f(-x)=√1-(-x)2-x√1-x2x-=即f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数.练习4.判断函数f(x)=的奇偶性。|x+2|-2√1-x2√1-x2x=⑴先求定义域，看是否关于原点对称;⑵再判断f(－x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立。☆说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:编辑ppt练习5.判断下列函数的奇偶性⑴.f(x)=⑵.f(x)=|x-1|+|x+1|⑶.f(x)=定义域为{1}.不关于原点对称∴是非奇非偶函数。⑷.f(x)=定义域为{-1，1}f(x)=0∴是既奇又偶函数。定义域：{x|x≠0}f(-x)=-x3+=-f(x)∴是奇函数。定义域为Rf(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f(x)∴是偶函数。编辑ppt(2)f(x)=x2xyyx(3)f(x)=x-1oo11(1)f(x)＝５xoy偶函数的图像特征编辑pptyxyyxx(4)f(x)=x(6)f(x)=1/x(5)f(x)=x3ooo111奇函数的图像特征编辑ppt一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于Y轴对称xo函数y=x2的图像偶函数的图像特征编辑ppt奇函数的图像特征函数y=x3的图像xyO一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称编辑ppt奇函数的图象(如y=x3)偶函数的图象(如y=x2)xyOxo编辑ppt二、定理１、奇函数的图象关于原点对称。偶函数的图象关于y轴对称。２、如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。①一个函数是偶函数它的图象关于Y轴对称。②一个函数是奇函数它的图象关于原点对称。编辑ppt例2：已知函数y=f(x)是它的图象如图所示，画出函数y=f(|x|)的图象。xy例1：作出函数f(x)=x2-2|x|-3的图象。13-3xy2-40-3编辑pptABDEA1B1C1D1E1COHxy例3.已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图所示，画出函数y=f(x)在y轴左边的图象。编辑pptABDEA1B1C1D1E1COxy例3已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图所示，画出函数y=f(x)在y轴左边的图象。编辑pptOxyABCDEA1B1C1D1E1例4已知函数y=f(x)是奇函数，它在y轴右边的图象如下图所示，画出函数y=f(x)在y轴左边的图象。编辑pptOxyABCDEA1B1C1D1E1例4已知函数y=f(x)是奇函数，它在y轴右边的图象如下图所示，画出函数y=f(x)在y轴左边的图象。编辑ppt复习思考2、奇函数的图象关于原点对称设f(x)为奇函数，则有f(－x)=－f(x)；在f(x)图象上任取一点(a，f(a))那么,点(－a,－f(a))也在函数f(x)的图象上所以：f(x)的图象关于原点对称３、偶函数的图象关于y轴对称设f(x)为偶函数，则有f(－x)＝f(x)在f(x)的图象上任取一点(a，f(a))

那么,点(－a,f(a))也在函数f(x)的图象上

所以：f(x)的图象关于y轴对称（－x，－y）（－x，y）1、与点（x，y）关于原点对称的点是。

与点（x，y）关于y轴对称的点是。

y0x-aaf(a)-f(a)y0x。。-aaf(a)f(a)编辑ppt小结：奇函数的图象关于原