2022年初升高暑期数学精品讲义专题07 集合的运算重难点突破【含答案】

专题07集合的运算一、考情分析二、经验分享【知识点1、并集】1．并集的概念一般地，由___________属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：___________（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示：（1）（2）（3）由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集．注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．2．并集的性质对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得：（1），；（2）；（3）；（4）．【知识点2、交集】1．交集的概念一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：___________（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示：（1）A与B相交（有公共元素）（2），则（3）A与B相离（）注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．（2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．2．交集的性质（1）；（2）；（3）；（4）．【知识点3、全集与补集】1．全集的概念一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．学+科网说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集．2．补集的概念对于一个集合A，由全集U中___________集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示：说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．（2）若，则或，二者必居其一．3．全集与补集的性质设全集为U，集合A是全集U的一个子集，根据补集的定义可得：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．三、题型分析（一）、集合的并集例1．（1）、（2022·浙江·高考真题）设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用并集的定义可得正确的选项.【详解】，故选：D.（2）、（2022·北京顺义·二模）已知集合，，则____________.【答案】【解析】【分析】利用并集概念及运算法则进行计算.【详解】在数轴上画出两集合，如图：.故答案为：【变式训练1-1】、（2022·福建·三明一中模拟预测）设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，然后取并集即可.【详解】集合则，故选：A【变式训练1-2】、（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知集合，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据并集的定义计算可得；【详解】解：因为，，所以；故选：B（二）、集合的交集例2．（1）、（2021·天津滨海新区·高二期末）设集合，，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据集合的交集运算求解即可.【详解】解：集合，，则=，故选：A（2）、（2022·上海交大附中模拟预测）已知集合，则___________．【答案】【解析】【分析】求得再求交集即可【详解】；故答案为：【变式训练2-1】．（2021·上海师范大学第二附属中学高三月考）已知集合，集合，则________．【答案】【分析】由集合的交运算求即可.【详解】由题设知：.故答案为：【变式训练2-2】．（2021·甘肃平凉·高二期末（理））设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式及一元一次不等式的解法求出集合，再利用集合交集的定义即可求解.【详解】由，解得，所以，由，解得，所以，所以.故选：D.（三）、集合的补集例3．（1）、（2020·上海高一专题练习）已知全集，，则___________.【答案】【分析】根据集合补集的定义求解即可．【详解】则故答案为：（2）、（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（文））已知，则为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】直接根据交集的定义求出.【详解】因为，所以=.故选：B【变式训练3-1】、（2021·安徽·池州市贵池区乌沙中学高一期中）（多选题）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】【分析】解不等式得，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为，，所以，A正确；，B错误；因为，，所以，C错误；所以，D正确.故选：AD.【变式训练3-2】．（2021·四川宜宾市·高三三模（文））已知集合，，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得，再求即可.【详解】解：∵集合，，，∴，.故选：A.（四）、集合中的新定义问题解题技巧：集合中的新定义问题(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：用好集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．例4．（2020·上海高一专题练习）定义，若，，则___．【答案】.【分析】直接利用的定义求出.【详解】∵，，且∴故答案为：（2）．【变式训练4-1】．（2021·山东菏泽·高一期中）（多选题）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为．类似地，对于集合、，我们把集合叫作集合与的差集，记作．例如，，，则有，，下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，则C．若是高一（1）班全体同学的集合，是高一（1）班全体女同学的集合，则D．若，则2一定是集合的元素【答案】AC【解析】【分析】选项AC符合题意，正确；选项BD可以通过举反例来证明错误.【详解】选项A：，，则.判断正确；选项B：令，，则，但.判断错误；选项C：表示高一（1）班全体同学中去除全体女同学后剩下的全体同学的集合，即为高一（1）班全体男同学的集合，则必有.判断正确；选项D：令，，则，，此时.判断错误；故选：AC（五）、集合的运算的综合应用例5、（2022·福建三明·高二期中）已知集合，集合，(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由一元二次不等式的解法可求得集合，再由集合的并集定义，计算即可；（2）先根据全集和集合求出集合的补集，然后再求出集合的补集与的交集.(1)由题意得，，

．(2)，

∴．【变式训练5-1】、（2021·湖北·车城高中高一阶段练习）设集合，，.求：(1)；(2)；(3).【答案】(1)；(2)或；(3)或.【解析】【分析】(1)(2)(3)根据集合交并补计算方法计算即可.(1)；(2){x|或}，{x|或}；(3){x|或}，{x|x＜1或3＜x≤4}，{x|或}.（六）、含有参数的集合的运算的综合应用例6．（2022·河北·保定市第二十八中学高二阶段练习）已知集合，非空集合．(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）分别求出集合A、B，然后根据补集、并集的运算即可得出答案；（2）由题意知B⫋A，据此列出不等式组求出m的范围即可.(1)∵，，当，，所以.(2)因为““是“”的必要不充分条件，所以B⫋A，因为，所以，即.因为B⫋A，所以，解得，故的取值范围为.【变式训练6-1】、（2022·山西运城·高二阶段