高中数学高考9 4　直线、圆的位置关系

PAGEPAGE99．4直线、圆的位置关系1．直线与圆的位置关系位置关系图示公共点个数几何特征代数特征(解的个数)相离无实数解相切d＝r相交22.圆与圆的位置关系位置关系图示(R>r)公共点个数几何特征(O1O2＝d)代数特征(两个圆的方程组成的方程组的解的个数)外离0无实数解外切1两组相同实数解相交2两组不同实数解内切1两组相同实数解内含0无实数解自查自纠：1．0d>r1两组相同实数解d<r两组不同实数解2．d>R＋rd＝R＋rR－r<d<R＋rd＝R－rd<R－r圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离解：由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝eq\f(|2×1－2－5|,\r(22＋1))＝eq\r(5)<eq\r(6)，且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．故选B．(eq\a\vs4\al(2017·西安调研))若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1，3]C．[－3，1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解：由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为eq\r(2)，所以eq\f(|a－0＋1|,\r(12＋（－1）2))≤eq\r(2)，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1．故选C．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被C截得的弦长为2eq\r(3)时，则a等于()A．eq\r(2)B．2－eq\r(2)C．eq\r(2)－1D．eq\r(2)＋1解：依题意eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a＋1|,\r(2))))eq\s\up12(2)＋(eq\r(3))2＝4．又a>0，所以a＝eq\r(2)－1．故选C．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝________．解：圆C1的圆心是原点(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心C2(3，4)，半径r2＝eq\r(25－m)，由两圆相外切，得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋eq\r(25－m)＝5，所以m＝9．故填9．(eq\a\vs4\al(2016·全国卷Ⅲ))已知直线l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则|CD|＝________．解：设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝2eq\r(3)，|AB|＝2eq\r(3)，所以|OM|＝eq\f(|3m－\r(3)|,\r(m2＋1))＝3，解得m＝－eq\f(\r(3),3)，可得l：x－eq\r(3)y＋6＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\r(3)y＋6＝0，,x2＋y2＝12))解得A(－3，eq\r(3))，B(0，2eq\r(3))，则AC的直线方程为y－eq\r(3)＝－eq\r(3)(x＋3)，BD的直线方程为y－2eq\r(3)＝－eq\r(3)x，令y＝0，解得C(－2，0)，D(2，0)，所以|CD|＝4．故填4．类型一直线与圆的位置关系(eq\a\vs4\al(2018·福建泉州四校联考))已知m＝(2cosα，2sinα)，n＝(3cosβ，3sinβ)，若m与n的夹角为60°，则直线xcosα－ysinα＋eq\f(1,2)＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝eq\f(1,2)的位置关系是()A．相交但不过圆心B．相交且过圆心C．相切D．相离解：由向量的夹角公式得cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos60°＝eq\f(1,2)，则圆心(cosβ，－sinβ)到直线的距离d＝eq\f(|cosαcosβ＋sinαsinβ＋\f(1,2)|,\r(cos2α＋sin2α))＝1＞eq\f(\r(2),2)，所以直线与圆相离．故选D．点拨：判断直线与圆的位置关系常见的方法：①几何法：利用d与r的关系．②代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交；若点在圆上，直线与圆可能相切，也可能相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法更适用于动直线问题．(eq\a\vs4\al(2016·西安一模))直线l：(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆C：x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解：把直线l的方程化为x－y＋a(x＋y＋2)＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))即直线l过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的内部，则直线l与圆C相交．故选B．类型二圆的切线过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________．解：将圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，则圆心为(3，4)，半径长为eq\r(5)．易知切线的斜率存在，由题意可设切线的方程为y＝kx，则圆心(3，4)到直线y＝kx的距离等于半径长eq\r(5)，即eq\f(|3k－4|,\r(k2＋1))＝eq\r(5)，解得k＝eq\f(1,2)或k＝eq\f(11,2)，则切线的方程为y＝eq\f(1,2)x或y＝eq\f(11,2)x．联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4，2)，(eq\f(4,5)，eq\f(22,5))，此即为P，Q的坐标．由两点间的距离公式得|PQ|＝4．故填4．点拨：求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条；若用切线的点斜式方程，不要忽略斜率不存在的情况．求切线长要利用切线的性质：过切点的半径垂直于切线．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5)B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5)D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)解：由已知得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0．由反射光线与圆相切，则有d＝eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4)．故选D．类型三圆的弦长(eq\a\vs4\al(2016·全国卷Ⅰ))设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则圆C的面积为________．