大学物理讲义量子物理2

北京邮电大学

理学院物理系1第十六章量子物理本章内容§2光电效应,爱因斯坦光子假说§3康普顿散射§4氢原子光谱,波尔的氢原子理论§5波粒二象性,不确定关系§6波函数,薛定谔方程§7氢原子的量子力学描述§8电子自旋,原子的壳层结构§1热辐射,普朗克能量子假说21900年4月27日，伦敦皇家研究所WilliamThomson《在热和光动力理论上空的19世纪乌云》“Thebeautyandclearnessofthedynamicaltheory,whichassertsheatandlighttobemodesofmotion,isatpresentobscuredbytwoclouds.”Twoclouds:以太理论和黑体辐射理论.4索尔维会议--1910组织者:古德施密特,索尔维地点:比利时布鲁塞尔内容:量子理论,辐射现象,气体运动理论疑问:h关键人物:爱因斯坦,普朗克,卢瑟福,“德布罗意”……后来…………5第五届索尔维会议6§16.1黑体黑体辐射1.热辐射的基本概念（1）单色辐射出射度单位时间内从物体单位表面积发出的频率在附近单位频率区间内的电磁波的能量.单位：单位：（2）辐射出射度单位时间，单位面积上所辐射出的各种频率（或各种波长）的电磁波的能量总和.702468101221210468太阳钨丝可见光区

太阳

钨丝钨丝和太阳的单色辐出度曲线8§16.1黑体黑体辐射2.黑体若物体在任何温度下，能吸收一切外来的电磁辐射，则称此物体为黑体.（绝对黑体）.9§16.1黑体黑体辐射3.黑体辐射的实验规律黑体单色辐出度的实验曲线10§16.1黑体黑体辐射3.黑体辐射的实验规律3.1斯特藩-玻耳兹曼定律斯特藩-玻耳兹曼常数总辐出度式中11§16.1黑体黑体辐射3.黑体辐射的实验规律3.1斯特藩-玻耳兹曼定律斯特藩-玻耳兹曼常数总辐出度式中3.2维恩位移定律

峰值波长12

123624瑞利-金斯公式紫外灾难实验曲线****************T=2000K

K§16.1黑体黑体辐射4.瑞利-金斯公式经典物理的困难13§16.1黑体黑体辐射5.普朗克假设普朗克黑体辐射公式普朗克黑体辐射公式普朗克常数14黑体中的分子、原子的振动可看作谐振子，这些谐振子的能量状态是分立的，相应的能量是某一最小能量的整数倍,即，2

，3

，…n,称为能量子，n

为量子数.普朗克量子假设普朗克量子假设是量子力学的里程碑.§16.1黑体黑体辐射1900年12月14日，普朗克宣读了黑体辐射论文，宣告了quantum的诞生，那一年他42岁。同年，一个名叫AlbertEinstein的青年从ETH毕业，没找到工作……；在丹麦，15岁的尼尔斯波尔正在读中学。

在奥地利维也纳的一所高级中学，13岁的ErwinSchrodinger正在读中学（跟Boltzmann校友）。

LouisdeBroglie当时8岁，法国贵族。

WolfgangPauli出生8个月，再过一年，维尔兹堡一个名叫WernerHeisenberg的希腊小孩诞生，同年，意大利罗马诞生了EnricoFermi……16§16.2

光电效应实验的规律1.实验装置及现象2.实验规律VA(1)光电流强度与入射光强成正比.(2)截止频率（红限）对某种金属来说，只有入射光的频率大于某一频率时，电子才会从金属表面逸出.称为截止频率或红限频率.17

遏止电势差与入射光频率具有线性关系.（4）瞬时性使光电流降为零所外加的反向电势差称为遏止电势差

，对不同的金属，

的量值不同.（3）遏止电势差O§16.2

光电效应实验的规律18

按经典理论,电子逸出金属所需的能量，需要有一定的时间来积累,与实验结果不符.

经典理论遇到的困难

红限问题

瞬时性问题

按经典理论,无论何种频率的入射光,只要强度足够大，就能使电子逸出金属.与实验结果不符.

