函数奇偶性、单调性和周期性问题（2）导学案- 高三数学一轮复习函数专题8

函数专题——函数奇偶性、单调性和周期性问题（2）题型五：奇偶性与周期性综合问题例题1．已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则（）A． B． C． D．例题2．已知是定义在上的函数，满足，当时，，则函数的最小值为（）A． B． C． D．变式训练1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f（x＋1）＝f（1－x），f(1)＝5，则f（2020）＋f（2021）＋f（2022）＝（）A．5 B．10 C．－5 D．－10变式训练2．已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（）A．0 B．2 C．3 D．变式训练3．已知奇函数的定义域为，且．若当时，，则的值是（）A． B． C． D．题型六：单调性与奇偶性综合问题例题1．函数为定义在上的偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（）A． B． C． D．例题2．若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（）A．或 B．或C．或 D．或变式训练1．奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集是（）A． B． C． D．变式训练2．已知函数，若不等式在上有解，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．变式训练3．函数是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意，均有则实数的最大值是（）A． B． C． D．题型七：对称性与奇偶性综合问题例题1．已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且.则下列选项中说法正确的有（）A．为偶函数 B．周期为2C． D．是奇函数例题2．已知函数是定义在R上的奇函数，对任意实数x，恒有成立，且，则下列说法正确的是()①是函数的一个对称中心②函数的一个周期是4③④A．②③④ B．①③④ C．②③ D．②④变式训练1．已知函数，且为上的奇函数，，则等于（）A． B． C． D．变式训练2．已知函数，，有下列4个命题：①若，则的图像关于直线对称；②与的图像关于直线对称；③若为偶函数，且，则的图像关于直线对称；④若为奇函数，且，则的图像关于直线对称；其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4变式训练3．已知函数则（）A．存在最小值B．在上是增函数，在上是减函数C．的图象关于点（1，0）对称D．的图象关于直线对称题型八：对称性、周期性与奇偶性的综合问题例题1．已知定义在上的函数满足，①，②为奇函数，③当时，恒成立.则、、的大小关系正确的是（）A． B．C． D．例题2．已知是定义域为R的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是（）①的最小正周期为4②的图像关于直线对称③当时，函数的最大值为2④当时，函数的最小值为A．①②③ B．①② C．①②④ D．①②③④变式训练1．设函数f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)=ax+b，若f(3）=1，则f()=（）A． B． C． D．变式训练2．已知定义域为的函数满足：①图象关于原点对称；②；③当时，．若，则（）A． B． C． D．变式训练3．已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且函数在上单调递增，则（）A． B．C． D．函数专题——函数奇偶性、单调性和周期性问题（2）课后巩固练习1．已知定义在上的奇函数满足对于任意的都有．若，则（）A． B． C． D．不能确定2．已知定义在上的非常数函数满足为奇函数，为偶函数，则下列说法中不正确的是（）A． B．函数为奇函数C． D．3．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，，则不等式的解集是（）A． B．C． D．4．若函数为偶函数，设，则的大小关系为（）A． B． C． D．5．已知函数(n为正整数)，有下列四种说法：①函数始终为奇函数；②当n为偶数时，函数的最小值为8；③当n为奇数时，函数的极大值为；④当时，函数的图像关于直线对称.其中所有正确说法的序号是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④6．已知函数与函数的图象交点分别为：，…，，则（）A． B． C． D．