正态总体均值与方差的假设检验概述

本资料来源第5.2节正态总体均值与方差的

假设检验一、t检验二、检验三、F

检验四、单边检验一、t检验例1某切割机在正常工作时,切割每段金属棒的平均长度为10.5cm,标准差是0.15cm,今从一批产品中随机的抽取15段进行测量,其结果如下:假定切割的长度服从正态分布,且标准差没有变化,试问该机工作是否正常?解查表得定理2.8根据第二章§2.3定理2.8知,上述利用t

统计量得出的检验法称为t检验法.此检验的势函数为:如果在例1中只假定切割的长度服从正态分布,问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化?解查表得t分布表例2(p157例5.5)利用t检验法检检验具有有相同方方差的两两正态总总体均值值差的假假设.定理2.9根据第二章§§2.3定理2.9知,其拒绝域域的形式式为第一类错错误的概概率为：：例3

有甲、乙两台机床加工相同的产品,从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干件,测得产品直径(单位:mm)为机床甲:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0,19.0,19.9机床乙:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2,试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著差异?假定两台机床加工的产品直径都服从正态分布,且总体方差相等.解即甲、乙两台机机床加工工的产品品直径无无显著差差异.有时为了了比较两两种产品品,或或两种仪仪器,两两种方方法等的的差异,我们们常在相相同的条条件下作作对比试试验,得得到一一批成对对的观察察值.然然后分分析观察察数据作作出推断断.这这种方法法常称为为逐对比较较法.例4有两台光光谱仪Ix,Iy,用来测量量材料中中某种金金属的含含量,为为鉴定定它们的的测量结结果有无无显著差差异,制制备了了9件试试块(它它们的成成分、金金属含量量、均匀匀性等各各不相同同),现现在分分别用这这两台机机器对每每一试块块测量一一次,得得到9对观察察值如下下:问能否认认为这两两台仪器器的测量量结果有有显著的的差异?解本题中的的数据是是成对的的,即即对同一一试块测测出一对对数据,我们们看到一一对与另另一对之之间的差差异是由由各种因因素,如如材料料成分、、金属含含量、均均匀性等等因素引引起的.[这这也表明明不能将将光谱仪仪Ix对9个试试块的测测量结果果(即表表中第一一行)看看成是一一个样本本,同同样也不不能将表表中第二二行看成成一个样样本,因因此不不能用表表8.1中第4栏的检检验法作作检验].而同一对对中两个个数据的的差异则则可看成成是仅由由这两台台仪器性性能的差差异所引引起的.这样样,局局限于各各对中两两个数据据来比较较就能排排除种种种其他因因素,而而只考考虑单独独由仪器器的性能能所产生生的影响响.表中第三行表表示各对数据据的差若两台机器的的性能一样,随机误差可以以认为服从正正态分布,其其均值为零零.按关于单个正正态分布均值值的t检验,知拒拒绝域为认为这两台仪仪器的测量结结果无显著的的差异.二、检检验(1)要求求检验假设:根据第二章§2.3,指它们的和集集为了计算方便便,习惯上上取拒绝域为:解例5

某厂生产的某种型号的电池,其寿命长期以来服从方差=5000(小时2)的正态分布,现有一批这种电池,从它生产情况来看,寿命的波动性有所变化.现随机的取26只电池,测出其寿命的样本方差s2=9200(小时2).问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化?拒绝域为:认为这批电池池的寿命的波波动性较以往往的有显著的的变化.例6(p160例5.7)美国民政部门门对某住宅区区住户的消费费情况进行的的调查报告中中，抽出9户为样本，每每年开支除去去税款和住宅宅等费用外,依次为:4.9,5.3,6.5,5.2,7.4,5.4,6.8,5.4,6.3（单位k元）.假定住户消费费数据服从正正态分布，当当给定=0.05,问所有住户消消费数据的总总体方差为0.3是否可信?解查表得所有住户消费费数据的总体体方差为0.3不可信三、F检验需要检验假设设:定理2.10根据第二章§2.3定理2.10知检验问题的拒拒绝域为上述检验法称称为F检验法.例7(p104例5.8)为了考察温度度对某物体断断裂强力的影响，在在70度和80度分别重复做做了8次试验，测得的断裂强强力的数据如如下(单位Pa):70度：20.5,18.8,19.8,21.5,19.5,21.0,21.280度：17.7,20.3,20.0,18.8,19.0,20.1,20.2,19.1解所以两总体方方差无显著差差异.例8分别用两个不不同的计算机机系统检索10个资料,测得平均均检索时间及及方差(单位位:秒)如下下:解假定检索时间服从从正态分布,问这两系系统检索资料料有无明显差差别?根据题中条件件,首先应应检验方差的的齐性.认为两系统检检索资料时间间无明显差别别.四、、单单边边检检验验1.右边边检检验验与与左左边边检检验验右边边检检验验与与左左边边检检验验统统称称为为单边边检检验验.首先先通通过过一一个个实实例例来来说说明明双双边边检检验验与与单单边边检检验验的的区别别与与联联系系.某种种电电子子元元件件的的寿寿命命X(以小小时时计计)服服从从正正态态分分布布,均为为未未知知.现现测得得16只只元元件件的的寿寿命命如如下下:问是是否否有有理理由由认认为为元元件件的的平平均均寿寿命命大大于于225(小小时时)?例9解依题题意意需需检检验验假假设设查表表得得由上上述述例例子子可可以以看看到到：：两两种种检检验验使使用用的的统统计计量量一一致致，，区区别别在在于于拒拒绝绝域域.双边边检检验验与与单单边边检检验验的的拒拒绝绝域域分分别别为为：：因为为与与双双边边检检验验有有密密切切关关系系，，因因而而仅仅举举一一例例说说明明。。2.单边边检检验验拒拒绝绝域域的的计计算算利用用t检验验法法检检验验具具有有相相同同方方差差的的两两正正态态总总体体均均值值差差的的单单边边假假设设.定理理2.9根据据第二二章章§§2.3定理理2.9知,其拒拒绝绝域域的的形形式式为为又由由于于例10在平平炉炉上上进进行行一一项项试试验验以以确确定定改改变变操操作作方方法法的的建建议议是是否否会会增增加加钢钢的的得得率率,试试验验是是在在同同一一只只平平炉炉上上进进行行的的.每每炼炼一一炉炉钢钢时时除除操操作作方方法法外外,其其它它条条件件都都尽尽可可能能做做到到相相同同.先先采采用用标标准准方方法法炼炼一一炉炉,然然后后用用建建议议的的新新方方法法炼炼一一炉炉,以以后后交交替替进进行行,各各炼炼了了10炉炉,其其得得率率分分别别为为(1)标标准准方方法法:78.1,72.4,76.2,74.3,77.4,78.4,76.0,75.5,76.7,77.3;(2)新新方方法法:79.1,81.0,77.3,79.1,80.0,78.1,79.1,77.3,80.2,82.1;设设这这两两个个样样本本相相互互独独立立,且且分分别别来来自自正正态态总总体体问建建议议的的新新操操作作方方法法能能否否提提高高得得率率?解分别别求求出出标标准准方方法法和和新新方方法法下下的的样样本本均均值值和和样样本本方方差差:即认认为为建建议议的的新新操操作作方方法法较较原原来来的的方方法