§16.2

光电效应实验的规律19§16.2

光电效应实验的规律3.光子爱因斯坦方程

光量子假设光可看成是由光子组成的粒子流，单个光子的能量为爱因斯坦光电效应方程逸出功与材料有关20

遏止电势差VA外加反向的遏止电势差恰能阻碍光电子到达阳极,即§16.2

光电效应实验的规律（截止频率）

频率限制:只有时才会发生瞬时性光子射至金属表面，一个213普朗克常数的测定遏止电势差和入射光频率的关系O§16.2

光电效应实验的规律22

相对论能量和动量关系（2）粒子性：（光电效应等）（1）波动性：光的干涉和衍射

光子

§16.2

光的波粒二象性描述光的粒子性

描述光的波动性23

1920年，美国物理学家康普顿在观察X

射线被物质散射时，发现散射线中含有波长发生了变化的成分——散射束中除了有与入射束波长0相同的射线，还有波长>0的射线.§16.3

康普顿散射241.实验结果（相对强度）（波长）1波长的偏移()与散射角有关.2

与散射物体无关.§16.3

康普顿散射252经典理论的困难

按经典电磁理论，带电粒子受到入射电磁波的作用而发生受迫振动，从而向各个方向辐射电磁波，散射束的频率应与入射束频率相同，带电粒子仅起能量传递的作用.可见，经典理论无法解释波长变长的散射线.§16.3

康普顿散射26

物理模型

入射光子（X

射线或射线）能量大.3量子解释范围为：光子电子电子光子§16.3

康普顿散射27

电子反冲速度很大，用相对论力学处理.

电子热运动能量，可近似为静止电子.

固体表面电子束缚较弱，视为近自由电子.光子电子电子光子§16.3

康普顿散射28(1)入射光子与散射物质中束缚微弱的电子弹性碰撞时，一部分能量传给电子，散射光子能量减少，频率下降、波长变大.4定性分析(2)光子与原子中束缚很紧的电子发生碰撞，近似与整个原子发生弹性碰撞时，能量不会显著减小，所以散射束中出现与入射光波长相同的射线.§16.3

康普顿散射295定量计算动量守恒能量守恒§16.3

康普顿散射30§16.3

康普顿散射31

康普顿波长

康普顿公式§16.3

康普顿散射32

散射光波长的改变量仅与有关.

散射光子能量减小4结论§16.3

康普顿散射335讨论

若则，可见光观察不到康普顿效应.光具有波粒二象性

一般而言，光在传递过程中，波动性较为显著；光与物质相互作用时，粒子性比较显著.§16.3

康普顿散射

光子假设的正确性，狭义相对论力学正确

微观粒子的相互作用也遵守能量守恒和动量守恒定律.1900年12月14日，普朗克宣读了黑体辐射论文，宣告了quantum的诞生，那一年他42岁。同年，一个名叫AlbertEinstein的青年从ETH毕业，没找到工作……；在丹麦，15岁的尼尔斯波尔正在读中学。

在奥地利维也纳的一所高级中学，13岁的ErwinSchrodinger正在读中学（跟Boltzmann校友）。

LouisdeBroglie当时8岁，法国贵族。

WolfgangPauli出生8个月，再过一年，维尔兹堡一个名叫WernerHeisenberg的希腊小孩诞生，同年，意大利罗马诞生了EnricoFermi……35氢原子光谱的实验规律记录氢原子光谱的实验原理图氢放电管2~3kV光阑全息板三棱镜（或光栅）光源（摄谱仪）36原子光谱—光谱学的发展6562.8Å4340.5Å4861.3Å氢原子的可见光光谱1853年瑞典人A.J.Angstrom。‥首次测得氢可见光的红线A的由来。§16.4

玻尔原子结构理论37氢原子光谱的实验规律

1885年瑞士数学家巴耳末发现氢原子光谱可见光部分的规律:1近代氢原子观的回顾§16.4

玻尔原子结构理论氢原子光谱的巴耳末系656.3nm486.1nm434.1nm410.2nm364.6nm38

1890年瑞典物理学家里德伯给出氢原子光谱公式波数里德伯常数

§16.4

玻尔原子结构理论莱曼系紫外巴耳末系可见光392卢瑟福的原子有核模型

1897年，J.J.汤姆孙发现电子.

