【道路工程习题集答案】第四章-直线与平面、平面与课件

第四章直线与平面、平面与平面

第四章直线与平面、平面与平面

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4-1过AB直线作一平面平行于直线CD。4-1过AB直线作一平面平行于直线CD。2XOb'baa'd'cdc'efe'f'k'kXOb'baa'd'cdc'efe'f'k'k3分析：过AB直线作一平面平行于直线CD。根据平行投影的性质，两直线平行，它们的同面投影必平行。过AB直线作一平面，已知平面内的一条直线，只要找到一条和AB直线相交，和直线CD平行的直线即可以组成所求的平面。步骤一：在AB直线上，找一点K。步骤二：过K点作直线CD的平行线EF。AB和EF两相交直线就是所求的平面。步骤三：绘制完成后，检查各点二面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。分析：过AB直线作一平面平行于直线CD。根据平行投影的性质，44-2过K点作一直线既平行于V面又平行△ABC平面。4-2过K点作一直线既平行于V面又平行△ABC平面。5

22'abcc'a'b'XOkk'11'22'abcc'a'b'XOkk'11'6分析：可以在△ABC平面内找一条正平线，然后过K点作△ABC平面内正平线的平行线。即得过K点作一直线既平行于V面又平行△ABC平面。步骤一：在△ABC平面内，过c点作一条正平线。根据正平线的性质，作c1‖OX轴，交ab于1点。步骤二：过K点作直线C1的平行线K2。K2直线就是所求的既平行于V面又平行△ABC平面的直线。步骤三：绘制完成后，检查各点二面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。分析：可以在△ABC平面内找一条正平线，然后过K点作△ABC74-3过K点作平面平行于△ABC。4-3过K点作平面平行于△ABC。8abcc'a'b'XOkl'k'm'mlabcc'a'b'XOkl'k'm'ml9分析：过K点作平面平行于△ABC。即过K点作两条直线平行于△ABC平面内的两条相交直线。过K点的两条相交直线组成的平面就是所求平面。步骤一：取△ABC平面内的AC和BC边作为△ABC平面内的两条相交直线。步骤二：过K点，做KM∥AC和KL∥BC。则LKM两条相交直线组成的平面就是所求平面。步骤三：绘制完成后，检查各点、线二面投影及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。分析：过K点作平面平行于△ABC。即过K点作两条直线平行于△104-4判别直线AB和CD是否分别与已知平面EFG平行。判别：AB与△EFG平行；CD与△EFG不平行4-4判别直线AB和CD是否分别与已知平面EFG平行。11efgg'e'f’Oba'b’dacc'd'Xh'efgg'e'f’Oba'b’dacc'd'Xh'分析：判别直线是否与已知平面EFG平行，只要在已知平面内找到一条直线和判别直线平行，则直线和平面平行，找不到一条直线和判别直线平行，则直线和平面不平行。因△EFG是一个铅垂面，要判别一条直线是否平行于一个铅垂面，即判别该直线的水平投影是否平行于该铅垂面的水平投影。步骤一：判别1：因为ab‖△EFG积聚直线efg，在V面可以找到g′h′‖ab，即平面EFG内找到一条直线GH和AB直线平行，所以AB‖△EFG。步骤二：判别2：因为cd不平行于△EFG的积聚投影efg，故而在△EFG内找不到CD的平行线，所以CD不平行于△EFG。分析：判别直线是否与已知平面EFG平行，只要在已知平面内找到134-5求作直线EF与平面ABC的交点K，并判明EF的可见性。4-5求作直线EF与平面ABC的交点K，并判明EF的可见性。14abcc'a'b'e'(f')XfOeK'K1'1abcc'a'b'e'(f')XfOeK'K1'分析：因为EF是正垂线，EF与平面ABC的交点K必属于EF，同时属于平面ABC，则k′与e′f′重合，由AK属于平面ABC，面上取线后，线上取点，即得k点投影。根据EF的V面投影，判断EF在AC线之上，在AB线之下，即得EF的H面可见性。步骤一：连接a′e′直线，交b′c′于1′点。