2021-2022学年山西省太原市爱物中学高三数学文月考试卷含解析

2021-2022学年山西省太原市爱物中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题p：函数在[1，4]上的值域为；命题．下列命题中，真命题的是(

)A．p∧q B．￢p∨q C．p∧￢q D．p∨q参考答案：B【考点】复合命题的真假；函数的值域．【专题】简易逻辑．【分析】根据条件分别判断两个命题的真假即可得到结论．解：∵在[1，]上为减函数，在[，4]上为增函数，∴当x=1时，y=1+2=3，当x=4时，y=4+=，即最大值为，当x=时，y=+=+=2，即最小值为2，故函数的值域为[2，]，故命题p为假命题．若a＞0，则a+1＞a，则log（a+1）＜loga，故命题q为假命题，则￢p∨q为真命题．故选：B．【点评】本题主要考查复合函数命题的真假判断，分别判断命题p，q的真假是解决本题的关键．2.设集合，，则A∩B=（

）A.(－1,2) B.[－1,2) C.(－1,2] D.[－1,2]参考答案：A∵集合A=，解得x>-1，B={x|（x+1）（x﹣2）0且x}={x|﹣1x＜2}，则A∩B={x|＜x＜2}，故选：A．

3.如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为(

)A.4 B.5 C.8 D.9参考答案：B【分析】由几何概型中的随机模拟试验可得：，将正方形面积代入运算即可．【详解】由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，则其中落入黑色部分的有605个点，由随机模拟试验可得：，又，可得，故选B．【点睛】本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.4.如图所示是一样本的频率分布直方图．则由图中的数据，可以估计样本的平均数、众数与中位数分别是A．12.5，12.5，12.5

B．13，

12.5，13

C．13，

13，

12.5

D．12.5，13，

13参考答案：B5.已知命题q：?x∈R，x2＞0，则（）A．命题￢q：?x∈R，x2≤0为假命题 B．命题￢q：?x∈R，x2≤0为真命题C．命题￢q：?x∈R，x2≤0为假命题 D．命题￢q：?x∈R，x2≤0为真命题参考答案：D【考点】2J：命题的否定．【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定，再进行判断即可．【解答】解：∵命题q：?x∈R，x2＞0，∴命题￢q：?x∈R，x2≤0，为真命题．故选D．6.已知复数z满足：zi=2+i（i是虚数单位），则z对应的点在复平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由足zi=2+i，得z==1﹣2i，∴复数z在复平面内所对应的点的坐标是（1，﹣2），∴z对应的点在复平面的第四象限．故选：D．7.抛物线C1：y=

x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=A.

B.

C.

D.参考答案：D经过第一象限的双曲线的渐近线为。抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为.，所以在处的切线斜率为，即，所以，即三点，，共线，所以，即，选D.8.已知向量满足，，则=A.

B.2

C.

D.10参考答案：C略9.下列命题中的真命题是(

)A.

B.＞

C.＜

D.＞参考答案：D10.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.2018年俄罗斯世界杯将至，本地球迷协会统计了协会内180名男性球迷，60名女性球迷在观察场所（家里、酒吧、球迷广场）上的选择，制作了如图所示的条形图，用分层抽样的方法从中抽取48名球迷进行调查，则其中选择在酒吧观赛的女球迷人数为_________人．参考答案：总球迷是人，家里的女性球迷是人，球迷广场女性人，所以在酒吧观赛的女球迷是人，抽样中，选择在酒吧观赛的女球迷人数为人．12.已知角构成公差为的等差数列.若，则:=______参考答案：-2/3

略13.设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是

．参考答案：14.已知双曲线（a＞0）的离心率为2，则a的值为．参考答案：【分析】求得双曲线的b2=2，由c=和e=，解关于a的方程，即可得到所求值．【解答】解：由双曲线（a＞0）得到b2=2，则c=，所以=2，解得a=．故答案是：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，注意运用离心率公式和基本量a，b，c的关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15.已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．参考答案：（﹣7，3）【考点】函数单调性的性质；一元二次不等式的解法．【专题】压轴题；不等式的解法及应用．【分析】由偶函数性质得：f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可变为f（|x+2|）＜5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+2|的范围，再求x范围即可．【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．故答案为：（﹣7，3）．【点评】本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键．16.抛物线及其在点和点处的切线所围成图形的面积为

参考答案：17.已知F是抛物线的焦点，M、N是该抛物线上的两点，，则线段MN的中点到轴的距离为__________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分）如图1,在△ABC中，AB=BC=2,∠B=90°,D为BC边上一点，以边AC为对角线做平行四边形ADCE，沿AC将△ACE折起，使得平面ACE⊥平面ABC,如图2.

