无穷积分的性质及收敛判别课件

§2无穷积分的性质及收敛判别一、无穷积分的性质

本节讨论无穷积分的性质,并用这些性质得到无穷积分的收敛判别法.二、非负函数无穷积分的收敛判别法三、一般函数无穷积分的收敛判别法返回§2无穷积分的性质及收敛判别一、无穷积分的性质收敛的充要条件是:一、无穷积分的性质证极限的柯西准则,此等价于(无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分定理11.1收敛的充要条件是:一、无穷积分的性质证极限的柯西准则,此等价性质1为任意常数,则即根据反常积分定义,容易导出以下性质1和性质2.性质1为任意常数,则即根据反常积分定义,容易导出以下性质性质2性质2h(x)在任意[a,u]上可积,且证因为收敛,由柯西准则的必要性,例1,f(x),g(x),若h(x)在任意[a,u]上可积,且证因为收敛,由再由柯西准则的充分性,再由柯西准则的充分性,二、非负函数无穷积分的收敛判别法定理11.2(非负函数无穷积分的判别法)设定义在上的非负函数f

在任何收敛的充要条件是:证设二、非负函数无穷积分的收敛判别法定理11.2(非负函数无穷积非负函数

f,g在任何有限区间[a,u]上可积,且定理11.3(比较判别法)

设定义在上的两个增函数的收敛判别准则,

从而F(u)是单调递增的由单调递存在满足非负函数f,g在任何有限区间[a,u]上可积,证

由非负函数无穷积分的判别法,第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立.证由非负函数无穷积分的判别法,第二个结论是第一个结论的逆否例2判别的收敛性.解显然设f(x),g(x)是上的非负连续函数.证例3例2判别的收敛性.解显然设f(x),g(x)是推论1设非负函数f和g在任何[a,u]上可积,且证由于推论1设非负函数f和g在任何[a,u]上可证

即证即无穷积分的性质及收敛判别课件推论2设f是定义在上的非负函数,在任何推论2设f是定义在上的非负限区间[a,u]上可积.推论3设f是定义在上的非负函数,在任何有说明:推论3是推论2的极限形式，读者应不难写出它的证明.限区间[a,u]上可积.推论3设f是定义在例4讨论的收敛性(k>0).解(i)例4讨论的收敛性(k>0).解(i)若无穷积分以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性.三、一般函数无穷积分的判别法何有限区间[a,u]上可积,定理11.4

(绝对收敛的无穷积分必收敛)若

f在任若无穷积分以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性.三因此再由柯西准则的充分性,又对任意证由柯西准则的必要性,对因因此再由柯西准则的充分性,又对任意证由柯西准则的必要性,收敛的无穷积分不一定是绝对收敛的.例5的收敛性.判别解由于收敛的无穷积分不一定是绝对收敛的.例5的收敛性.判别解由于一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷判定理11.5(狄利克雷判别法）证故别法和阿贝尔判别法判别其收敛性.一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷判定理11.5(狄利使得使得因此,由柯西准则，证[证法1]定理11.6(阿贝尔判别法)由

g的单调性,用积分第二中值定理，对于任意的使得因此,由柯西准则，证[证法1]定理11.6(阿贝尔判别由柯西准则,[证法2]由柯西准则,[证法2]由狄利克雷判别法例6的收敛性.收敛.收敛,所以解由狄利克雷判别法例6的收敛性.收敛.收敛,所以解由狄利克雷判别法推知另一方面，狄利克雷判别法条件,是收敛的；由狄利克雷判别法推知另一方面，狄利克雷判别法条件,是收敛的类似可证:类似可证:复习思考题反之呢?复习思考题反之呢?无穷积分的性质及收敛判别课件§2无穷积分的性质及收敛判别一、无穷积分的性质

本节讨论无穷积分的性质,并用这些性质得到无穷积分的收敛判别法.二、非负函数无穷积分的收敛判别法三、一般函数无穷积分的收敛判别法返回§2无穷积分的性质及收敛判别一、无穷积分的性质收敛的充要条件是:一、无穷积分的性质证极限的柯西准则,此等价于(无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分定理11.1收敛的充要条件是:一、无穷积分的性质证极限的柯西准则,此等价性质1为任意常数,则即根据反常积分定义,容易导出以下性质1和性质2.性质1为任意常数,则即根据反常积分定义,容易导出以下性质性质2性质2h(x)在任意[a,u]上可积,且证因为收敛,由柯西准则的必要性,例1,f(x),g(x),若h(x)在任意[a,u]上可积,且证因为收敛,由再由柯西准则的充分性,再由柯西准则的充分性,二、非负函数无穷积分的收敛判别法定理11.2(非负函数无穷积分的判别法)设定义在上的非负函数f

在任何收敛的充要条件是:证设二、非负函数无穷积分的收敛判别法定理11.2(非负函数无穷积非负函数

f,g在任何有限区间[a,u]上可积,且定理11.3(比较判别法)

设定义在上的两个增函数的收敛判别准则,

从而F(u)是单调递增的由单调递存在满足非负函数f,g在任何有限区间[a,u]上可积,证

由非负函数无穷积分的判别法,第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立.证由非负函数无穷积分的判别法,第二个结论是第一个结论的逆否例2判别的收敛性.解显然设f(x),g(x)是上的非负连续函数.证例3例2判别的收敛性.解显然设f(x),g(x)是推论1设非负函数f和g在任何[a,u]上可积,且证由于推论1设非负函数f和g在任何[a,u]上可证

即证即无穷积分的性质及收敛判别课件推论2设f是定义在上的非负函数,在任何推论2设f是定义在上的非负限区间[a,u]上可积.推论3设f是定义在上的非负函数,在任何有说明:推论3是推论2的极限形式，读者应不难写出它的证明.限区间[a,u]上可积.推论3设f是定义在例4讨论的收敛性(k>0).解(i)例4讨论的收敛性(k>0).解(i)若无穷积分以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性.三、一般函数无穷积分的判别法何有限区间[a,u]上可积,定理11.4

(绝对收敛的无穷积分必收敛)若

f在任若无穷积分以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性.三因此再由柯西准则的充分性,又对任意证由柯西准则的必要性,对因因此再由柯西准则的充分性,又对任意证由柯西准则的必要性,收敛的无穷积分不一定是绝对收敛的.例5的收敛性.判别解由于收敛的无穷积分不一定是绝对收敛的.例5的收敛性.判别解由于一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷判定理11.5(狄利克雷判别法）证故别法和阿贝尔判别法判别其收敛性.一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷判定理11.5(狄利使得使得因此,由柯西准则，证[证法1]定理11.6(阿贝尔判别法)由

g的单调性,用积分第二中值定理，对于任意的使得因此,由柯西准则，证[证法1]定理11.6(阿贝尔判别由柯西准则,[