解：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，半径r＝eq\r(a2＋2)，圆心C到直线y＝x＋2a的距离为d＝eq\f(|0－a＋2a|,\r(2))＝eq\f(|a|,\r(2))．又由|AB|＝2eq\r(3)，得(eq\f(2\r(3),2))2＋(eq\f(|a|,\r(2)))2＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π．故填4π．点拨：①一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解．②圆O内过点A的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦．③圆锥曲线的弦长公式为eq\r(1＋k2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－x2))，运用这一公式也可解题，但运算量较大．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦长为4，则实数a的值是()A．－2B．－4C．－6D．－8解：由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为(－1，1)，半径r＝eq\r(2－a)．圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝eq\f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq\r(2)．由r2＝d2＋(eq\f(4,2))2得2－a＝2＋4，所以a＝－4．故选B．类型四圆与圆的位置关系(1)(eq\a\vs4\al(2017·长春质检))已知原点到直线l的距离为1，圆(x－2)2＋(y－eq\r(5))2＝4与直线l相切，则满足条件的直线l有()A．1条B．2条C．3条D．4条解：圆(x－2)2＋(y－eq\r(5))2＝4的圆心坐标为C(2，eq\r(5))，半径r＝2，由圆C与直线l相切，得圆心C到直线l的距离d＝2．又过圆x2＋y2＝1上任意一点作切线l，直线l满足与原点的距离为1，则满足条件的直线l即为圆O：x2＋y2＝1和圆(x－2)2＋(y－eq\r(5))2＝4的公切线，因为|OC|＝eq\r(（2－0）2＋（\r(5)－0）2)＝3，即两圆圆心距等于两圆半径之和，所以两圆外切，即这两个圆有3条公切线．故选C．(2)(eq\a\vs4\al(2016·山东))已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq\r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离解：由垂径定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(2))))eq\s\up12(2)＋(eq\r(2))2＝a2，解得a2＝4，所以圆M：x2＋(y－2)2＝4，所以圆M与圆N的圆心距d＝eq\r(（0－1）2＋（2－1）2)＝eq\r(2)．因为2－1<eq\r(2)<2＋1，所以两圆相交．故选B．点拨：与判断直线与圆的位置关系一样，利用几何方法判定两圆的位置关系比用代数方法要简捷些．其具体方法是：利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与R＋r，d与R－r的大小关系来判定(详见“考点梳理”栏目)．(1)若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为()A．eq\r(2)B．2C．4D．2eq\r(2)解：圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)，化为(x－a)2＋y2＝9，圆心坐标为(a，0)，半径为3．圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化为x2＋(y＋b)2＝1，圆心坐标为(0，－b)，半径为1，因为两圆内切，所以eq\r(a2＋b2)＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤eq\f(1,2)(a2＋b2)＝2．当且仅当a＝b＝±eq\r(2)时取“＝”．所以ab的最大值为2．故选B．(2)圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与圆x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线有________条．解：两圆的圆心分别为(3，－3)，(－2，4)，半径分别为eq\r(66)，8，因为圆心距d＝eq\r(74)，且eq\r(66)－8＜eq\r(74)＜eq\r(66)＋8，所以两圆相交，故有两条公切线．故填2．类型五两圆的公共弦及圆系方程求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．解：联立两圆的方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))两式相减整理得x－2y＋4＝0，所以两圆公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0．下求公共弦长．解法一：设两圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－4，,y1＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝0，,y2＝2．))所以|AB|＝eq\r(（0＋4）2＋（2－0）2)＝2eq\r(5)，即公共弦长为2eq\r(5)．解法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径r＝5eq\r(2)，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离d＝eq\f(|1－2×（－5）＋4|,\r(1＋（－2）2))＝3eq\r(5)．设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(3eq\r(5))2＋l2，解得l＝eq\r(5)，故公共弦长2l＝2eq\r(5)．点拨：具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫做圆系方程，常见的圆系方程有以下几种：①同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．其中的a，b是定值，r是参数．②半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．其中r是定值，a，b是参数．③过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．④过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，因此应用时注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．当λ＝－1时，圆系方程表示直线l：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0．若两圆相交，则l为两圆相交弦所在直线；若两圆相切，则l为公切线．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0．求：(1)两圆外切时m的值；(2)两圆内切时m的值；(3)m＝45时，两圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长．解：两圆的标准方程分别为：(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为eq\r(11)和eq\r(61－m)．