2021-2022学年山西省太原市英才学校高二数学文测试题含解析

2021-2022学年山西省太原市英才学校高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则，，（

）A．都不大于2

B．都不小于2C．至少有一个不大于2

D．至少有一个大于2参考答案：D2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（

）A．1

B．

C．

D．参考答案：D由正弦定理，故选D.

3.已知若则等于（

）A.

B.

C.0

D.1参考答案：B考点：函数奇偶性的应用．【方法点晴】本题主要考查了河南省的奇偶性的应用、函数值的求解，其中解答中涉及到实数指数幂的化简与运算、对数的运算与化简、函数奇偶性的判定与证明，解答中根据函数的解析式，得出（定值）是解答此类问题的关键，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．4..已知曲线C的参数方程为（为参数），M是曲线C上的动点，若曲线T的极坐标方程为，则点M到曲线T的距离的最大值为（

）A. B. C. D.参考答案：B在曲线上的动点，点的坐标为；曲线的直角坐标方程为：，则点到的距离为，的最大值为，故选.点睛：（1）在解决极坐标方程这类题型时，常用的方法是转化成直角坐标方程求解。（2）求解椭圆、圆上的点到直线距离的最值问题时，将椭圆、圆的参数方程求出，带入点到值线的距离公式转化成三角函数求解。5.已知是R上的单调增函数，则的取值范围是（

）A.

B.C.D.参考答案：D略6.正方体中，E、F分别是棱AB，的中点，与所成的角是，则

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.设函数，若，则的值为A.

B.

C.

D.

参考答案：D略8.设数集，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C9.已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点落在（

）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限参考答案：D【分析】原等式两边同乘以，从而可得，进而可得结果.【详解】因为，所以，复数在复平面内对应的点为第四象限的点，故选D【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10.不等式的解集为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，且，则

参考答案：512.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则a+b的最小值为．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC与（a+b）2﹣c2=4可得：ab=，由基本不等式即可求得a+b的最小值．【解答】解：∵（a+b）2﹣c2=4，∴c2=a2+b2+2ab﹣4①∵△ABC中，C=60°，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab②由①②得：3ab=4，ab=．∴a+b≥2=2=（当且仅当a=b=时取“=”）．∴a+b的最小值为．故答案为：．13.如图是样本容量为200的频率分布直方图。根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在【6，10】内的频数为

。参考答案：6414.已知函数（其中为常数），若在和时分别取得极大值和极小值，则

．参考答案：略15.若命题:方程有两不等正根；:方程无实根.求使为真，为假的实数的取值范围____________。参考答案：16.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是．参考答案：336【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意知本题需要分组解决，共有两种情况，对于7个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有2人另一个是1人，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分组解决，∵对于7个台阶上每一个只站一人有A73种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有C31A72种，∴根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A73+C31A72=336种．故答案为：336．17.直线与直线垂直，则=

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作

轴的垂线交于点．（Ⅰ）证明：过点与抛物线只有一个交点的直线（的斜率存在）与平行；（Ⅱ）是否存在实数使若存在，求的值；若不存在，说明理由．参考答案：.解：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，由韦达定理得，，，点的坐标为．设过点的直线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线只有一个交点，，．即．（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，．由（Ⅰ）知．轴，．又

．，解得．即存在，使19.已知函数f（x）=xlnx（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若直线l过点（0，﹣1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）由原函数的解析式，我们易求出函数的导函数，进而根据导函数的零点对函数的定义域进行分段讨论后，即可得到答案．（Ⅱ）由f'（x）=lnx+1，知f（x）=xlnx在（x0，x0lnx0）处的切线方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），由切线l过点（0，﹣1），解得x0=1，由此能求出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，x∈（0，+∞）又∵当f'（x）=lnx+1=0，得x=，如下表∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，在x=处取得极小值，且极小值为f（）=﹣．（Ⅱ）∵f'（x）=lnx+1，∴f（x）=xlnx在（x0，x0lnx0）处的切线方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），∵切线l过点（0，﹣1），∴﹣1﹣x0lnx0=（lnx0+1）（﹣x0），解得x0=1，∴直线l的方程为：y=x﹣1．20.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列前n项和为，首项为，且成等差数列。（1）求数列的通项公式；（2）若，设，求数列的前n项和.参考答案：解：（1）由题意知

当时，当时，两式相减得整理得：∴数列是以为首项，2为公比的等比数列。（2）∴，①②①-②得

21.（12分）已知函数.（Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；参考答案：（Ⅰ）

…………2分

由已知，解得.

…………4分

（II）

函数的定义域为.

…………5分（1）当时,，的单调递增区间为；…………7分（2）当时.

…………9分

当变化时，的变化情况如下：-+↘极小值↗

由上表可知，函数的单调递减区间是；单调递增区间是.…………12分22.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（2）证明：CD∥EF（3）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由AF⊥EF，得AF⊥DF，从而AF⊥平面EFDC，由此能证明平面ABEF⊥平面EFDC．（2）由AF⊥DF，AF⊥EF，得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角，由CE⊥BE，BE⊥EF，得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．从而∠DFE=∠CEF=60°．由此能证明CD∥EF．（3）以E为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】证明：（1）∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF?平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC．（2）由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角，由CE⊥BE，BE⊥EF，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB?平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF．解：（3）以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0