步骤二：根据点的投影性质，求1点及直线a1。K即在A1又在EF上，故k在a1和ef的交点上。步骤三：根据K的V面投影，判断K在AC线之上，在AB线之下，即得ek可见，k到ab的边界不可见，ab的边界到f点可见。步骤四：绘制完成后，检查各点、线二面投影、投影可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。分析：因为EF是正垂线，EF与平面ABC的交点K必属164-6求作直线EF与平面ABCD的交点K，并判明EF的可见性。4-6求作直线EF与平面ABCD的交点K，并判明EF的可见性17kc'a'd'be'facf'b'Ok'dXekc'a'd'be'facf'b'Ok'dXe分析：因为平面ABCD是铅垂面，EF与平面ABCD的交点K必属于平面ABCD，同时属于EF，则k在ef和平面ABCD的水平积聚投影的交点上。根据EF的H面投影，判断EF在AB线之前，在CD线之后，即得EF的V面可见性。步骤一：取ef和平面ABCD的水平积聚投影的交点，记为为k，根据点在直线上的投影性质，求k′。步骤二：根据EF的H面投影，判断AK在AB线之前，KF在CD线之后，即得e′k′可见，k′到c′d′的边界不可见，c′d′的边界到fc′点可见。步骤三：绘制完成后，检查各点、线二面投影、投影可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。分析：因为平面ABCD是铅垂面，EF与平面ABCD的交194-7求作平面ABCD与正垂面EFG的交线，并判明两平面的可见性。4-7求作平面ABCD与正垂面EFG的交线，并判明两平面的可20gbcc'a'ke'b'd'df'g'eafmk'm'OXgbcc'a'ke'b'd'df'g'eafmk'm'OX分析：由投影分析可知，平面ABCD贯穿平面EFG，因为平面EFG是正垂面，交线的边界就是平面ABCD的边界，点K，M构成的线即为交线。根据重影点法，由AB的V面投影，判断AB在GF线之上，在GE线之下，即得AB的H面可见性，根据虚实相间原则，即得两平面的可见性。步骤一：V面，直线a′b′与平面EFG交点分别为k′、直线c′d′与平面EFG交点分别为m′，向下做投影连线，即得交线KM的投影。步骤二：根据AB的V面投影，判断K在GF线之上，在GE线之下，即得bk可见，k到ge的边界不可见。步骤三：由虚实相间原则，即得两平面的可见性。步骤四：绘制完成后，检查各点、线二面投影、投影可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。分析：由投影分析可知，平面ABCD贯穿平面EFG，因为平面E224-8求作直AB与平面DEF的交点，并判明直线AB的可见性。4-8求作直AB与平面DEF的交点，并判明直线AB的可见性。23

ee'da'bfb'f'd'1'2Pvk2'1k'aOXee'da'bfb'f'd'1'2Pvk2'1k'aOX24分析：过AB作一正垂面Pv，因为平面P是正垂面，平面P与平面DEF的交线必属于平面P，则交线的V面投影包含于平面P的积聚投影中，同时属于平面DEF，则与平面DEF的交点1，2构成的线即为交线，直线AB与平面DEF的交点必在12线上，12与ab的交点K即为直线AB与平面DEF的交点。根据AB的H面投影，判断AB在DE线之前，在DF线之后，即得AB的V面可见性。根据AB的V面投影，判断AB在DF线之上，在EF线之下，即得AB的H面可见性。步骤一：以a′b′作正垂面Pv。步骤二：正垂面Pv与直线d′e′、直线d′f′的交点分别为1′、2′，根据直线上点投影的性质，即得交线12的投影。步骤三：记12与ab的交点，为k，作出k′。步骤四：根据K的H面投影，判断K在DE线之前，在DF线之后，即得a′k′可见，k′到d′f′的边界不可见，d′f′的边界到b′点可见。根据K的V面投影，判断K在DF线之上，在EF线之下，即得ak可见，k到ef的边界不可见，ef的边界到b点可见。步骤五：绘制完成后，检查各点、线二面投影、投影可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。分析：过AB作一正垂面Pv，因为平面P是正垂面，平面P与平面254-9求作直线MN与平面ABCD的交点，并判明直线MN的可见性。4-9求作直线MN与平面ABCD的交点，并判明直线MN的可见26