1903年，汤姆孙提出原子的“葡萄干蛋糕模型”.

原子中的正电荷和原子的质量均匀地分布在半径为的球体范围内，电子浸于其中.§16.4

玻尔原子结构理论卢瑟福(E.Rufherford，1871—1937)403氢原子的玻尔理论

根据经典电磁理论，电子绕核作匀速圆周运动，作加速运动的电子将不断向外辐射电磁波.

§16.4

玻尔原子结构理论

原子不断向外辐射能量，能量逐渐减小，电子旋转的频率也逐渐改变，发射光谱应是连续谱；

由于原子总能量减小，电子将逐渐的接近原子核而后相遇，原子不稳定.41

1913年玻尔在卢瑟福的原子结构模型的基础上，将量子化概念应用于原子系统，提出三条假设：(2)频率条件(1)定态假设(3)量子化条件3氢原子的玻尔理论§16.4

玻尔原子结构理论玻尔(Bohr.Niels1885—1962)42电子在原子中可以在一些特定的圆轨道上运动而不辐射电磁波，这时，原子处于稳定状态，简称定态.(1)定态假设与定态相应的能量分别为E1，E2…，

E1<E2<E3

+E1E3

3氢原子的玻尔理论§16.4

玻尔原子结构理论43(2)频率条件(3)量子化条件EfEi发射吸收主量子数3氢原子的玻尔理论§16.4

玻尔原子结构理论444氢原子轨道半径和能量的计算(1)轨道半径量子化条件：经典力学：+

rn§16.4

玻尔原子结构理论45,

玻尔半径(2)能量第

轨道电子总能量：§16.4

玻尔原子结构理论46(电离能)基态能量激发态能量§16.4

玻尔原子结构理论47氢原子能级跃迁与光谱图莱曼系巴耳末系布拉开系帕邢系-13.6eV-3.40eV-1.51eV-0.85eV-0.54eV0n=1n=2n=3n=4n=5n=§16.4

玻尔原子结构理论485玻尔理论对氢原子光谱的解释(里德伯常数)§16.4

玻尔原子结构理论49(1)正确地指出原子能级的存在(原子能量量子化).6氢原子玻尔理论的意义和困难1意义(3)正确地解释了氢原子及类氢离子光谱规律.(2)正确地指出定态和角动量量子化的概念.§16.4

玻尔原子结构理论(3)对谱线的强度、宽度、偏振等一系列问题无法处理.(4)半经典半量子理论,既把微观粒子看成是遵守经典力学的质点，同时，又赋予它们量子化的特征.2缺陷(1)无法解释比氢原子更复杂的原子.(2)微观粒子的运动视为有确定的轨道.50光学理论发展历史表明，曾有很长一段时间，人们徘徊于光的粒子性和波动性之间，实际上这两种解释并不是对立的，量子理论的发展证明了这一点.20世纪初发展起来的光量子理论，似过于强调粒子性，德布罗意企盼把粒子观点和波动观点统一起来，给予“量子”以真正的涵义.§16.5

德布罗意假设(1924年)51

思想方法自然界在许多方面都是明显地对称的，德布罗意采用类比的方法提出物质波的假设.

德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性粒子性波动性§16.5

德布罗意假设(1924年)德布罗意，法国物理学家,1924年他在博士论文《关于量子理论的研究》中提出把粒子性和波动性统一起来.5年后为此获得诺贝尔物理学奖.52

德布罗意公式这种波称为德布罗意波或物质波注意若则(1)若则§16.5

德布罗意假设(1924年)

(2)宏观物体的德布罗意波长小到实验难以测量的程度，因此宏观物体仅表现出粒子性.53例1一束电子中，电子的动能，求此电子的德布罗意波长.解54

例2从德布罗意波导出氢原子玻尔理论中角动量量子化条件.解两端固定的弦，若其长度等于波长则可形成稳定的驻波.将弦弯曲成圆时电子绕核运动其德布罗意波长为角动量量子化条件552德布罗意波的实验证明

