离散型随机变量方差与课件苏教版选修

2.5.2离散型随机变量的方差与标准差课件（苏教版选修2-3）课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案学习目标

2.5.21.理解离散型随机变量的方差的概念、意义及计算方法．2．能用方差(标准差)来分析解决实际问题．学习目标课前自主学案温故夯基1．若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnE(X)＝_______________________________，它反映了离散型随机变量取值的_______水平．2．若X～B(n，p)，则E(X)＝______.x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均np知新益能1．离散型随机变量的方差和标准差(1)离散型随机变量的方差①定义：设离散型随机变量X的均值为μ，其概率分布为Xx1x2…xnPp1p2…pn(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pnσ2平均偏离算术平方根p(1－p)np(1－p)问题探究1．随机变量的方差和样本的方差都是变量吗？提示：样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个随机变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，因此它是一个常数(量)而非变量．2．方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系？提示：方差的单位是随机变量单位的平方；标准差与随机变量本身有相同的单位．课堂互动讲练考点一求离散型随机变量的方差考点突破根据离散型随机变量的分布列、期望、方差公式求解．例1【思路点拨】本题考查方差的求法．可由分布列先求出X的期望E(X)，再利用方差定义求之．也可直接利用公式V(X)＝E(X2)－(E(X))2来解．变式训练1已知随机变量X的概率分布表为：求V(X)．解：法一：E(X)＝0.1×0＋0.15×1＋0.25×2＋0.25×3＋0.15×4＋0.1×5＝2.5，V(X)＝(0－2.5)2×0.1＋(1－2.5)2×0.15＋(2－2.5)2×0.25＋(3－2.5)2×0.25＋(4－2.5)2×0.15＋(5－2.5)2×0.1＝0.625＋0.3375＋0.0625＋0.0625＋0.3375＋0.625＝2.05.X012345P0.10.150.250.250.150.1考点二两点分布与二项分布的方差、标准差确定是两点分布或二项分布后，直接用公式求解即可．例2

一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分．学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个．求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望和方差．【思路点拨】设学生甲和乙在这次英语测验中正确解答的选择题个数分别是ξ，η，则ξ～B(20,0.9)，η～B(20，0.25)．利用二项分布的期望公式E(X)＝np，方差公式V(X)＝npq直接计算．【解】设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择个数分别是ξ，η，则ξ

～B(20,0.9)，η

～B(20.0,25)，∴E(ξ)＝20×0.9＝18，E(η)＝20×0.25＝5.V(ξ)＝np甲q甲＝20×0.9×0.1＝1.8，V(η)＝np乙q乙＝20×0.25×0.75＝5×0.75＝3.75.由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η.所以，他们在测验中的成绩的期望和方差分别是E(5ξ)＝5E(ξ)＝5×18＝90，E(5η)＝5E(η)＝5×5＝25.V(5ξ)＝25V(ξ)＝25×1.8＝45，V(5η)＝25V(η)＝25×3.75＝93.75.【名师点评】随机变量的期望与方差具有下列运算性质：E(aX＋b)V(aX＋b)a＝0b0a＝1E(X)＋bV(X)a≠1aE(X)＋ba2V(X)变式训练2某人投弹命中目标的概率为p＝0.8.(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；(2)求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差．解：(1)X的分布列为：E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8.V(X)＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16.(2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(10,0.8)，∴E(Y)＝np＝10×0.8＝8，V(Y)＝10×0.8×0.2＝1.6.X01P0.20.8考点三期望、方差、分布列的综合应用数学期望反映随机变量取值的平均水平，方差则反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．例3

(本题满分14分)在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数ξ的期望和方差．ξ12345P0.20.20.20.20.28分由定义知：E(ξ)＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，V(ξ)＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.14分【名师点评】求离散型随机变量X的均值与方差的基本步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)由均值的定义求E(X)；(5)由方差的定义求V(X)．变式训练3有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下：X110120125130135P0.10.20.40.10.2Y100115125130145P0.10.20.40.10.2其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，试比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好？解：E(X)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(Y)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，V(X)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，V(Y)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由于E(X)＝E(Y)，而V(X)<V(Y)，故甲厂的材料稳定性较好．方法感悟1．求随机变量ξ的均值、方差的一般步骤(1)写出ξ的分布列．在求ξ取每一个值的概率时，要联系概率的有关知识如分布列，在求ξ取每一个值的概率时，要联系概率的有关知识如古典概型、互斥事件的概率、独立事件的概率等．(2)由分布列求E(ξ)，进而求出V(ξ)．(3)如