bXOb'aa'ndcd'c'n'mm'Pvkk'1'22'1bXOb'aa'ndcd'c'n'mm'Pvkk'1'2227分析：过MN做一正垂面Pv，平面P与平面ABCD的交线必属于平面P与平面ABCD的交点1，2构成的交线，12与mn的交点K即为直线MN与平面ABCD的交点。根据MN的H面投影，判断MN在AD线之前，在BC线之后，即得MN的V面可见性。根据MN的V面投影，判断MN在CD线之上，在AB线之下，即得MN的H面可见性。步骤一：以m′n′作正垂面Pv。步骤二：正垂面Pv与直线a′d′、b′c′的交点分别为1′、2′，根据直线上点投影的性质，即得交线12的投影。步骤三：记12与mn的交点，为k，作出k′。步骤四：判断K在AD线之前，在BC线之后，即得1′k′可见，k′2′不可见。根据K的V面投影，判断K在CD线之上，在AB线之下，即得nk可见，k到ab的边界不可见，ab的边界到m点可见。步骤五：绘制完成后，检查各点、线二面投影、投影可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。分析：过MN做一正垂面Pv，平面P与平面ABCD的交线必属284-10求作两平面的交线，并判明可见性。4-10求作两平面的交线，并判明可见性。29bXOm'aa'dcd'c'kk'1'22'1e'f'g'mb'fgepvQv3'4'34bXOm'aa'dcd'c'kk'1'22'1e'f'g'm分析：过AC作一正垂面P，12即为正垂面P与平面EFG的交线，12与ac的交点K即为直线AC与平面EFG的交点。过BC作一正垂面Q，34即为正垂面Q与平面EFG的交线，34与bc的交点M即为直线BC与平面EFG的交点。由于直线AC，BC为平面ABC内两相交直线，即连线KM即为两平面的交线。根据BC的H面投影，判断BC在GE线之前，在EF线之后，再由虚实相间原则，即得两平面的V面可见性。根据AC的V面投影，判断AC在GE线之上，在GF线之下，即得两平面的H面可见性。分析：过AC作一正垂面P，12即为正垂面P与平面EFG的交31步骤一：过a′c′作正垂面P，即得正垂面P与平面EFG的交线12，以及AC与平面EFG的交点K。步骤二：过b′c′作正垂面Q，即得正垂面Q与平面EFG的交线34，以及BC与平面EFG的交点M。线段KM，即为平面ABC和平面EFG的交线。步骤三：根据M的H面投影，判断M在GE线之前，在EF线之后，即得4′m′可见，m′3′不可见。根据虚实相间原则，得两平面的V面可见性。步骤四：根据K的V面投影，判断K在GE线之上，在GF线之下，即得ak可见，k到gf的边界不可见。根据虚实相间原则，得两平面的H面可见性。步骤五：绘制完成后，检查各点、线二面投影、可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。步骤一：过a′c′作正垂面P，即得正垂面P与平面EFG的交324-11求作两平面的交线，并判明可见性。4-11求作两平面的交线，并判明可见性。33abcc'1'b'l'3'34d’de'f'g'efgpHa'2'12k'4'm'kmQHXOabcc'1'b'l'3'34d’de'f'g'efgpHa分析：过EF作一铅垂面P，12即为铅垂面P与平面ABCD的交线，12与EF的交点K即为直线EF与平面ABCD的交点。过GF作一铅垂面Q，34即为铅垂面Q与平面ABCD的交线，34与GF的交点M即为直线GF与平面ABCD的交点。由于直线EF，GF为平面EFG内两相交直线，即连线KM即为两平面的交线。根据GF的H面投影，判断GF在BC线之前，在AD线之后，再由虚实相间原则，即得两平面的V面可见性。根据EF的V面投影，判断EF在AD线之上，在AB线之下，即得两平面的H面可见性。分析：过EF作一铅垂面P，12即为铅垂面P与平面ABCD的35步骤一：过ef作铅垂面P,即得铅垂面P与平面ABCD的交线12，以及EF与平面ABCD的交点K。步骤二：过gf作铅垂面Q,即得铅垂面Q与平面ABCD的交线34，以及GF与平面ABCD的交点M。