(1)当两圆外切时，eq\r(（5－1）2＋（6－3）2)＝eq\r(11)＋eq\r(61－m)，解得m＝25＋10eq\r(11)．(2)当两圆内切时，因为定圆的半径eq\r(11)小于两圆的圆心距5，故只有eq\r(61－m)－eq\r(11)＝5，解得m＝25－10eq\r(11)．(3)当m＝45时，两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0．所以公共弦长为2eq\r(（\r(11)）2－（\f(|4×1＋3×3－23|,\r(42＋32))）2)＝2eq\r(7)．类型六圆的综合应用(eq\a\vs4\al(2017·全国卷Ⅲ))已知抛物线C：y2＝2x，过点(2，0)的直线交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线与圆M的方程．解：(1)显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设l：x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,x＝my＋2))得y2－2my－4＝0，Δ＝4m2＋16恒大于0，y1＋y2＝2m，y1y2＝－4．eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＝－4(m2＋1)＋4m2＋4＝0，所以eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，即O在圆M上．(2)若圆M过点P，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，(my1－2)(my2－2)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，(m2＋1)y1y2－(2m－2)(y1＋y2)＋8＝0，化简得2m2－m－1＝0，解得m＝－eq\f(1,2)或1．①当m＝－eq\f(1,2)时，l：2x＋y－4＝0，圆心为Q(x0，y0)，y0＝eq\f(y1＋y2,2)＝－eq\f(1,2)，x0＝－eq\f(1,2)y0＋2＝eq\f(9,4)，半径r＝|OQ|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\r(\f(85,16))，则圆M：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9,4)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(85,16)．②当m＝1时，l：x－y－2＝0，圆心为Q(x0，y0)，y0＝eq\f(y1＋y2,2)＝1，x0＝y0＋2＝3，半径r＝|OQ|＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10)，则圆M：(x－3)2＋(y－1)2＝10．点拨：处理圆的综合问题，首先考虑数形结合及应用圆的几何性质，在必要时联立方程，涉及的主要问题有：最值(范围)、定值(定点)、弦长(距离、面积)、平行(垂直)及轨迹等问题，注意借助向量工具．已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))的最小值．解：(1)设圆心C(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a－2,2)＋\f(b－2,2)＋2＝0，,\f(b＋2,a＋2)＝1．))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0，))则圆C的方程为x2＋y2＝r2．将点P的坐标代入，得r2＝2．故圆C的方程为x2＋y2＝2．(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2．令x＝eq\r(2)cosθ，y＝eq\r(2)sinθ，则x＋y－2＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－2，最小值为－2－2＝－4，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))的最小值为－4．1．在解决直线和圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征以简化运算；讨论直线与圆的位置关系时，一般不讨论Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系，即d<r，d＝r，d>r，分别确定相交、相切、相离．2．两圆相交，易只注意到d＜R＋r而遗漏掉d＞R－r．3．要特别注意利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于过切点的半径”“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等等．可以说，适时运用圆的几何性质，将明显减少代数运算量，请同学们切记．4．涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0，y0)引圆的切线，T为切点，切线长公式为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MT))＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F)．5．计算弦长时，要利用半径、弦心距(圆心到弦所在直线的距离)、半弦长构成的直角三角形．当然，不失一般性，圆锥曲线的弦长公式|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])(A(x1，y1)，B(x2，y2)为弦的两个端点)也应重视．6．已知⊙O1：x2＋y2＝r2；⊙O2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2；⊙O3：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．若点M(x0，y0)在圆上，则过M的切线方程分别为x0x＋y0y＝r2；(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2；x0x＋y0y＋D·eq\f(x0＋x,2)＋E·eq\f(y0＋y,2)＋F＝0．若点M(x0，y0)在圆外，过点M引圆的两条切线，切点为M1，M2，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程分别为x0x＋y0y＝r2；(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2；x0x＋y0y＋D·eq\f(x0＋x,2)＋E·eq\f(y0＋y,2)＋F＝0．圆x2＋y2＝r2的斜率为k的两条切线方程分别为y＝kx±req\r(1＋k2)．掌握这些结论，对解题很有帮助．7．研究两圆的位置关系时，要灵活运用平面几何法、坐标法．两圆相交时可由两圆的方程消去二次项求得两圆公共弦所在的直线方程．8．对涉及过直线与圆、圆与圆的交点的圆的问题，可考虑利用过交点的圆系方程解决问题，它在运算上往往比较简便．1．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A．－2或12B．2或－12C．－2或－12D．2或12解：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，依题意得圆心(1，1)到直线3x＋4y＝b的距离d＝eq\f(|3＋4－b|,\r(32＋42))＝1，即|b－7|＝5，解得b＝12或b＝2．故选D．2．