2018-2019学年江苏省南通市启东中学高二上学期期初考试数学试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2018-2019学年江苏省南通市启东中学高二上学期期初考试数学试题此卷此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1．已知集合A={1,2,3,4,5}，B=1,32．已知函数fx=log2x,x>03．函数fx=sin2x-π4．已知向量a=8,x2，b=x,1，其中x>0，若5．已知α∈0,π2,β∈π26．设数列an的前n的和为Sn，且满足Sn7．一个圆锥的侧面积等于底面面积的3倍，若圆锥底面半径为cm,则圆锥的体积是____cm3。8．若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是____．9．若圆C经过坐标原点和点（4，0),且与直线y＝1相切，则圆C的方程是_________。10．在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，BM=λBC，若AM∙BC11．若正实数x ， y满足x+y=1，则12．在锐角△ABC中,内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且13．已知x，y∈0，+∞，且1+x1+2y14．设fx是定义在R上的奇函数，且f-1=0，若不等式x1fx1-x二、解答题15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b（1)求c；（2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC，求△ABD的面积．16．如图,在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD，点E，F（E与A求证：(1)EF∥平面ABC(2）AD⊥AC17．在一个特定时段内，以点O为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点O正北50海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东30°且与点A相距603海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东60°且与点A相距20海里的位置C（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；(2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．18．在平面直角坐标系中，已知射线y=3xx≥0与射线y=-3xx≥0，过点M1（1）当OA+OB取得最小值时,直线l的方程；(2）求MA2（3)求MA∙MB的最小值19．若函数fx为定义域D上的单调函数，且存在区间a,b⊆D(其中a<b，使得当x∈a,b时，fx的取值范围恰为a,b，则称函数fx是(1）已知fx=x12是(2）试探求是否存在m,使得函数gx=x2+m20．已知数列an是公差为正数的等差数列，其前n项和为S且a2∙(1）求数列an(2)设数列bn满足b1①求数列bn②是否存在正整数m，n(m≠n)，使得b2,bm，2018-2019学年江苏省南通市启东中学高二上学期期初考试数学试题数学答案参考答案1．7【解析】【分析】由A与B,求出两集合的交集确定C，进而可得结果.【详解】∵A=1,2∴C=A∩B=1,3则集合C的真子集的个数为23-1=8-1=7【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的子集,意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简答题。2．10【解析】【分析】根据分段函数的解析式求出f14【详解】因为函数fx=所以f所以f故答案为10【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.3．-【解析】【分析】先求出2x-π4取值范围，再由正弦函数的性质即可求出函数fx=【详解】由题意，x∈0,π2∴sin2x-π4【点睛】形如y=Asin(ωx+φ)，x∈m,n的函数求值域，分两步：（1)x∈m,n求出t=ωx+φ的范围；（2）由t=ωx+φ4．4【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算公式求出向量a-2b与2a+b【详解】∵向量a=∴a∵a∴8-2x即-52x2【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1)两向量平行，利用x1y2-x25．-【解析】【分析】利用α的取值范围和cos2α+sin2α=1，求得【详解】∵α∈0,∴sinα>0,cos∴sinα=1-∴sinα+β解得cosβ=-4+62【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值":给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．6．4【解析】【分析】由Sn=2an-2，得a1=2a1-2，从而a1=2,【详解】∵数列an的前n项和为Sn,满足∴a1=22+a2=22+4+a3=2an整理，得anan-1=2，∴a∴a8【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前n项和公式之间的关系，属于中档题。已知数列前n项和与第n项关系，求数列通项公式，常用公式an=S1,n=1Sn-Sn-1,n≥2,将所给条件化为关于前n项和的递推关系或是关于第n项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.7．2【解析】【分析】根据圆锥的侧面积等于底面面积的3倍，计算圆锥的母线长,得出圆锥的高，代入体积公式计算出圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，设S侧面积∴3πl=3×3π，解得∴圆锥的高h=l∴圆锥的V=13S【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积公式、圆锥的体积公式以及圆锥的几何性质，意在考查空间想象能力,意在考查综合应用所学知识解决问题的能力。8．2,+∞【解析】钝角三角形内角A,B,C的度数成等差数列,则A++B+C=π⇒3B=π⇒B=π3,A+C=2π3，可设三个角分别为π3-A,π3,π3+A，故m=ca=sin(9．(x－2）2＋（y＋32）2＝【解析】设圆的圆心坐标a,b,半径为r，因为圆C经过坐标原点和点4,0，且与直线y=1相切，所以a2+b2=r210．