线段KM即是平面ABCD和平面EFG的交线步骤三：根据M的H面投影，判断M在BC线之前，在AD线之后，即得f′m′可见，m′到a′d′的边界不可见。再根据虚实相间原则，得两平面的V面可见性。步骤四：根据K的V面投影，判断K在AD线之上，在AB线之下，即得2k可见，k1不可见。再根据虚实相间原则，得两平面的H面可见性。步骤五：绘制完成后，检查各点、线二面投影、可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。步骤一：过ef作铅垂面P,即得铅垂面P与平面ABCD的交线364-12求作平面ABCD与平面EFG的交线。4-12求作平面ABCD与平面EFG的交线。37aba'b'd'c'dcfgeg'f'e'PvQv1'2'3'4'5'12345mkk'm'aba'b'd'c'dcfgeg'f'e'PvQv1'2'3分析：求两平面的交线，可以考虑作两个水平面，使它在投影图中与两已知平面相交，分别求出辅助平面和这两个平面的交线。步骤一：过b′d′与e′作两个水平面Pv和Qv，分别交f′g′于1′和3′点，交f′e′于2′和e′，交a′b′于4′点，交c′d′于5′点。步骤二：根据点的投影性质，分别作出1、2、3、4、5点的投影。步骤三：连12和bd交于m点，3e和45交于k点。步骤四：找到m，k对应点m′，k′。mk，m′k′即是两平面的交线。分析：求两平面的交线，可以考虑作两个水平面，使它在投影图中与394-13求作两平行线之间的距离。4-13求作两平行线之间的距离。40a'b'dbad'两平行线之间的距离m'n'nmc'ca'b'dbad'两平行线之间的距离m'n'nmc'c分析：由图可知，AB、CD是正平线的两个平行直线，所以在V面，AB、CD和公垂线反映90°角。求平行线AB、CD之间的距离，就是求垂直于AB、CD的线段MN的实长。步骤一：在直线AB上取M点作垂线MN垂直于CD，N为垂足，MN就是要求的距离线段的投影。步骤二：根据二面投影，作投影直角三角形，即可得到AB、CD两个平行直线的距离MN的实长。分析：由图可知，AB、CD是正平线的两个平行直线，所以在V面424-14求作点K到直线AB的距离。4-14求作点K到直线AB的距离。43bb'aa'k'k1'12'23'3bb'aa'k'k1'12'23'3分析：求K点到直线AB的距离，就是过点K做一个辅助平面垂直一般位置直线AB，然后求AB与辅助平面的交点，交点到K点的实长就是K点到AB的距离。步骤一：利用直角投影性质，过K点借助水平线和正平线，作垂直于AB的线段的辅助平面1K2。步骤二：求一般位置直线AB与辅助平面1K2的交点3，K3线段就是K点到直线AB的距离的两面投影。步骤三：根据二面投影，作投影直角三角形，即可得到K3的实长。分析：求K点到直线AB的距离，就是过点K做一个辅助平面垂直一454-15已知直线AB与直线BC垂直，求作直线BC的V面投影（b′c′）。4-15已知直线AB与直线BC垂直，求作直线BC的V面投影46a'b'c'bca1'12'2k'ka'b'c'bca1'12'2k'k分析：已知直线AB与直线BC垂直，则AB垂直于过B点的一个平面内的所有直线，所以，只要过B点作一个辅助平面垂直AB，在辅助平面内取线即可。步骤一：利用直角投影性质，过B点借助水平线和正平线，作垂直于AB的线段的辅助平面1B2。步骤二：bc交12线于k，所以b′c′也必须过直线b′k′。步骤三：根据点的投影性质的c′点的投影，则b′c′就是所求的直线。分析：已知直线AB与直线BC垂直，则AB垂直于过B点的一个平484-16求K点到△ABC平面的距离。4-16求K点到△ABC平面的距离。49abca'b'c'kk'1'13'3m'm22'abca'b'c'kk'1'13'3m'm22'分析：求K点到△ABC平面的距离，就是由点K作一条辅助线垂直△ABC，然后求点K到△ABC距离的实长。从图中可知，AC是一条水平线，在水平面内，K到△ABC的距离，就是过K点作AC的垂线。步骤一：利用直角投影性质，在过A点借助水平线(AC)和正平线A3，在H面，作K12垂直于AC线段，交ac和ab于1和2点。步骤二：在V面，作km'垂直于A3线段；以k12作辅助前垂面，立面交a'c'和a'b'于1'和2'点。