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b)与圆x2＋y2＝1的关系为()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能解：eq\f(|a×0＋b×0－1|,\r(a2＋b2))<1，所以a2＋b2>1，所以P(a，b)在圆外．故选B．3．(eq\a\vs4\al(2017·长春模拟))过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A．2x＋y－5＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0D．x－2y－7＝0解：由题意，点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，因为圆心与切点连线的斜率k＝eq\f(1－0,3－1)＝eq\f(1,2)，所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0．故选B．4．(eq\a\vs4\al(2016·深圳模拟))圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为eq\r(2)的点共有()A．1个B．2个C．3个D．4个解：圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，所以圆心(－1，－2)到直线x＋y＋1＝0的距离为eq\f(|－1－2＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，而2eq\r(2)－eq\r(2)＝eq\r(2)，因此圆上到直线x＋y＋1＝0的距离为eq\r(2)的点共有3个．故选C．5．(eq\a\vs4\al(2017·衡水中学月考))两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值为()A．1B．3C．eq\f(1,9)D．eq\f(4,9)解：两圆化为标准方程，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋(y－2b)2＝1．依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，则eq\r(a2＋（2b）2)＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\f(1,9)(a2＋4b2)(eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2))＝eq\f(1,9)(5＋eq\f(a2,b2)＋eq\f(4b2,a2))≥eq\f(1,9)(5＋2eq\r(\f(a2,b2)·\f(4b2,a2)))＝1，当且仅当a2＝3，b2＝eq\f(3,2)时取等号．故选A．6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，N，M分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5eq\r(2)－4B．eq\r(17)－1C．6－2eq\r(2)D．eq\r(17)解：|PM|＋|PN|＝|PC2|－3＋|PC1|－1＝|PC2|＋|PC1|－4，只需求|PC2|＋|PC1|的最小值．作圆C1关于x轴的对称圆C′1：(x－2)2＋(y＋3)2＝1，则|PC1|＝|PC′1|．由图可知，当C2，P，C′1在同一直线上时，|PC2|＋|PC1|＝|PC2|＋|PC′1|取最小值，即|PM|＋|PN|取得最小值，且为|C′1C2|－4＝5eq\r(2)－4．故选A．7．已知点P(－2，－3)，圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝9，过P点作圆C的两条切线，切点分别为A，B，过P，A，B三点的圆的方程为________．解：圆C的圆心坐标为(4，2)，因为PA⊥AC，PB⊥BC，所以P，A，B，C四点共圆，所求圆的圆心O′为PC的中点，即O′(1，－eq\f(1,2))，所求圆的半径r′＝eq\r(（1＋2）2＋（－\f(1,2)＋3）2)＝eq\f(\r(61),2)，所以过P，A，B三点的圆的方程为(x－1)2＋(y＋eq\f(1,2))2＝eq\f(61,4)．故填(x－1)2＋(y＋eq\f(1,2))2＝eq\f(61,4)．8．已知曲线C：x＝－eq\r(4－y2)，直线l：x＝6，若对于点A(m，0)，存在C上的点P和l上的点Q使得eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＝0，则m的取值范围为________．解：曲线C：x＝－eq\r(4－y2)，是以原点为圆心，2为半径的半圆，且xP∈[－2，0]．由题意知，A是PQ的中点，因为xQ＝6，所以m＝eq\f(6＋xP,2)∈[2，3]．故填[2，3]．9．已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12．(1)证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．解法一：(1)证明：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,（x－1）2＋（y＋1）2＝12，))消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)＞0恒成立，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由(1)知x1＋x2＝eq\f(2－4k,k2＋1)，x1x2＝－eq\f(7,k2＋1)，则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝2eq\r(\f(8－4k＋11k2,1＋k2))＝2eq\r(11－\f(4k＋3,1＋k2))，令t＝eq\f(4k＋3,1＋k2)，则tk2－4k＋(t－3)＝0，当t＝0时，k＝－eq\f(3,4)，当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，故t＝eq\f(4k＋3,1＋k2)的最大值为4，此时弦长|AB|最小为2eq\r(7)．解法二：(1)证明：因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|＝eq\r(5)＜2eq\r(3)，所以点P(0，1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P．所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)由平面几何知识知过圆内定点P(0，1)的弦，只有和PC垂直时才最短，而此时点P(0，1)为弦AB的中点，又|PC|＝eq\r(5)，所以|AB|＝2eq\r(（2\r(3)）2－（\r(5)）2)＝2eq\r(7)，即直线l被圆C截得的最短弦长为2eq\r(7)．10．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12，其中O为坐标原点，求|MN|．解：(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1．因为直线l与圆C交于两点，所以eq\f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))＜1，解得eq\f(4－\r(7),3)＜k＜eq\f(4＋\r(7),3)．所以k的取值范围为(eq\f(4－\r(7),3)，eq\f(4＋\r(7),3))．(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入圆C的方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，所以x1＋x2＝eq\f(4（1＋k）,1＋k2)，x1x2＝eq\f(7,1＋k2)．eq