7．已知定义在R上奇函数的图象是连续不断的，满足，且在上单调递增，若，，，则（）A． B． C． D．8．已知函数是上的奇函数，且满足，当，，则下列关于函数叙述正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数在内单调递增C．函数相邻两个对称中心的距离为D．函数在区间内有个零点9．已知函数是定义域为的偶函数，，当时，，则函数与函数交点的个数为（）A．6 B．7 C．12 D．1410．已知函数是定义在的奇函数，且满足，当，，则下列关于函数叙述正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数在内单调递增C．函数相邻两个对称中心的距离为D．函数的图象在区间内的零点满足11．已知是定义在上的奇函数，且对于任意的均有．当时，，则______．【答案】12．已知函数的图像关于对称，且对，，当、，且时，恒成立，若对任意恒成立，则a的取值范围为___________.13．已知函数对任意的，都有，且当时，，则使得成立的的取值范围是________．14．已知定义在上的函数满足条件，且函数是奇函数，给出以下四个命题：①函数是周期函数；②函数的图象关于点，对称；③函数是偶函数；④函数在上是单调函数.在上述四个命题中，正确命题的序号是___________（写出所有正确命题的序号）15．已知函数是定义域为的偶函数，，都有，当时，，则________.16．定义在上的函数满足且．当时，．（1）求在上的解析式；（2）若关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围．17．设函数f(x)=ax-a-x(x∈R，a>0且a≠1).（1）若f(1)<0，求使不等式f(x2+tx)＋f(4-x)<0恒成立时实数t的取值范围；（2）若，g(x)=a2x＋a-2x-2mf(x)且g(x)在[1，+∞)上的最小值为-2，求实数m的值.18．已知，且关于x的方程有3个不同的实数解，其中（1）求的取值范围；（2）是否存在点，使得的图像关于点对称？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由；（3）若对任意的，都有，求实数的取值范围.19．已知是定义在上的函数，满足．（1）证明：2是函数的周期；（2）当，时，，求在，时的解析式，并写出在，时的解析式；（3）对于（2）中的函数，若关于的方程恰好有20个解，求实数的取值范围．20．已知函数.（1）当时，若，求的取值范围；（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的解析式；（3）对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.函数专题——函数奇偶性、单调性和周期性问题（2）解析题型五：奇偶性与周期性综合问题例题1．【答案】B【分析】根据是定义在上的偶函数，得到，同时结合条件为偶函数，可得到函数的周期，从而，代入即可求值.【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，即，又为定义在上的为偶函数，所以，所以，所以函数的周期，所以.故选：B.例题2．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得出函数的周期和奇偶性，然后只需求函数在时的最小值即可.【详解】因为，所以是周期为2的周期函数，因为，所以，所以为奇函数，所以只需考虑区间内的最小值即可.当时，，所以，且，而由于为奇函数，所以在时，，又因为为奇函数，所以，，因为的周期为2，所以，所以，所以即为在的最小值，从而也是在上的最小值.故选：B．变式训练1．【答案】A【分析】先判断出f(x)是周期为4的周期函数，把待求式子转化为f（0）＋f（1）＋f（2），利用赋值法，即可求解.【详解】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以.因为f（x＋1）＝f（1－x），所以f（x）＝f（2－x），所以f（x＋2）＝-f（x），所以f（x）＝-f（x-2），所以f（x＋2）＝f（x-2），即f（x＋4）＝f（x），所以f(x)是周期为4的周期函数.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f（x＋1）＝f（1－x），令x=1得：所以f(2)＝f(0)＝0，，所以f（2020）＋f（2021）＋f（2022）＝f（0）＋f（1）＋f（2）＝0+5+0=5.故选：A变式训练2．A．0 B．2 C．3 D．【答案】A【分析】利用已知条件推出当时，，再根据周期性和奇偶性求出和再相加即可得解.【详解】当时，－，所以即当时，，所以，，所以f(－2015)＋f(2017).故选：A变式训练3．