km'交1'2'线段于m'点。点M就是过K作△ABC的垂线的垂足。步骤三：根据二面投影，作KM投影直角三角形，即可得到KM的实长。分析：求K点到△ABC平面的距离，就是由点K作一条辅助线垂直514-17已知A点至平面DEF的距离为15，求A点的V面投影。4-17已知A点至平面DEF的距离为15，求A点的V面投影。52OXa1'f1'e1'd1'oxf'd'ae'fde1'115a'OXa1'f1'e1'd1'oxf'd'ae'fde1'153分析：已知A点至平面DEF的距离为15，可利用投影变换将平面DEF转换垂面，距离积聚投影15的线上必定是A点所在的位置，根据换面法原理反推，求出a′。步骤一：在平面DEF求作水平线E1。步骤二：作新轴O1X1垂直水平线E1，在H/V1体系中，作平面DEF的积聚新投影d1′e1′f1′。步骤三：作距离积聚新投影d1′e1′f1′为15个单位的直线，和aa1′交于a1′点。步骤四：根据换面法原理反推求出点a′的投影。分析：已知A点至平面DEF的距离为15，可利用投影变换将平面544-18过K点作平面平行于直线AB，并垂直EF、GH所表示的平面。4-18过K点作平面平行于直线AB，并垂直EF、GH所表示的55aba'b'efhge'f'h'g'11'2'2kk'mm'L'Laba'b'efhge'f'h'g'11'2'2kk'mm'分析：可过K点作直线KM垂直于平面EF、GH，并过K点作直线L平行于AB，即可满足题目所求的要求。步骤一：在e′f′g′h′平面作一水平线e′2′和在efgh平面作正平线1f；作k′m′垂直于1′f′、km垂直于e2，则直线KM垂直于平面EFGH。步骤二：作L平行于AB。步骤三：KM与L两相交直线所形成的平面就是所求平面。分析：可过K点作直线KM垂直于平面EF、GH，并过K点作直线57恭祝马到成功恭祝第四章直线与平面、平面与平面

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4-1过AB直线作一平面平行于直线CD。4-1过AB直线作一平面平行于直线CD。60XOb'baa'd'cdc'efe'f'k'kXOb'baa'd'cdc'efe'f'k'k61分析：过AB直线作一平面平行于直线CD。根据平行投影的性质，两直线平行，它们的同面投影必平行。过AB直线作一平面，已知平面内的一条直线，只要找到一条和AB直线相交，和直线CD平行的直线即可以组成所求的平面。步骤一：在AB直线上，找一点K。步骤二：过K点作直线CD的平行线EF。AB和EF两相交直线就是所求的平面。步骤三：绘制完成后，检查各点二面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。分析：过AB直线作一平面平行于直线CD。根据平行投影的性质，624-2过K点作一直线既平行于V面又平行△ABC平面。4-2过K点作一直线既平行于V面又平行△ABC平面。63

22'abcc'a'b'XOkk'11'22'abcc'a'b'XOkk'11'64分析：可以在△ABC平面内找一条正平线，然后过K点作△ABC平面内正平线的平行线。即得过K点作一直线既平行于V面又平行△ABC平面。步骤一：在△ABC平面内，过c点作一条正平线。根据正平线的性质，作c1‖OX轴，交ab于1点。步骤二：过K点作直线C1的平行线K2。K2直线就是所求的既平行于V面又平行△ABC平面的直线。步骤三：绘制完成后，检查各点二面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。分析：可以在△ABC平面内找一条正平线，然后过K点作△ABC654-3过K点作平面平行于△ABC。4-3过K点作平面平行于△ABC。66abcc'a'b'XOkl'k'm'mlabcc'a'b'XOkl'k'm'ml67分析：过K点作平面平行于△ABC。即过K点作两条直线平行于△ABC平面内的两条相交直线。过K点的两条相交直线组成的平面就是所求平面。步骤一：取△ABC平面内的AC和BC边作为△ABC平面内的两条相交直线。步骤二：过K点，做KM∥AC和KL∥BC。则LKM两条相交直线组成的平面就是所求平面。