2018-2019学年人教B版数学选修1-2同步学案：第二章 2.2.2 反证法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。2。2反证法学习目标1。了解反证法是间接证明的一种基本方法。2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．知识点反证法王戎小时候,爱和小朋友在路上玩耍．一天,他们发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上，去摘李子,独有王戎没动,等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话,早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”思考1本故事中王戎运用了什么论证思想？答案运用了反证法思想．思考2反证法解题的实质是什么？答案否定结论,导出矛盾，从而证明原结论正确．梳理(1）反证法的概念一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假,推出q为真的方法，叫做反证法．（2)反证法常见的几种矛盾①与假设矛盾．②与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾．③与公认的简单事实矛盾（例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．（3）反证法证明数学命题的一般步骤①分清命题的条件和结论．②做出与命题结论相矛盾的假设．③由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果．④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．1．反证法属于间接证明问题的方法．(√)2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．（×)3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．（√)类型一用反证法证明否定性命题例1已知三个正数a，b,c成等比数列但不成等差数列．求证：eq\r（a），eq\r(b)，eq\r（c）不成等差数列．证明假设eq\r(a），eq\r(b），eq\r(c）成等差数列，则2eq\r(b）＝eq\r(a）＋eq\r(c),∴4b＝a＋c＋2eq\r(ac）。①∵a，b，c成等比数列,∴b2＝ac,②由②得b＝eq\r(ac)，代入①式，得a＋c－2eq\r(ac)＝（eq\r(a）－eq\r（c))2＝0,∴a＝c，从而a＝b＝c。这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，∴假设不成立．故eq\r(a)，eq\r（b）,eq\r（c）不成等差数列．反思与感悟对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明，从正面突破较困难时,可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾,从而达到证题的目的．跟踪训练1已知正整数,a，b,c满足a2＋b2＝c2.求证a,b，c不可能都是奇数．证明假设a,b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾．∴假设不成立，∴a,b，c不可能都是奇数．类型二用反证法证明“至多、至少”类问题例2a，b，c∈（0，2），求证：(2－a)b，（2－b)c，（2－c)a不能都大于1。证明假设(2－a)b,(2－b）c,（2－c)a都大于1。因为a，b，c∈（0,2），所以2－a〉0，2－b〉0,2－c〉0.所以eq\f（2－a＋b，2）≥eq\r（2－ab）>1.同理,eq\f（2－b＋c，2)≥eq\r（2－bc）〉1，eq\f(2－c＋a,2）≥eq\r（2－ca)〉1.三式相加，得eq\f(2－a＋b，2）＋eq\f（2－b＋c,2)＋eq\f(2－c＋a，2）>3，即3〉3,矛盾．所以(2－a）b,（2－b)c，（2－c）a不能都大于1.反思与感悟（1）用反证法证明“至少”“至多"类命题，可减少讨论情况,目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意思．（2)常用的“原结论词”与“反设词"归纳如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有（不存在)至少有两个至多有n－1个至少有n＋1个跟踪训练2已知a，b，c是互不相等的实数，求证:由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b,得Δ1＝（2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝（2a)2－4bc≤0.同向不等式求和，得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0,所以(a－b）2＋(b－c）2＋(a－c）2≤0，所以a＝b＝c。这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．类型三用反证法证明唯一性命题例3求证：方程2x＝3有且只有一个根．证明∵2x＝3，∴x＝log23。这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2），则＝3,＝3，两式相除得＝1，∴b1－b2＝0,则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾．∴假设不成立，从而原命题得证．反思与感悟用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性"结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．跟踪训练3求证：两条相交直线有且只有一个交点．证明设两直线为a，b，假设结论不成立,即有两种可能：无交点;至少有两个交点．(1）若直线a,b无交点，那么a∥b或a，b是异面直线,与已知矛盾；(2)若直线a，b至少有两个交点，设为A和B,这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线"相矛盾．所以假设不成立，两条相交直线有且只有一个交点．1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角"，第一步应假设(）A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角答案B2．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°"，应先假设这个三角形中(）A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°答案B3．“a<b"的反面应是(）A．a≠b B．a>bC．a＝b D．a＝b或a〉b答案D4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设(）A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a⊥b D．a与b相交答案D5．已知f(x)＝x2＋px＋q.（1)求证：f(1）＋f（3)－2f(2）＝2;(2)求证:|f（1）｜，|f(2)｜,|f（3)|中至少有一个不小于eq\f(1,2）。证明（1)f（1）＋f（3）－2f（2）＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q）－2(4＋2p＋q)＝2。（2)假设|f（1）｜，｜f（2）｜，|f（3)｜中至少有一个不小于eq\f(1,2）不成立,则｜f(1）｜，｜f(2）｜，｜f(3）｜都小于eq\f(1,2)，则｜f（1)｜＋2｜f（2）|＋｜f(3）|<2。因为｜f(1)｜＋2|f(2)｜＋｜f（3)｜≥f(1）＋f(3）－2f（2)＝（1＋p＋q）＋（9＋3p＋q）－（8＋4p＋2q）＝2,这与|f(1)｜＋2|f(2）｜＋|f（3）｜<2相矛盾，所以假设不成立，原命题成立，所以｜f(1）｜,|f(2)|，｜f（3)|中至少有一个不少于eq\f(1，2）。用反证法证题要把握三点(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证,否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．