2022高考冲刺数学题源探究-立体几何：空间点直线平面之间的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系【考点梳理】1．平面的根本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．空间中两直线的位置关系(1)位置关系的分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),异面直线：不同在任何一个平面内))(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)平行公理和等角定理①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a∩α＝A1个平行a∥α0个在平面内a⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l无数个【教材改编】1．(必修2P41公理1改编)公理1用数学符号表示正确的选项是()A．A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，那么l∈αB．A⊂l，B⊂l且A⊂α，B⊂α，那么l⊂αC．A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，那么l⊂αD．A∈l，B∈l且A⊂α，B⊂α，那么l⊂α[答案]C[解析]公理1用数学符号表示为A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，那么l⊂α，应选C．2．(必修2P43练习T1改编)以下命题正确的选项是()A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面[答案]D[解析]A选项考查公理2，即三点必须不在同一条直线上，才能确定平面；B选项如果点在直线上，那么该直线和这个点不能确定平面；C选项中的四边形有可能是空间四边形，只有D是正确的．3．(必修2P47例3改编)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与A1BA．30° B．45°C．60° D．90°[答案]C[解析]连接A1C1与BC1(图略)，由正方体性质知AC∥A1C1.那么∠BA1C1即为AC与A1B所成的角，且A1C1＝A1B∴∠BA1C1＝60°.应选4．(必修2P45例2改编)空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形[答案]B[解析]如下图，易证四边形EFGH为平行四边形．∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC.又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．5．(必修2P52B组T1(1)改编)如图是正方体的平面展开图，那么在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③ B．②④C．③④ D．②③④[答案]C[解析]把平面图形复原为立体图形进行选择，如图，BM与ED是异面直线，CN与BE是平行直线．故①②不正确，排除A，B，D，应选C.6．(必修2P52B组T1(2)改编)如图，M、N分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB与BB1的中点，那么A1M与\f(1,5) \f(2,5)\f(3,5) \f(4,5)[答案]B[解析]如图，取DD1的中点P，连接A1P与MP，易证A1P∥CN.∴∠MA1P即为A1M与CN∴A1M＝A1P＝eq\r(5)，MP＝eq\r(12＋22＋12)＝eq\r(6).∴cos∠MA1P＝eq\f(A1M2＋A1P2－MP2,2A1M·A1P)＝eq\f(5＋5－6,2\r(5)×\r(5))＝eq\f(2,5).应选B.7．(必修2P51A组T3、4改编)以下A．m、n是两直线，α，β是两平面，假设m⊂α，n⊂β，那么m、n是异面直线B．m、n、l是三条直线，假设m⊥n，且l与m成50°角，那么l与n成40°角C．平面α∥平面β，直线m∥α，那么m∥βD．在长方体的十二条棱中，将是异面关系的两条记为“一对异面直线〞，那么这十二条棱中共有24对异面直线[答案]D[解析]对于A，m与n可能平行或相交，故A错．对于B，l与n所成的角不确定，故B错．对于C，m可能在平面β内，故C错．对于D，如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中．与AA1成为一对异面直线的有BC、DC，B1C1，D1故异面直线对数为eq\f(12×4,2)＝24.故D正确．8．(必修2P48练习T2(2)改编)如图，长方体ABCD­A′B′C′D′中，AD＝2eq\r(3)，AA′＝2.那么AA′和BC′所成角的度数为________．[答案]60°[解析]因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′就是异面直线AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2eq\r(3)，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.9．(必修2P45例2改编)空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，假设AC＝BD，那么四边形EFGH是________．[答案]菱形[解析]利用三角形的中位线可得，EF＝GH＝eq\f(1,2)AC，FG＝EH＝eq\f(1,2)BD.因为AC＝BD，所以EF＝FG＝GH＝EH.又EH∥FG，EF∥GH，所以四边形EFGH是菱形．10．(必修2P51A组T5改编)直线a∥直线b，直线m与a，b分别交于点A，B.求证：过a，b，m[解析]∵a∥b，∴过a，b有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.又A∈m，B∈m，∴m⊂α，a，b，m共面于α.设过a，b，m有一个异于α的平面β，那么a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β.这与a∥b，过a，b有且只有一个平面相矛盾．∴过a，b，m有且只有一个平面．11.(必修2P53B组T3改编)如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于点H.(1)求AH∶HD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点．[解析](1)∵eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FB)＝2，∴EF∥AC，∴EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH，AC∥GH.∴eq\f(AH,HD)＝eq\f(CG,GD)＝3.∴AH∶HD