【答案】B【分析】由奇函数定义和抽象函数关系式可推导得到为周期为的周期函数，从而得到；由和函数解析式可求得，由此求得结果.【详解】为奇函数且，，，即为周期为的周期函数，，又，.故选：B.题型六：单调性与奇偶性综合问题例题1．【答案】D【分析】由函数为偶函数，可得，利用在上单调递增，即得解【详解】由题意，函数为偶函数，故又在上单调递增故，解得或故不等式的解集为故选：D例题2．【答案】D【分析】根据奇函数的单调性的性质，结合不等式的性质分类求解即可.【详解】因为是奇函数，在上是增函数，所以在上也是增函数，因为是奇函数，所以，当时，由；当时，由故选：D变式训练1．【答案】D【分析】由函数为奇函数，可得，即和同号，所以或，再结合函数的大致图象即可求解．【详解】解：在定义域上为奇函数，，，或，由题可知的大致图象如图：∴该不等式的解集为,故选：D.变式训练2．【答案】C【分析】首先根据题意证明函数为偶函数，根据单调性得到，从而得到在上有解，再根据和的单调性即可得到答案.【详解】当时，，，.当时，，，.所以为偶函数.又因为在为减函数，在为增函数.所以.因为不等式在上有解，所以，即在上有解，又因为在为减函数，在为增函数，所以.故选：C变式训练3．【答案】A【分析】根据函数为偶函数，且在上单调递增，得到，化简解出即可.【详解】易知，函数在上单调递增，由，得，又，且函数为偶函数，，两边平方化简，则在恒成立，令，则，即，解得，综上：的最大值为．故选：．题型七：对称性与奇偶性综合问题例题1．【答案】D【分析】由于关于中心对称，又将函数向左平移1个单位后为，可知是奇函数；又是偶函数，又将函数向右平移1个单位后为，可知关于直线对称，由此即可求出函数的周期，进而可判断选项A,B是否正确；利用周期和对称性即可判断选项C，D是否正确.【详解】由于关于中心对称，又将函数向左平移1个单位后为，所以关于中心对称，即是奇函数；又是偶函数，又将函数向右平移1个单位后为，所以关于直线对称，即；所以，所以函数的周期，所以选项A､B错误；，故选项C错误；对选项D：由已知关于和直线对称，所以关于对称，又因为的周期，可得关于对称，所以是奇函数，D正确.故选：D.例题2．【答案】A【分析】根据函数的对称关系以及周期函数的定义即可判断①②是否正确；利用奇函数、周期性和轴对称的性质，并结合即可求解和，进而判断③④是否正确.【详解】由知，，所以关于对称，若关于对称，则，从而对于都成立，显然不合题意，故①错误；因为函数是定义在R上的奇函数，所以，又由，所以，从而，即，所以，故，从而函数的一个周期是4，故②正确；又因为的一个周期是4且为奇函数，从而，故③正确；因为函数是定义在R上的奇函数，故，又因为关于对称，所以，故④正确.故选：A.变式训练1．【答案】C【分析】计算可得出，利用，结合已知条件可求得结果.【详解】，该函数的定义域为，因为函数为奇函数，则，则，因为，则，所以，，因此，.故选：C.变式训练2．【答案】D【分析】对于①，由直接判断对称即可，对于②，利用函数图像平移变换和对称变换判断，对于③，由结合偶函数的性质判断，对于④，由结合奇函数的性质判断即可【详解】①若，则的图像关于直线对称；故①正确，的图像向右平移1个单位，可得的图像，将的图像关于轴对称得的图像，然后将其图像向右平移1个单位得的图像，与的图像关于直线对称②对.，为偶函数，的图像自身关于直线对称③对.为奇函数，且的图像自身关于直线对称④对；综上正确的命题是①②③④，故选：D.变式训练3．【答案】C【分析】设点是函数在的图象上任意一点，可得函数在上的图象与函数在上的图象关于点对称，根据对称性可得答案.【详解】设点是函数在的图象上任意一点，它关于点的对称点为，则，∴代入，得，∴，，∴函数在上的图象与函数在上的图象关于点对称，即的图象关于点对称，因为函数在上是增函数，所以在定义域上单调递增．故A、B、D错误；故选：C.题型八：对称性、周期性与奇偶性的综合问题例题1．【答案】C【分析】根据单调性的定义可得在上单调递增，根据已知条件可得是周期为的奇函数，根据周期性和单调性即可求解.【详解】由可得，所以的周期为，因为为奇函数，所以为奇函数，因为时，，所以在上单调递增，因为为奇函数，所以在上单调递增，所以在上单调递增，因为，，，所以，即.故选：C.例题2．【答案】A【分析】①利用求出函数的周期；②利用求出函数的对称轴；③④先求出当时，的单调性，再利用函数的周期和对称轴进行求解.【详解】对于①，，，则，即的最小正周期为4，故①正确；对于②，由知的图像关于直线对称，故②正确；对于③，当时，在上单调递减，在上单调递增根据对称性可知，函数在，上单调递减，在，上单调递增，则函数在上的最大值为，故③正确；对于④，根据周期性以及单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，则函数在上的最小值为，故④错误.故选：A变式训练1．【答案】B【分析】根据题中函数的性质，先求解出函数的周期，最后求解出函数值即可.

【详解】由题意有对称中心，有对称轴，则周期，为对称中心，即；，即，

解出，.

所以，选项B正确.