（3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾,但推导出的矛盾必须是明显的。一、选择题1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．其中正确的为（)A．①②③④ B．①③C．①③④ D．①②答案A2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时,正确的反设为（）A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数答案D解析自然数a，b,c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b,c中都是奇数或至少有两个偶数"．3．（1）已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；（2）已知a,b∈R，｜a|＋｜b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于1,以下结论正确的是(）A．（1）与(2）的假设都错误B．(1）与(2）的假设都正确C．（1)的假设正确；（2)的假设错误D．(1)的假设错误；（2)的假设正确答案D解析(1)的假设应为p＋q>2，（2）的假设正确．4．有下列叙述:①“x＝y"的反面是“x〉y或x<y”；②“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；③“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案B解析①对；②错，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；③错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．5．设实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b,c中至少有一个数不小于（）A．0B。eq\f（1，3)C.eq\f（1,2）D．1答案B解析假设a，b，c都小于eq\f(1,3），则a＋b＋c<1，故与已知a＋b＋c＝1相矛盾．故选B.6．设a，b,c都是正数，则三个数a＋eq\f（1,b),b＋eq\f（1,c),c＋eq\f(1,a)(）A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2答案C解析假设a＋eq\f(1,b）〈2，b＋eq\f（1,c)<2,c＋eq\f(1,a）〈2，则eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（a＋\f(1，b）））＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(b＋\f(1，c))）＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f（1，a）））〈6.又eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（a＋\f(1，b))）＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（b＋\f（1,c））)＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,a）))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（b＋\f(1,b）））＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（c＋\f（1,c）））≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2。二、填空题7．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时,应假设________________．答案x＝a或x＝b8．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C〉180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．答案③①②9．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷;乙:丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是________．答案甲解析假如甲:我没有偷是真的,则乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；丁：我没有偷就是真的,与他们四人中有一人说真话矛盾．假如甲：我没有偷是假的，则丁:我没有偷就是真的,乙：丙是小偷,丙：丁是小偷是假的，成立．∴可以判断偷珠宝的人是甲．10．完成反证法证题的全过程．题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…,7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1）(a2－2)…（a7－7）为偶数．证明：假设p为奇数，则________均为奇数．①因为7个奇数之和为奇数，故有(a1－1)＋（a2－2)＋…＋（a7－7）为________．②而（a1－1）＋（a2－2）＋…＋（a7－7）＝(a1＋a2＋…＋a7）－(1＋2＋…＋7）＝________.③②与③矛盾，故p为偶数．答案①a1－1，a2－2，…，a7－7②奇数③0解析由假设p为奇数可知,(a1－1)，(a2－2),…，（a7－7)均为奇数，故（a1－1）＋(a2－2）＋…＋（a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7）－（1＋2＋…＋7）＝0为奇数，这与0为偶数相矛盾．11．若下列两个方程x2＋（a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是____________________．答案(－∞，－2]∪[－1，＋∞)解析若两方程均无实根，则Δ1＝(a－1）2－4a2＝（3a－1)(－a－1）<0,∴a〈－1或a〉eq\f（1，3）。Δ2＝（2a)2＋8a＝4a(a＋2)<0，∴－2<a<0，故－2<a<－1.若两个方程至少有一个方程有实根，则a≤－2或a≥－1。三、解答题12．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋eq\f（π，2），b＝y2－2z＋eq\f(π,3），c＝z2－2x＋eq\f（π，6).求证:a，b，c中至少有一个是大于0的．证明假设a，b，c都不大于0，则a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x2－2y＋\f(π，2)）)＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（y2－2z＋\f(π，3)))＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（z2－2x＋\f(π,6))）＝(x2－2x）＋（y2－2y)＋（z2－2z)＋π＝(x－1）2＋（y－1）2＋（z－1)2＋π－3,∴a＋b＋c〉0.这与a＋b＋c≤0矛盾，∴假设不成立，故a，b，c中至少有一个是大于0的．13．已知f(x)＝ax＋eq\f（x－2,x＋1）（a〉1），求证：方程f（x）＝0没有负数根．证明假设x0是f(x)＝0的负数根，则x0〈0且x0≠－1，且ax0＝－eq\f（x0－2，x0＋1),∴0<ax0〈1,∴0〈－eq\f（x0－2，x0＋1)〈1，解得eq\f（1，2）〈x0〈2，这与x0〈0矛盾，故方程f（x)＝0没有负数根．四、探究与拓展14．若a，b，c，d都是有理数,eq\r（c），eq\r(d）都是无理数，且a＋eq\r（c）＝b＋eq\r(d)，则a与b,c与d之间的数量关系为_______________________________________________________________．考点反证法及应用题点反证法的应用答案a＝b,c＝d解析假设a≠b,令a＝b＋m（m是不等于零的有理数)，于是b＋m＋eq\r(c)＝b＋eq