多元函数微分学的应用

7.8复习目录上页下页返回结束7.8.2几何应用7.8.3极值

多元函数微分学的应用

第7章7.8.1向量函数及其导数7.8.1向量函数及其导数1.向量（值）函数设为一变量,是一向(矢)性变量，变向(矢)量都有确定的向(矢)量与之对应,则称该对应法则为定义：记作:特别地，之终(端)点在空间的轨迹，称之为向量函数的矢端曲线。若上定义的一个向(矢)量函数。的图形正是向径该轨迹恰是空间中的一条曲线，称之为一元的向量函数；称之为多元向量函数；一元的三维向量函数常表示为：2.向(矢)量函数的极限设向量函数若都有称向量是向量函数当时的极限,记作：显然，当向量函数的极限收敛时，定义：为一向量，此时也称该向量函数的极限收敛；否则，若取则称此极限发散。向量函数极限收敛的等价条件是：的各坐标函数的极限均收敛。因此，作相应的讨论。故可用研究数量函数的方法来研究向量函数问题。3.向量函数的连续性综上讨论：向量函数对应对向量函数的讨论，可转化为对它所对应的各坐标函数若则称向量函数处连续；若向量函数则称向量函数在点在区域里每一点都连续，里连续，在区域记作：由前讨论知，只要各坐标函数相应的连续即可。例如：在全体实数上连续；一元向量函数二元向量函数在第一象限内连续；4.一元三维向(矢)量函数的导数与微分设称为向量函数在t

处的导向量；记作若该极限收敛，称为向量函数在t

处可导；若均可导，向量函数称为向量函数在里可导；向量函数称为向量函数的微分，记作：显然有：5.多元向(矢)量函数的导数与微分二元三维向量函数有其直观的几何意义(图象为空间曲面)，设先给予讨论。完全类似于二元数量函数的偏导数的计算方法，向量称为向量函数关于变量u的偏导向量；向量称为向量函数关于变量v的偏导向量；的Jacobi

矩阵(全导数)。称为向量函数矩阵记作一般地，m元的n

维向量函数为：设m元函数在区域里可导，称为向量函数的Jacobi

矩阵称为向量函数矩阵记作（全导数）；令关于第i个变量的偏导向量。向量记作7.8.2

几何应用设平面光滑(连续可导)曲线切线方程：法线方程：若光滑曲线方程为：切线方程：法线方程：在点处有故有：因机动目录上页下页返回结束复习：Ⅰ.空间曲线的切线与法平面机动目录上页下页返回结束设空间曲线若且在T内连续，则称曲线Γ为光滑的。简言之，“光滑的曲线是指其切向量连续变动的曲线。”若曲线Γ

可分为有限段，则称该曲线且每一段为光滑的，Γ

为分段光滑的。设空间的曲线Γ

满足：为方向向量，为法向量，以的直线，且过点处的切线；称为曲线Γ在以的平面，且过点处的法平面。称为曲线Γ在设空间光滑的曲线Γ方程为：其切向量为:机动目录上页下页返回结束则曲线在点1.空间曲线为向量式的情况处的法平面方程：则曲线在点处的切线方程：若例1.求圆柱螺旋线所对应点处的切线方程和法平面方程。切线方程法平面方程：即即解:对应的切向量为：在机动目录上页下页返回结束故由于2.曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点,且有时,可表示为处的切向量为机动目录上页下页返回结束则在点切线方程法平面方程有或机动目录上页下页返回结束也可表为法平面方程机动目录上页下页返回结束例2.

求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法1

令则即切向量机动目录上页下页返回结束法平面方程即机动目录上页下页返回结束解法2.

方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量机动目录上页下页返回结束切线方程Ⅱ.曲面的切平面与法线

引理：函数则曲面Σ上过点且在该点处的切矢量为：设证：处连续可导，是曲面Σ上过点处的任意曲线在该点处的切线（若存在）均位于同一平面。机动目录上页下页返回结束在点处的任一曲线，在曲面上,设曲面且得:机动目录上页下页返回结束由于曲线的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上。从而切平面存在.曲面

在点X的法向量法线方程切平面方程复习目录上页下页返回结束曲面时,则在点故当函数法线方程令特别,

当光滑曲面

的方程为显式

在点有连续偏导数时,切平面方程机动目录上页下页返回结束法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,复习目录上页下页返回结束例3.