故选：B.变式训练2．【答案】B【分析】根据函数满足：①图象关于原点对称；②得到函数的周期为3求解.【详解】因为定义域为的函数满足图象关于原点对称，所以，又，所以，即，所以，所以，解得,故选：B变式训练3．【答案】A【分析】由题可知函数为奇函数，再结合条件可知函数的周期为2，然后利用函数的单调性可得.【详解】因为函数的图象关于点对称，故函数的图象关于原点对称，所以是R上的奇函数，由可得，所以的周期为2，因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，又，所以.故选：A.函数专题——函数奇偶性、单调性和周期性问题（2）课后巩固练习1．【答案】B【分析】由奇函数定义和已知抽象函数关系式可推导得到的周期为，进而得到.【详解】为定义在上的奇函数，，，是以为周期的周期函数，.故选：B.2．【答案】C【分析】根据给定条件探求函数的性质，再对各选项逐一推理判断即可作答.【详解】因定义在上的非常数函数满足为奇函数，则有，又为偶函数，则有，即，于是得，，即，函数周期为6，A正确；由得：，而，于是有，函数为奇函数，B正确；因函数周期为6，则，C不正确；因为奇函数，则，D正确.故选：C3．【答案】D【分析】根据函数的性质，结合函数的零点，解抽象不等式.【详解】因为函数是偶函数，在上是减函数，所以在上是增函数，，时，，，则或.当时，，得时；当时，，此时.故选:D.4．【答案】C【分析】根据函数奇偶性求出，再求出得出单调性，由单调性即可求解【详解】函数为偶函数，恒成立，恒成立，即，则，在单调递增，因为，，，，所以.故选：C5．【答案】B【分析】对于①，利用函数的奇偶性的定义进行判断；对于②，利用基本不等式求出最小值即可判断；对于③，当n为奇数时，作出的图像，利用图像进行判断；对于④,当时，作出函数和的图像，利用图像进行判断.【详解】的定义域为.对于①，当n=2时，，满足，则为偶函数；故①错误.对于②，当n为偶数时，，所以，当，即时取等号，所以函数的最小值为8；故②正确.对于③，当n为奇数时，作出的图像如图示：由图像可得：的极大值为；故③正确.对于④,当时，作出函数和的图像如图示：显然函数的图像不关于直线对称，故④错误.故选:B6．【答案】D【分析】先证明函数关于点对称，再作出两函数的图象分析得解.【详解】由题意化简，，因为函数是奇函数，所以函数关于点对称.因为函数是奇函数，所以函数关于点对称.又，所以在上单调递减，由题得所以函数在上单调递减，在上单调递增，由图象可知，与的图象有四个交点，且都关于点对称，所以，所以所求和为故选：D【点睛】方法点睛：函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（解方程得解）；（2）图象法（作出函数的图象即得解）；（3）方程+图象法（令得，分析函数得解）.7．【答案】A【分析】根据条件先判断函数的对称轴和周期，然后结合函数的单调性进行转化比较即可.【详解】因为，所以函数的图象关于对称，所以，因为函数是定义在R上的奇函数，所以，所以，所以函数是周期函数，且，所以，，，又是奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增.所以由，得，即.故选：A.8．【答案】D【分析】根据已知关系式可推导得到，知A错误；由周期性、奇偶性和函数在上的解析式可得图象，通过图象可判断出BC错误；将零点个数问题转化为与交点个数问题，通过数形结合的方式可确定结果，知D正确.【详解】由得：，最小正周期为，A错误；当时，，又为上的奇函数，则，可得大致图象如下图所示：由图象可知：在上没有单调性，B错误；的对称中心为，则相邻的对称中心之间距离为，C错误；在区间内的零点个数等价于与在内的交点个数，在平面直角坐标系中画出与大致图象如下图所示：由图象可知：与在每个内都有个交点，且在区间内的交点横坐标等于或小于，两个函数在内有个交点，即在区间内有个零点，D正确.故选：D.【点睛】思路点睛：本题考查函数性质和函数图象的综合应用问题，解题的基本思路是能够根据奇偶性、周期性和函数的部分解析式确定函数的图象，进而通过数形结合的方式来进行分析求解.9．