戴维孙-革末电子衍射实验（1927年）355475当散射角时电流与加速电压曲线检测器电子束散射线电子被镍晶体衍射实验MK电子枪§16.5

德布罗意假设(1924年)56电子束在单晶晶体上反射的实验结果符合X射线衍射中的布拉格公式.相邻晶面电子束反射射线干涉加强条件:........................§16.5

德布罗意假设(1924年)57镍晶体电子波的波长§16.5

德布罗意假设(1924年)当时，与实验结果相近.58电子束透过多晶铝箔的衍射K2G.P.

汤姆孙电子衍射实验(1927年)电子束穿越多晶薄片时出现类似X射线在多晶上衍射的图样.§16.5

德布罗意假设(1924年)59经典粒子不被分割的整体，有确定位置和运动轨道.

经典的波某种实际的物理量的空间分布作周期性的变化，波具有相干叠加性.

二象性要求将波和粒子两种对立的属性统一到同一物体上.3德布罗意波的统计解释§16.5

德布罗意假设(1924年)60

单个粒子在何处出现具有偶然性；大量粒子在某处出现的多少具有规律性.粒子在各处出现的概率不同.从粒子性方面解释电子束狭缝电子的单缝衍射§16.5

德布罗意假设(1924年)61

电子密集处，波的强度大；电子稀疏处，波的强度小.从波动性方面解释电子束狭缝电子的单缝衍射§16.5

德布罗意假设(1924年)62海森堡(W.K.Heisenberg，1901—1976）

1927年提出“不确定关系”，为核物理学和（基本）粒子物理学准备了理论基础；于1932年获得诺贝尔物理学奖.

德国理论物理学家.建立了新力学理论的数学方案，为量子力学的创立作出了贡献.63

一级最小衍射角

电子经过缝时的位置不确定

用电子衍射说明不确定关系电子的单缝衍射实验§16.6海森堡坐标和动量的不确定关系64

电子经过缝后x方向动量不确定电子的单缝衍射实验§16.6海森堡坐标和动量的不确定关系65

海森堡于1927年提出不确定原理对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的动量来描述.不确定关系考虑衍射次级有§16.6海森堡坐标和动量的不确定关系66

(2)不确定的根源是“波粒二象性”这是微观粒子的根本属性.(3)对宏观粒子，因很小，可视为位置和动量能同时准确测量.(1)微观粒子同一方向上的坐标与动量不可同时准确测量，它们的精度存在一个终极的不可逾越的限制.物理意义§16.6海森堡坐标和动量的不确定关系67能量—时间不确定关系反映了原子能级宽度△E

和原子在该能级的平均寿命△t

之间的关系。基态辐射光谱线固有宽度激发态E基态寿命△t光辐射能级宽度平均寿命

Δt~10-8s平均寿命Δt

∞能级宽度ΔE0hED+nhED-nΔ2EE+Δ2EE-§16.6海森堡坐标和动量的不确定关系68解子弹的动量动量的不确定范围其动量的不确定范围为动量的

(这在宏观范围是十分精确的)，该子弹位置的不确定量范围为多大？例3质量10g的子弹，速率.69位置的不确定范围例2一电子具有的速率，动量的不确范围为动量的0.01%(这也是足够精确的了)，则该电子的位置不确定范围有多大？70解电子的动量动量的不确定范围位置的不确定范围71德布罗意的物质波理论告诉我们,微观粒子具有波粒二象性，其位置与动量不能同时确定.所以已无法用经典物理方法去描述其运动状态.用波函数来描述微观粒子的运动.1波函数§16.7波函数及其统计解释*量子力学基本假设微观粒子受外场作用，不再是自由粒子，仍具有波粒二象性，其状态仍用波函数(x,t)描写，具体形式由外场、边界条件等确定。72(1)经典的波与波函数

