工程力学电子课件-第九章

第二篇材料力学第九章应力状态与强度理论任波机械工程系

§9-1基本概念§9-2任意方向面上的应力分析§9-3应力状态中的主应力与最大切应力§9-4强度条件

前面几章的分析结果表明，除了轴向拉伸与压缩外，杆件横截面上不同点的应力是不相同的。本章还将证明，过同一点的不同方向面上的应力，一般情形下也是不相同的。

本章将首先介绍应力状态的基本概念,描述一点应力状态的基本方法，分析过一点任意方向面上的应力以及这些应力的极大值和极小值。

所谓应力状态（stress-state），是指过一点不同方向面上应力的总称。什么是应力状态？描述一点应力状态的方法为什么要研究应力状态§9-1基本概念横截面上的正应力分布FNxFQ

横截面上正应力分析和剪应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。横截面上的剪应力分布FPFP受力之前,表面的正方形受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。受力之前,表面斜置的正方形

受力之前,在其表面画一斜置的正方形；受拉后，正方形变成了菱形。这表明：拉杆的斜截面上存在剪应力。FPFP

受扭之前，圆轴表面的圆

这表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。MxMx

受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴方向缩短。拉中有剪根据微元的局部平衡剪中有拉根据微元的局部平衡MxMx微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。

不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。应力指明哪一个面上？

哪一点？

哪一点？

哪个方向面？

应力状态的概念——过同一点不同方向面上应力的集合，称为这一点的应力状态。

微元及其各面上一点应力状态的描述

dxdydz微元（Element）描述一点应力状态的基本方法(Three-Dimensional

State

of

Stresses)三向（空间）应力状态yxz

(

Plane

State

of

Stresses)平面（二向）应力状态xyxyxy单向应力状态(OneDimensionalStateofStresses)纯剪应力状态

(ShearingStateofStresses)三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例特例拉为正压为负正应力

方向角与应力分量的正负号约定§9-2平面应力状态中任意方向面上的应力分析

使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。剪应力yxq方向角θ

由x正向反时针转到x'正向者为正；反之为负。平衡对象平衡方程tyx

参加平衡的量dAqx´y´——用

斜截面截取的微元局部——应力乘以其作用的面积

微元的局部平衡xstyxx´dAqxstyxｙdAqxs

利用三角倍角公式，根据上述平衡方程式，可以得到计算平面应力状态中任意方向面上正应力与剪应力的表达式：

平面应力状态中任意方向面上的正应力与剪应力例题1

分析轴向拉伸杆件的最大剪应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。

杆件承受轴向拉伸时，其上任意一点均为单向应力状态。

根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式在本例的情形下，y＝0，yx＝0。

根据这一结果，当θ＝45º时，斜截面上既有正应力又有剪应力，其值分别为

不难看出，在所有的方向面中，45º斜截面上的正应力不是最大值，而剪应力却是最大值。

这表明，轴向拉伸时最大剪应力发生在与轴线夹45º角的斜面上，这正是低碳钢试样拉伸至屈服时表面出现滑移线的方向。因此，可以认为屈服是由最大剪应力引起的。

例题2

分析圆轴扭转时最大剪应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。

圆轴扭转时，其上任意一点的应力状态为纯剪应力状态。

根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式在本例的情形下，x＝y＝0。

可以看出，当θ＝45º或θ＝－45º时，斜截面上只有正应力没有剪应力。θ＝45º时(自x轴逆时针方向转过45º)，拉应力最大；θ＝－45º时(自x轴顺时针方向转过45º)，压应力最大：

进行铸铁圆试样扭转实验时，正是沿着最大拉应力作用面（即－45º螺旋面）断开的。因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。

主平面、主应力与主方向

剪应力xy＝0的方向面，称为主平面，其方向角用p表示。

由此解出的角度角度与P具有完全一致的形式。这表明，主应力具有极值的性质，即当坐标系绕z轴(垂直于xy坐标面)旋转时，主应力为所有坐标系中正应力的极值。

根据剪应力成对定理，当一对方向面为主平面时，另一对与之垂直的方向面(＝P＋π/2)，其上之剪应力也等于零，因而也是主平面，其上之正应力也是主应力。x-y坐标系x´-y´坐标系xp-yp坐标系