1【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形,利用平面向量的运算法则用AB,AC表示出BC和AM，利用AM⋅BC【详解】如图所示，ΔABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=120BM=λ∴=====19λ-12=-17解得λ=13，故答案为【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：(１)平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）;（２)三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）;二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题,往往利用坐标运算比较简单）．11．8【解析】yx+4y=y12．6+6【解析】【分析】由2asinB=3b，a=6，可得bsinB=43【详解】因为2asinB=3所以bsin由正弦定理可得b∴b=43sinB,c=43∴a+b+c=6+43=6+63∵π∴sinB+∴a+b+c∈6+6【点睛】本题主要考查辅助角公式、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角,求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边;（3)证明化简过程中边角互化；(4)求三角形外接圆半径。13．9【解析】【分析】由基本不等式可得xy≤12，设xy=u∈0,1【详解】因为x，y∈0，所以1+x+2y+2xy=4≥1+22xy设t=2xy>0，则t2+2t-3=t-1即2xy≤1，xy≤1设xy=u∈0,12u∈0,1gu=u∴gu即xy2+1xy的最小值是【点睛】本题主要考查基本不等式的应用、利用导数研究函数的单调性进而求最值,属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题,然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值,首先确定函数的定义域,然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值即可。14．-【解析】【分析】由x1fx1-x2fx2x1-x2<0【详解】∵x1fx1∴函数gx=xfx又fx的奇函数,∴ggx在0,+∞上单调递增,且g作出gx草图如图所示，xf即2xf2x由图象得,-1<2x<0或0<2x<1,解得-12<x<0∴不等式xf2x<0解集是-1【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题。将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性（偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同）,然后再根据单调性列不等式求解.15．⑴c=4；⑵∆ABD的面积为3【解析】【分析】⑴由sinA=-3cosA,可得tanA=-3，又A为三角形内角，则A=2π3,在∆ABC中，由余弦定理可得结果；⑵由题设可得∠CAD=π2，则∠BAD=∠BAC-∠CAD=【详解】⑴∵sinA+3cosA=0，在∆ABC中，由余弦定理可得28=4+c2-4c解得c=-6，舍去，c=4⑵由题设可得∠CAD=π2故∆ABD面积与∆ACD面积的比值为1∵∆ABC的面积为1∴∆ABD的面积为3【点睛】本题主要考查余弦定理、三角形面积公式及特殊角的三角函数,属于简单题。对余弦定理一定要熟记两种形式:（1）a2=b2+c2-2bccosA16．（1)见解析；⑵见解析【解析】【分析】(1)利用三角形中位线定理可得AB//EF，由线面平行判定定理可得结论；(2)由面面垂直的性质定理可得BC⊥平面ABD。因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD又AB⊥AD，可得AD⊥平面ABC，从而可得结论。【详解】（1)在平面ABD内，因为AB⊥AD,EF⊥AD，且AB,EF,AD在同一平面内,所以EF∥AB又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD,所以BC⊥因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面所以AD⊥平面ABC又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC【点睛】证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面。本题（1）是就是利用方法①证明的。17．（1)3019；⑵【解析】【分析】（1）先以点A为原点，正东方向为x轴正半轴建立坐标系，如图，得出点B,C的坐标，再利用两点距离公式得BC从而求得小船速度即可;（2）欲判断它是否会进入警戒水域,只须比较圆心E到直线BC的距离与圆的半径的大小即可.【详解】（1)建立如图所示直角坐标系，则ABC∴船的行驶速度为201923（也可用余弦定理求BC）（2）BC直线方程为y整理得4x-原点O到直线BC的距离为d所以不会进入警戒水域。【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、直线与圆的位置关系，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答。18．⑴直线l的方程为x=1；⑵6；⑶3【解析】【分析】(1)设Aa,3a，Bb，-3ba,b>0，因为A，B，M三点共线,可得a+b=2ab【详解】(1)设Aa,3a所以MA与MB共线，因为MA=a-1,3所以-3得a+b=2ab，即1aOA+OB=2a+2b=等号当且仅当a=b=1时取得此时直线l的方程为x=1（2)MA=4因为由a+b=2ab≤2a+b22，所以a+b≥2所以当a+b=2时，MA2+⑶MA∙MB=-当且仅当a=b=1时取得等号,所以MA∙MB的最小值为3【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立).19．(1)0,1;（2）m∈-1,-【解析】分析：(1）fx=x12是[0，+∞)上的正函数,然后根据正函数的定义建立方程组，解之可求出f（x）的等域区间;

（2）根据函数g(x）=x2+m是(-∞，0）上的正函数建立方程组，消去b,求出a的取值范围，转化成关于a的方程详解：(1）fx=x所以当x∈[a,b]时，f(a)=a即a解得a=0，b=1，故函数f（x)的“等域区间”为［0，1]；（2）假设存在m，使得函数g(x)=x2+m是(-∞,0)上的正函数，且此时函数在∴存在a,b⊆(-∞,