(1)在图2中，设M为AC的中点，求证:BM丄AE；(2)在图2中，当DE最小时，求二面角A-DE-C的平面角.参考答案：（1）证明：∵在中，，∴当为的中点时，∵平面平面，平面，平面平面∴平面∵平面∴（2）如图，分别以射线，的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系设，则，，，∵，，平面平面∴∴当且仅当时，最小，此时，设，平面，则，即∴令，可得，，则有∴∴观察可得二面角的平面角

19.已知全集，.（1）若，求（2）若，求实数的取值范围参考答案：解：

（Ⅰ）当时，，

（Ⅱ）当时，即，得，此时有；当时，由得：解得综上有实数的取值范围是

略20.（本题满分12分）设函数.（I）求证：；（II）记曲线处的切线为，若与轴、轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值.参考答案：

21.记函数的导函数为，已知．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）设函数，试问：是否存在正整数n使得函数gn（x）有且只有一个零点？若存在，请求出所有n的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）若实数x0和m（m＞0，且m≠1）满足：，试比较x0与m的大小，并加以证明．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）直接由列式求a的值；（Ⅱ）求出函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，由导函数的符号判断原函数的单调性，求出原函数的最值，根据最值分析函数的零点个数；（Ⅲ）求出，代入，解出x0，把x0与m作差后构造辅助函数，求出辅助函数的导函数，由辅助函数的单调性即可证明x0与m的差与0的大小关系，则结论得到证明．【解答】解：（Ⅰ），由，得a=1；（Ⅱ），，∵x＞0，令，得．当x＞时，，gn（x）是增函数；当0＜x＜时，，gn（x）是减函数；所以当时，gn（x）有极小值，也是最小值，．当x→0时，gn（x）→+∞；当x→+∞时，（可取x=e，e2，e3，…体验），gn（x）→+∞．当n≥3时，，函数gn（x）有两个零点；当n=2时，，函数gn（x）有两个零点；当n=1时，，函数gn（x）只有一个零点；综上所述，存在n=1使得函数gn（x）有且只有一个零点．（Ⅲ），∵，∴．解得，则，当m＞1时，（n+1）（mn﹣1）＞0，设h（x）=﹣xn+1+x（n+1）﹣n（x≥1），则h′（x）=﹣（n+1）xn+n+1=﹣（n+1）（xn﹣1）≤0（当且仅当x=1时取等号），所以h（x）在[1，+∞）上是减函数，又因为m＞1，所以h（m）＜h（1）=0，所以x0﹣m＜0，所以x0＜m．当0＜m＜1时，（n+1）（mn﹣1）＜0，设h（x）=﹣xn+1+x（n+1）﹣n（0＜x≤1），则h′（x）=﹣（n+1）xn+n+1=﹣（n+1）（xn﹣1）≥0（当且仅当x=1时取等号），所以h（x）在（0，1]上是增函数，又因为0＜m＜1，所以h（m）＜h（1）=0，所以x0﹣m＞0，所以x0＞m．综上所述，当m＞1，x0＜m．当0＜m＜1时，x0＞m．【点评】本题考查了导数在最大值最小值中的应用，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了构造函数法进行不等式的大小比较，是有一定难度题目．22.已知函数f（x）=ex﹣，a，f（x）为实数．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极值点，且极值大于ln4+2，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出答案，（2）设极值点为x0，则极值为f（x0）=﹣，多次构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=ex﹣的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴f′（x）=ex+，∵a＞0，∴f′（x）=ex+＞0恒成立，∴f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，（2）由（1）可知，当a≥0时，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，函数无极值点，当a＜0时，∵f（x）在（0，+∞）上存在极值点，∴f′（x）=ex+=设g（x）=x2ex+a，则g′（x）=xex（2+x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）＞g（0）=a＜0