步骤三：绘制完成后，检查各点、线二面投影及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。分析：过K点作平面平行于△ABC。即过K点作两条直线平行于△684-4判别直线AB和CD是否分别与已知平面EFG平行。判别：AB与△EFG平行；CD与△EFG不平行4-4判别直线AB和CD是否分别与已知平面EFG平行。69efgg'e'f’Oba'b’dacc'd'Xh'efgg'e'f’Oba'b’dacc'd'Xh'分析：判别直线是否与已知平面EFG平行，只要在已知平面内找到一条直线和判别直线平行，则直线和平面平行，找不到一条直线和判别直线平行，则直线和平面不平行。因△EFG是一个铅垂面，要判别一条直线是否平行于一个铅垂面，即判别该直线的水平投影是否平行于该铅垂面的水平投影。步骤一：判别1：因为ab‖△EFG积聚直线efg，在V面可以找到g′h′‖ab，即平面EFG内找到一条直线GH和AB直线平行，所以AB‖△EFG。步骤二：判别2：因为cd不平行于△EFG的积聚投影efg，故而在△EFG内找不到CD的平行线，所以CD不平行于△EFG。分析：判别直线是否与已知平面EFG平行，只要在已知平面内找到714-5求作直线EF与平面ABC的交点K，并判明EF的可见性。4-5求作直线EF与平面ABC的交点K，并判明EF的可见性。72abcc'a'b'e'(f')XfOeK'K1'1abcc'a'b'e'(f')XfOeK'K1'分析：因为EF是正垂线，EF与平面ABC的交点K必属于EF，同时属于平面ABC，则k′与e′f′重合，由AK属于平面ABC，面上取线后，线上取点，即得k点投影。根据EF的V面投影，判断EF在AC线之上，在AB线之下，即得EF的H面可见性。步骤一：连接a′e′直线，交b′c′于1′点。步骤二：根据点的投影性质，求1点及直线a1。K即在A1又在EF上，故k在a1和ef的交点上。步骤三：根据K的V面投影，判断K在AC线之上，在AB线之下，即得ek可见，k到ab的边界不可见，ab的边界到f点可见。步骤四：绘制完成后，检查各点、线二面投影、投影可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。分析：因为EF是正垂线，EF与平面ABC的交点K必属744-6求作直线EF与平面ABCD的交点K，并判明EF的可见性。4-6求作直线EF与平面ABCD的交点K，并判明EF的可见性75kc'a'd'be'facf'b'Ok'dXekc'a'd'be'facf'b'Ok'dXe分析：因为平面ABCD是铅垂面，EF与平面ABCD的交点K必属于平面ABCD，同时属于EF，则k在ef和平面ABCD的水平积聚投影的交点上。根据EF的H面投影，判断EF在AB线之前，在CD线之后，即得EF的V面可见性。步骤一：取ef和平面ABCD的水平积聚投影的交点，记为为k，根据点在直线上的投影性质，求k′。步骤二：根据EF的H面投影，判断AK在AB线之前，KF在CD线之后，即得e′k′可见，k′到c′d′的边界不可见，c′d′的边界到fc′点可见。步骤三：绘制完成后，检查各点、线二面投影、投影可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。分析：因为平面ABCD是铅垂面，EF与平面ABCD的交774-7求作平面ABCD与正垂面EFG的交线，并判明两平面的可见性。4-7求作平面ABCD与正垂面EFG的交线，并判明两平面的可78gbcc'a'ke'b'd'df'g'eafmk'm'OXgbcc'a'ke'b'd'df'g'eafmk'm'OX分析：由投影分析可知，平面ABCD贯穿平面EFG，因为平面EFG是正垂面，交线的边界就是平面ABCD的边界，点K，M构成的线即为交线。根据重影点法，由AB的V面投影，判断AB在GF线之上，在GE线之下，即得AB的H面可见性，根据虚实相间原则，即得两平面的可见性。步骤一：V面，直线a′b′与平面EFG交点分别为k′、直线c′d′与平面EFG交点分别为m′，向下做投影连线，即得交线KM的投影。步骤二：根据AB的V面投影，判断K在GF线之上，在GE线之下，即得bk可见，k到ge的边界不可见。步骤三：由虚实相间原则，即得两平面的可见性。步骤四：绘制完成后，检查各点、线二面投影、投影可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。分析：由投影分析可知，平面ABCD贯穿平面EFG，因为平面E804-8求作直AB与平面DEF的交点，并判明直线AB的可见性。4-8求作直AB与平面DEF的交点，并判明直线AB的可见性。81