因此，同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式。用主应力表达的形式最简单也是最本质的。由此得出另一特征角，用s表示对求一次导数，并令其等于零，得到

与正应力相类似，不同方向面上的剪应力亦随着坐标的旋转而变化，因而剪应力亦可能存在极值．为求此极值，将

面内最大剪应力

得到xy

的极值

需要特别指出的是，上述剪应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大剪应力（maximumshearingstressesinplane）与面内最小剪应力。二者不一定是过一点的所有方向面中剪应力的最大和最小值。

为确定过一点的所有方向面上的最大剪应力，可以将平面应力状态视为有三个主应力（σ1、σ2、σ3）作用的应力状态的特殊情形，即三个主应力中有一个等于零。

考察微元三对面上分别作用着三个主应力（σ1>σ2>σ3

0）的应力状态。

过一点所有方向面中的最大剪应力

考察微元三对面上分别作用着三个主应力（σ1>σ2>σ30）的应力状态。

过一点所有方向面中的最大剪应力σx=σ3,σy=σ2，τxy＝0这就是Ⅰ组方向面内的最大剪应力。

在平行于主应力σ1方向的任意方向面Ⅰ上，正应力和剪应力都与σ1无关。因此，当研究平行于σ1的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：

在平行于主应力σ2方向的任意方向面Ⅱ上，正应力和剪应力都与σ2无关。因此，当研究平行于σ2的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：σx=σ1,σy=σ3，τxy＝0。

这就是Ⅱ组方向面内的最大剪应力。σx=σ1,σy=σ2，τxy＝0。

在平行于主应力σ3方向的任意方向面Ⅲ上，正应力和剪应力都与σ3无关。因此，当研究平行于σ3的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：这就是Ⅲ组方向面内的最大剪应力。

一点应力状态中的最大剪应力，必然是上述三者中最大的，即过一点所有方向面中的最大剪应力

例题9-3解：1．取微元，确定微元各个面上的应力已知承受扭转和拉伸同时作用的杆件上的危险点的应力状态如图所示。图中σ=63.7MPa,τ=76.4MPa。试求：（1）图示30o的斜截面上的应力；（2）该点处的主应力和最大切应力。2.求斜截面上的应力

在本例中有：

σx＝63.7MPa，σy＝0，

τxy＝一76.4MPa，θ＝120º。

3．确定主应力与最大剪应力

根据主应力代数值大小顺序排列，D点的三个主应力为D点的最大剪应力为

§9-4一般应力状态下的强度条件

单向应力状态和纯剪应力状态下的极限应力值，是直接由实验确定的。但是，复杂应力状态下则不能。

大量的关于材料失效的实验结果以及工程构件强度失效的实例表明，复杂应力状态虽然各式各样，但是材料在各种复杂应力状态下的强度失效的形式却是共同的，而且是有限的。

大量实验结果表明，无论应力状态多么复杂，材料在常温、静载作用下主要发生两种形式的强度失效：一种是屈服；另一种是断裂。四种常用强度理论材料在（准）静载荷作用下的失效形式：（a)断裂(拉应力过大）（b)屈服(切应力过大）强度理论：关于材料失效规律的假说和判据。强度理论：脆性断裂塑性屈服最大拉应力理论最大拉应变理论最大剪应力理论形状改变比能理论第一强度理论(最大拉应力理论)认为:最大拉应力是引起断裂破坏的主要因素。即认为：无论单元体处于什么应力状态，只要单元体的最大拉应力1达到材料在单向拉伸时的极限拉应力值b，材料就发生断裂。最大拉应力理论(第一强度理论)第二强度理论(最大拉应变理论)认为:最大拉应变是引起断裂破坏的主要因素。最大拉应变理论(第二强度理论)即认为：无论单元体处于什么应力状态，只要单元体的最大拉应变1达到材料在单向拉伸时的极限拉应变b，材料就发生断裂。

关于屈服的强度理论主要有第三强度理论和第四强度理论。第四强度理论(畸变能密度准则)

第三强度理论(最大剪应力准则)关于屈服的强度理论第三强度理论(最大剪应力理论)认为:最大剪应力是引起塑性