高中数学高考56第九章 平面解析几何 9 3　圆的方程

§9.3圆的方程第九章

平面解析几何NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE圆的定义与方程知识梳理ZHISHISHULI定义平面内到_____的距离等于_____的点的轨迹叫做圆方程标准式(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心为______半径为__一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：____________圆心坐标：___________半径r＝_______________(a，b)rD2＋E2－4F>0定点定长1.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？【概念方法微思考】2.已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“⊙C与y轴相切于原点”的什么条件？3.如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示

确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组.(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程.4.点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示

点和圆的位置关系有三种.已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(

)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(

)(3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆.(

)(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则

＋Dx0＋Ey0＋F>0.(

)(5)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆.(

)√××基础自测JICHUZICE1234567√√题组二教材改编2.[P124A组T2]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2√1234567解析因为圆心为(1,1)且过原点，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3.[P132A组T3]以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是A.(x－3)2＋(y＋1)2＝1B.(x－3)2＋(y－1)2＝1C.(x＋3)2＋(y－1)2＝1

D.(x＋3)2＋(y＋1)2＝11234567√4.[P124A组T4]圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________.解析设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，1234567(x－2)2＋y2＝10解得a＝2，∴圆心为C(2,0)，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.题组三易错自纠5.若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是1234567√6.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是A.－1<a<1 B.0<a<1

C.a>1或a<－1 D.a＝±41234567√解析∵点(1,1)在圆内，∴(1－a)2＋(a＋1)2<4，即－1<a<1.7.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是A.(x－2)2＋(y－1)2＝1B.(x－2)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1D.(x－3)2＋(y－1)2＝1解析由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a>0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，1234567√∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.故选A.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一圆的方程例1

(1)已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为师生共研√解析方法一

(待定系数法)根据题意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a>0)，半径为r，则圆E的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0).方法二(待定系数法)设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，方法三

(几何法)因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，又圆E的圆心在x轴的正半轴上，(2)(2018·安徽“江南十校”联考)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为

，则圆C的方程为__________________.(x－1)2＋(y＋1)2＝2解析方法一所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，∴设所求圆的圆心为(a，－a).又∵所求圆与直线x－y＝0相切，解得a＝1，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.方法二设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.方法三设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵圆心在直线x＋y＝0上，又∵圆C与直线x－y＝0相切，即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.

②∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，

③故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.思维升华跟踪训练1

一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为

，则该圆的方程为________________________________________.x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0解析方法一

∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.方法二

设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由于所求圆与y轴相切，∴r2＝a2，

②又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0，

③故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.由于所求圆与y轴相切，∴Δ＝0，则E2＝4F.

①即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F).

②∴D－3E＝0.

③故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.题型二与圆有关的轨迹问题例2

已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；师生共研解

方法一设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.②定义法：根据圆、直线等定义列方程.③几何法：利用圆的几何性质列方程.④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.思维升华跟踪训练2

设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.解如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，因为平行四边形的对角线互相平分，又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，题型三与圆有关的最值问题例3

已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值.师生共研解设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，1.在本例的条件下，求

的最大值和最小值.设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，引申探究与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u＝

型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.思维升华跟踪训练3

已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)的最大值和最小值；解原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值和最小值，(2)y－x的最大值和最小值；解y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，(3)x2＋y2的最大值和最小值.解如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.3课时作业PARTTHREE1.若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为A.0B.1C.2D.312345678910111213141516解析方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件为a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，√基础保分练∴仅当a＝0时，方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，故选B.2.已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是A.(x－1)2＋(y＋2)2＝5B.(x－1)2＋(y＋2)2＝25C.(x＋1)2＋(y－2)2＝5D.(x＋1)2＋(y－2)2＝25√12345678910111213141516解析圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝4，圆心C(1，－2)，故排除C，D，代入(－2,2)点，只有B项经过此点.也可以设出要求的圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝r2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.故选B.3.已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为A.(x＋3)2＋(y－1)2＝1B.(x－3)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋3)2＋(y＋1)2＝1

D.(x－3)2＋(y－1)2＝1√12345678910111213141516解析到直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，所以所求圆的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.故选C.4.圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是A.x2＋y2＋10y＝0 B.x2＋y2－10y＝0C.x2＋y2＋10x＝0 D.x2＋y2－10x＝012345678910111213141516√解析根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.√123456789101112131415166.如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为

的点，则实数a的取值范围是A.(－3，－1)∪(1,3) B.(－3,3)C.[－1,1] D.[－3，－1]∪[1,3]12345678910111213141516√∴1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.∴实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3].故选D.7.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是__________，半径是___.12345678910111213141516解析由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆.(－2，－4)58.当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝____.当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，123456789101112131415169.若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是___________________.解析因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m).1234567891011121314151610.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是__________________.解析设圆上任一点坐标为(x0，y0)，12345678910111213141516(x－2)2＋(y＋1)2＝111.已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，(1)求

的最大值和最小值；12345678910111213141516解方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可变形为(x－3)2＋(y－3)2＝4，则圆C的半径为2.(转化为斜率的最值问题求解)设切线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于圆C的半径，12345678910111213141516(2)求x＋y的最大值和最小值.解(转化为截距的最值问题求解)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，显然当动直线y＝－x＋b与圆C相切时，b取得最大值或最小值，如图所示.由圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆C的半径，1234567891011121314151612.已知点A(－3,0)，B(3,0)