电磁波

机械波

经典波为实函数§16.7波函数及其统计解释73(2)量子力学波函数(复函数)描述微观粒子运动的波函数微观粒子的波粒二象性自由粒子的能量和动量是确定的，其德布罗意频率和波长不变，可认为是一平面单色波.波列无限长，根据不确定原理，粒子在x方向上的位置完全不确定.§16.7波函数及其统计解释74

自由粒子平面波函数2波函数的统计意义概率密度表示在某处单位体积内粒子出现的概率正实数波函数是复数不代表任何可观测的物理量§16.7波函数及其统计解释

某一时刻出现在某点附近在体积元中的粒子的概率为

可见，德布罗意波(或物质波)与机械波、电磁波不同，是一种概率波.75标准条件波函数必须是单值、连续、有限的函数.归一化条件(束缚态)

某一时刻整个空间内发现粒子的概率为§16.7波函数及其统计解释76如何对波粒二象性正确理解？1949年，前苏联物理学家费格尔曼做了一个非常精确的弱电子流衍射实验。电子几乎是一个一个地通过双缝，底片上出现一个一个的点子。（显示出电子具有粒子性）开始时底片上的点子“无规”分布，随着电子增多，逐渐形成双缝衍射图样。§16.7波函数及其统计解释77对衍射图样进行分析因为个别粒子在何处出现是偶然的，对大量粒子来说，某时刻在何位置出现是必然的，所以说大量粒子在空间的分布服从统计规律。71003000200007000078从图样看，衍射极大处，波的强度大，即每个粒子到该处的概率大，因而投射该处的电子数多。衍射极小处，波的强度小或等于0，粒子投射到该处的电子数少或没有。可见衍射图样是由于到达屏上各处的概率不同而形成的。730007000079从波动的观点看：波的强度正比于波的振幅的平方所以电子在任意时刻在空间某处出现的概率与电子波在该处的振幅平方成正比。从粒子的观点看：强度大处电子到达该处的概率大概率是实数，又是正数，所以取波函数的绝对值平方与之联系。7300070000801926年波恩对波函数提出了统计解释任意时刻粒子在空间某点出现的概率与在该处粒子波函数模的平方成正比。1954.NobelPrize§16.7波函数及其统计解释81例：自由粒子平面波的波函数表示粒子的概率密度，即在t时刻,在点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率。在t时刻，在点x附近单位体积内发现粒子的概率-概率密度ω自由粒子在各处出现的几率相等§16.7波函数及其统计解释82讨论德布罗意波既不是机械波也不是电磁波，而是概率波，它不像机械波或电磁波那样是实在的物理量随时间在空间的传播。微观粒子的波动性乃是大量粒子在同一实验中按统计分布的结果，或单独一个粒子在多次相同的实验中按统计分布的结果。决不是两列波或多列波简单的在空间传播的叠加，并无实在物理量的波动。微观粒子的粒子性是指其整体性，是一个个电子打在屏上，不是半个或1/3个，它们具有m,e,E,p等属性，与“轨道”的概念无必然的联系§16.7波函数及其统计解释83如果波函数的具体形式已知，便知在体积元dv中的概率及概率密度||2，即粒子在t时刻的空间概率分布完全确定。例：双缝实验，单开缝1时粒子的概率幅|1|2,单开缝2时粒子的概率幅|2|2，两缝同时打开，入射粒子的去向有两种可能，作为一种波动，它们可以任意通过其中的一条缝。波函数概率分布干涉项84德布罗意的电子波动性假定传到苏黎世后，德拜(P.Debye)评论说，一个没有波动方程的波动理论太肤浅了！当时年轻的薛定谔在场。一周后聚会时薛定谔说，我找到了一个波动方程！这就是后来在量子力学中以他的名字命名的基本动力学方程。薛定谔方程描述非相对论微观粒子在势场中的状态随时间的演化，反映了微观粒子的基本运动规律，是量子力学的一个基本假定。851自由粒子薛定谔方程的建立自由粒子平面波函数取x