求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量令机动目录上页下页返回结束例4.确定正数

使曲面在点解:二曲面在

M

点的法向量分别为二曲面在点M

相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面机动目录上页下页返回结束,因此有1.空间曲线的切线与法平面

切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结机动目录上页下页返回结束切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2)一般式情况.机动目录上页下页返回结束空间光滑曲面曲面

在点法线方程1)隐式情况.的法向量切平面方程2.曲面的切平面与法线机动目录上页下页返回结束空间光滑曲面切平面方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦法向量机动目录上页下页返回结束思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示:

设切点为则机动目录上页下页返回结束(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)证明曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示:

在曲面上任意取一点则通过此

作业

P452，3，4，5，8，9，102.设

f(u)可微,第七节目录上页下页返回结束证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为1.

证明曲面与定直线平行,证:

曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒备用题机动目录上页下页返回结束2.求曲线在点(1,1,1)

的切线解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.机动目录上页下页返回结束7.8.3极值（1）定义:若有称为函数的局部的极小值；称点为函数极小值点。或1.无条件(自由)极值函数使函数设函数机动目录上页下页返回结束取得极值的点称为该函数的极大值与极小值统称为函数的极值；的极值点。设函数在点处可导，若的驻点；则称点P为函数函数定义域内的驻点与函数不可导的点统称为函数的可疑极值点或受检点。（大）（大）例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.

但驻点不一定是极值点.机动目录上页下页返回结束说明：⑵极值存在的必要条件若函数证:函数极值的必要条件知处取得极小值,极值且在该点处可导，则有处取得即机动目录上页下页返回结束定理1（必要性）在点不妨设在点即函数在点处取得极小值，根据一元同理，有故：时,具有极值（3）极值存在的充分条件内二阶连续可导，且令1)当A<0时取极大值；A>0时取极小值；2)当3)当证明见第九节(P65).

时，没有极值；时，不能确定,需另行讨论。若函数机动目录上页下页返回结束定理2

（充分性）在的某邻域则例1.求函数解:得驻点:第二步判别：在点

(1,0)处为极小值;求偏导数并解方程组：的极值。求二阶偏导数机动目录上页下页返回结束第一步求可疑的极值点：在点(3,0)处，不是极值;在点(3,2)处，为极大值。不是极值;机动目录上页下页返回结束在点(1,2)处，例2.讨论函数及是否取得极值.解:

显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为机动目录上页下页返回结束2.最值应用问题函数f

在有界闭域上连续函数f

在该闭域上可达到最值

最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据机动目录上页下页返回结束例3.解:设水箱长,宽分别为x,ym

,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.机动目录上页下页返回结束例4.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:

设折起来的边长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为

,积最大.为问怎样折法才能使断面面机动目录上页下页返回结束解得:由题意知，最大值在定义域

D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求。机动目录上页下页返回结束令3.条件极值极值问题无条件极值：条件极值：条件极值的求法：方法1代入法：的极值问题，极值问题。对自变量只有定义域限制；对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制；机动目录上页下页返回结束先从约束条件中，条件极值的数学形式：目标函数约束条件代入目标函数解出函数再将所求将带约束条件函数转化为求一元函数辅助函数L称为拉格朗日(Lagrange)函数；利用拉格朗日代入目标函数得：函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法。机动目录上页下页返回结束例5.求函数下的极值。满足条件：解：取令解得可疑的驻点：从而得函数的极值为：方法2.拉格朗日（Lagrange）乘数法设点的极值点，是函数即在点且使假设函数我们来探讨点应满足什么样的条件？机动目录上页下页返回结束处连续可导，且偏导函数由隐函数的存在定理得知，由方程在点的领域内决定了一个一元函数满足且从理论上讲，上述的条件极值问题，在的邻域的极值问题。必可转化为一元函数其中：机动目录上页下页返回结束由一元函数极值的必要条件知显然有：因此，引入辅助函数：辅助函数L称为拉格朗日(Lagrange)函数；利用拉格朗日的解。函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法。机动目录上页下页返回结束综上讨论，若点的极值点，是函数满足条件则必有即点必是方程组：由函数L

分别对变量求偏导数并令其等于零便得方程组（＊）。（＊）推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形：设解方程组可得到条件极值的可疑的点。例如,

求函数下的极值。在条件机动目录上页下页返回结束例6.求点令解:问题转化为：设到平面机动目录上页下页返回结束的距离。从而得：由故机动目录上页下页返回结束得从而得：例7.要设计一个容量为则问题为求x

,

设解方程组解:下水箱表面积最小.y,z

使在条件宽、高各为多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,机动目录上页下页返回结束试问其长、设x,y,z

分别表示水箱的长、宽、高,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省。因此,当高为机动目录上页下页返回结束思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:

利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最低，应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.得唯一的驻点内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法机动目录上页