ee'da'bfb'f'd'1'2Pvk2'1k'aOXee'da'bfb'f'd'1'2Pvk2'1k'aOX82分析：过AB作一正垂面Pv，因为平面P是正垂面，平面P与平面DEF的交线必属于平面P，则交线的V面投影包含于平面P的积聚投影中，同时属于平面DEF，则与平面DEF的交点1，2构成的线即为交线，直线AB与平面DEF的交点必在12线上，12与ab的交点K即为直线AB与平面DEF的交点。根据AB的H面投影，判断AB在DE线之前，在DF线之后，即得AB的V面可见性。根据AB的V面投影，判断AB在DF线之上，在EF线之下，即得AB的H面可见性。步骤一：以a′b′作正垂面Pv。步骤二：正垂面Pv与直线d′e′、直线d′f′的交点分别为1′、2′，根据直线上点投影的性质，即得交线12的投影。步骤三：记12与ab的交点，为k，作出k′。步骤四：根据K的H面投影，判断K在DE线之前，在DF线之后，即得a′k′可见，k′到d′f′的边界不可见，d′f′的边界到b′点可见。根据K的V面投影，判断K在DF线之上，在EF线之下，即得ak可见，k到ef的边界不可见，ef的边界到b点可见。步骤五：绘制完成后，检查各点、线二面投影、投影可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。分析：过AB作一正垂面Pv，因为平面P是正垂面，平面P与平面834-9求作直线MN与平面ABCD的交点，并判明直线MN的可见性。4-9求作直线MN与平面ABCD的交点，并判明直线MN的可见84

bXOb'aa'ndcd'c'n'mm'Pvkk'1'22'1bXOb'aa'ndcd'c'n'mm'Pvkk'1'2285分析：过MN做一正垂面Pv，平面P与平面ABCD的交线必属于平面P与平面ABCD的交点1，2构成的交线，12与mn的交点K即为直线MN与平面ABCD的交点。根据MN的H面投影，判断MN在AD线之前，在BC线之后，即得MN的V面可见性。根据MN的V面投影，判断MN在CD线之上，在AB线之下，即得MN的H面可见性。步骤一：以m′n′作正垂面Pv。步骤二：正垂面Pv与直线a′d′、b′c′的交点分别为1′、2′，根据直线上点投影的性质，即得交线12的投影。步骤三：记12与mn的交点，为k，作出k′。步骤四：判断K在AD线之前，在BC线之后，即得1′k′可见，k′2′不可见。根据K的V面投影，判断K在CD线之上，在AB线之下，即得nk可见，k到ab的边界不可见，ab的边界到m点可见。步骤五：绘制完成后，检查各点、线二面投影、投影可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。分析：过MN做一正垂面Pv，平面P与平面ABCD的交线必属864-10求作两平面的交线，并判明可见性。4-10求作两平面的交线，并判明可见性。87bXOm'aa'dcd'c'kk'1'22'1e'f'g'mb'fgepvQv3'4'34bXOm'aa'dcd'c'kk'1'22'1e'f'g'm分析：过AC作一正垂面P，12即为正垂面P与平面EFG的交线，12与ac的交点K即为直线AC与平面EFG的交点。过BC作一正垂面Q，34即为正垂面Q与平面EFG的交线，34与bc的交点M即为直线BC与平面EFG的交点。由于直线AC，BC为平面ABC内两相交直线，即连线KM即为两平面的交线。根据BC的H面投影，判断BC在GE线之前，在EF线之后，再由虚实相间原则，即得两平面的V面可见性。根据AC的V面投影，判断AC在GE线之上，在GF线之下，即得两平面的H面可见性。分析：过AC作一正垂面P，12即为正垂面P与平面EFG的交89步骤一：过a′c′作正垂面P，即得正垂面P与平面EFG的交线12，以及AC与平面EFG的交点K。步骤二：过b′c′作正垂面Q，即得正垂面Q与平面EFG的交线34，以及BC与平面EFG的交点M。