的二阶偏导数和t的一阶偏导数§16.8薛定谔方程ErwinSchrodinger86取x

的二阶偏导数和t的一阶偏导数得自由粒子

一维运动自由粒子的含时薛定谔方程§16.8薛定谔方程87

一维运动粒子的含时薛定谔方程

2

粒子在势能为的势场中运动*

粒子在恒定势场中的运动与时间无关§16.8薛定谔方程88

在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程§16.8薛定谔方程89三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程拉普拉斯算子定态波函数§16.8薛定谔方程90例如，氢原子的定态薛定谔方程(1)能量E

不随时间变化.(2)概率密度不随时间变化.定态波函数性质§16.8薛定谔方程91(2)和连续(3)

为有限的、单值函数

波函数的标准条件：单值、有限和连续(1)可归一化§16.8薛定谔方程92粒子势能满足边界条件

(1)是固体物理金属中自由电子的简化模型；(2)数学运算简单，量子力学的基本概念、原理在其中以简洁的形式表示出来.§16.9一维势阱问题93§16.9一维势阱问题94标准条件：单值、有限和连续.§16.9一维势阱问题95量子数§16.9一维势阱问题96

归一化条件§16.9一维势阱问题97得

波动方程§16.9一维势阱问题98

概率密度

能量

波函数§16.9一维势阱问题991

粒子能量量子化讨论：基态能量

能量激发态能量

一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的.§16.9一维势阱问题1002粒子在势阱中各处出现的概率密度不同概率密度波函数

例如，当n=1时，粒子在

x=a/2处出现的概率最大§16.9一维势阱问题1013波函数为驻波形式，阱壁处为波节，波腹的个数与量子数

n

相等16E19E14E1E1§16.9一维势阱问题1021.氢原子中电子的势能函数定态薛定谔方程为§16.10氢原子的薛定谔方程103转化为球坐标分离变量法求解,设§16.10氢原子的薛定谔方程104得§16.10氢原子的薛定谔方程1052.

量子化条件和量子数n=1,2,3,...为主量子数求解上述方程时可得以下一些量子数及量子化特性(1)能量量子化和主量子数§16.10氢原子的薛定谔方程106(2)角动量量子化和角量子数电子绕核运动时的角动量为：

为角量子数例如，n=2时，=0，1相应的§16.10氢原子的薛定谔方程107当氢原子置于外磁场中，角动量L在空间取向只能取一些特定的方向，L在外磁场方向的投影必须满足量子化条件(3)角动量空间量子化和磁量子数磁量子数§16.10氢原子的薛定谔方程108Lz磁量子数

ml=0,1,

相应的例如，时，zoħħ§16.10氢原子的薛定谔方程109

基态径向波函数和电子分布概率1氢原子的基态能量处于基态时

n=1l=0径向波函数方程解为§16.10氢原子的薛定谔方程110其中将解代入方程得§16.10氢原子的薛定谔方程1112

基态径向波函数电子出现在体积元dV的概率为：令沿径矢的概率密度为p

,则电子出现在距核r

r+dr

的概率为§16.10氢原子的薛定谔方程112由归一化条件得基态径向波函数为§16.10氢原子的薛定谔方程113p(r)or3电子的分布概率r1r1电子云§16.10氢原子的薛定谔方程114由于电子带电，电子绕原子核作轨道运动，就相当于一个闭合载流线圈一样。其磁矩为=is

i……电流强度

s……载流线圈面积所以有-e§16.11电子的“轨道角动量”与轨道磁矩115

由于电子带负电，角动量与磁矩的矢量关系为若角动量是空间量子化的，那么磁矩也是空间量子化的，它们在空间

z

方向的投影也是量子化的，应有一系列实验说明，这个结论是正确的。也应有种。(ml----磁量子数)§16.11电子的“轨道角动量”与轨道磁矩116加了磁场不加磁场Fzz原子射线●§16.11电子的“轨道角动量”与轨道磁矩117斯特恩正在观测银原子束通过非均匀的磁场时，分裂成了两束§16.11电子的“轨道角动量”与轨道磁矩118斯特恩—盖拉赫实验的意义

原子沉积层不是连续一片，而是分开的线，(2)提出了新的矛盾l=0，应有一条沉积线。(3)提供了原子的“态分离”技术，至今仍适用。(1)证明了空间量子化的存在实验结果却有两条沉积线