线段KM，即为平面ABC和平面EFG的交线。步骤三：根据M的H面投影，判断M在GE线之前，在EF线之后，即得4′m′可见，m′3′不可见。根据虚实相间原则，得两平面的V面可见性。步骤四：根据K的V面投影，判断K在GE线之上，在GF线之下，即得ak可见，k到gf的边界不可见。根据虚实相间原则，得两平面的H面可见性。步骤五：绘制完成后，检查各点、线二面投影、可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。步骤一：过a′c′作正垂面P，即得正垂面P与平面EFG的交904-11求作两平面的交线，并判明可见性。4-11求作两平面的交线，并判明可见性。91abcc'1'b'l'3'34d’de'f'g'efgpHa'2'12k'4'm'kmQHXOabcc'1'b'l'3'34d’de'f'g'efgpHa分析：过EF作一铅垂面P，12即为铅垂面P与平面ABCD的交线，12与EF的交点K即为直线EF与平面ABCD的交点。过GF作一铅垂面Q，34即为铅垂面Q与平面ABCD的交线，34与GF的交点M即为直线GF与平面ABCD的交点。由于直线EF，GF为平面EFG内两相交直线，即连线KM即为两平面的交线。根据GF的H面投影，判断GF在BC线之前，在AD线之后，再由虚实相间原则，即得两平面的V面可见性。根据EF的V面投影，判断EF在AD线之上，在AB线之下，即得两平面的H面可见性。分析：过EF作一铅垂面P，12即为铅垂面P与平面ABCD的93步骤一：过ef作铅垂面P,即得铅垂面P与平面ABCD的交线12，以及EF与平面ABCD的交点K。步骤二：过gf作铅垂面Q,即得铅垂面Q与平面ABCD的交线34，以及GF与平面ABCD的交点M。线段KM即是平面ABCD和平面EFG的交线步骤三：根据M的H面投影，判断M在BC线之前，在AD线之后，即得f′m′可见，m′到a′d′的边界不可见。再根据虚实相间原则，得两平面的V面可见性。步骤四：根据K的V面投影，判断K在AD线之上，在AB线之下，即得2k可见，k1不可见。再根据虚实相间原则，得两平面的H面可见性。步骤五：绘制完成后，检查各点、线二面投影、可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。步骤一：过ef作铅垂面P,即得铅垂面P与平面ABCD的交线944-12求作平面ABCD与平面EFG的交线。4-12求作平面ABCD与平面EFG的交线。95aba'b'd'c'dcfgeg'f'e'PvQv1'2'3'4'5'12345mkk'm'aba'b'd'c'dcfgeg'f'e'PvQv1'2'3分析：求两平面的交线，可以考虑作两个水平面，使它在投影图中与两已知平面相交，分别求出辅助平面和这两个平面的交线。步骤一：过b′d′与e′作两个水平面Pv和Qv，分别交f′g′于1′和3′点，交f′e′于2′和e′，交a′b′于4′点，交c′d′于5′点。步骤二：根据点的投影性质，分别作出1、2、3、4、5点的投影。步骤三：连12和bd交于m点，3e和45交于k点。步骤四：找到m，k对应点m′，k′。mk，m′k′即是两平面的交线。分析：求两平面的交线，可以考虑作两个水平面，使它在投影图中与974-13求作两平行线之间的距离。4-13求作两平行线之间的距离。98a'b'dbad'两平行线之间的距离m'n'nmc'ca'b'dbad'两平行线之间的距离m'n'nmc'c分析：由图可知，AB、CD是正平线的两个平行直线，所以在V面，AB、CD和公垂线反映90°角。求平行线AB、CD之间的距离，就是求垂直于AB、CD的线段MN的实长。步骤一：在直线AB上取M点作垂线MN垂直于CD，N为垂足，MN就是要求的距离线段的投影。步骤二：根据二面投影，作投影直角三角形，即可得到AB、CD两个平行直线的距离MN的实长。分析：由图可知，AB、CD是正平线的两个平行直线，所以在V面1004-14求作点K到直线AB的距离。4-14求作点K到直线AB的距离。101bb'aa'k'k1'12'23'3bb'aa'k'k1'12'23'3分析：求K点到直线AB的距离，就是过点K做一个辅助平面垂直一般位置直线AB，然后求AB与辅助平面的交点，交点到K点的实长