【答案】D【分析】由奇偶性可知函数是偶函数，对称性可知关于直线对称，周期性可知的周期为2，于是可以得出只需要知道时和交点的个数便可，又根据直线和圆的关系判断出时交点的个数，便可求出在定义域为上和的交点个数.【详解】解：由题意得∵是偶函数，且当时，∴当时，设，整理得又∵∴关于直线对称，的周期为2故当时，，即，在时，，即，∵与均为偶函数∵直线过点，且点也在上，当以点为圆心，1为半径的部分圆与直线相切时，满足，解得（显然不符合题意）∴在时，有7个交点∴共14个交点故选：D．10．【答案】D【分析】利用，关于点成中心对称，因为，可得，所以，所以的最小正周期为，则可以画出的大致图像，通过图像来逐项判断即可.【详解】由题意可得：，关于点成中心对称，因为，可得，所以，所以的最小正周期为，可得的大致图象如下：所以，的最小正周期为，错误；在内单调递增，但是在内没有单调性，故错误；的对称中心为，故相邻两个对称中心的距离为，故错误；的图象与的图象在每个区间内都有个交点，且在内的解析式为，所以的图象在区间内的零点满足，故，所以.故选:【点睛】对奇函数的特点，以及表示周期为2的准确理解，通过图像来解决问题，是这类问题的常见解法.11．【答案】【分析】根据已知条件求出的周期，再根据已知条件求出，，，的值，进而可得的值，再根据周期性计算即可求解.【详解】因为，所以，因为是定义在上的奇函数，所以所以，所以的周期为，当时，，所以，，，在中，令可得，所以，，，所以，因为，所以，故答案为：.12．【答案】【分析】由给定条件可得函数是偶函数，且在上单调递减，将不等式脱去法则“f”，再借助恒成立的不等式求解即得.【详解】函数y=f(x)的图象可由函数y=f(x-2)的图像向左平移2个单位而得，而y=f(x-2)的图像关于x=2对称，则y=f(x)的图象关于y轴对称，即f(x)是偶函数，因当、，且时，恒成立，则函数f(x)在上单调递减，于是得函数f(x)在上单调递增，由得：，因此，对任意，恒成立，当，成立，则，当时，，从而有，因，当且仅当，即时取“=”，于是得，解得，综合得：，所以a的取值范围为.故答案为：13．【答案】【分析】构造函数，分析出函数为奇函数且为上的增函数，将所求不等式变形为，可得出，解此不等式即可得解.【详解】构造函数，则，由可得，即，故函数为上的奇函数，当时，，则，所以函数在上单调递增，由于函数为奇函数，故函数在上为增函数，所以，函数为上的增函数，由，可得，即，因为，所以，，则，即，解得或.故答案为：.14．【答案】①②③【分析】由可得，由此可得函数为周期函数，①对，④错，由函数是奇函数确定函数的对称中心，判断②，根据偶函数的定义判断③.【详解】解：对于①：函数是周期函数且其周期为3.①对对于②：是奇函数其图象关于原点对称又函数的图象是由向左平移个单位长度得到.函数的图象关于点，对称，故②对.对于③：由②知，对于任意的，都有，用换，可得：对于任意的都成立.令，则，函数是偶函数，③对.对于④：偶函数的图象关于轴对称，在上不是单调函数，④不对.故答案为：①②③.15．【答案】5【分析】由题意可知周期为2，从而可求出，，进而可求出的值.【详解】解：由可知，关于对称，又因为是偶函数，所以周期为2，则，.故答案为:5.【点睛】本题考查了分段函数，考查了函数的周期性的应用.由奇偶性和对称性求出函数的周期是求解本题的关键.16．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据函数为奇函数可得，再由得到，两式结合得到周期为2，再结合奇偶性求出，当时，则，将-x代入到中化简即可求出时的解析式.（2）先判断函数再[0,1]上的单调性，并求出值域，通过直观想象即可求得m的范围.【详解】（1）由，得，所以，又，所以，所以，所以，又因为，所以．设，则，．综上，（2）由（1）知当时，，当时，为增函数，所以，所以，若关于方程在上有实数解，则，所以．17．【答案】（1）；（2）2.【分析】(1)由f(1)<0导出，再探讨函数f(x)的单调性及奇偶性，由此将给定不等式等价转化成一元二次不等式恒成立即可；(2)由求出，借助换元的思想将函数g(x)转化成二次函数问题即可作答.【详解】（1），即，而，则，解得，显然在上单调递减，又，于是得在上是奇函数，从而有等价于，由原不等式恒成立可得，即恒成立，亦即，解得：，所以实数的取值范围是：；（2），即，而，解得：，所以，令，显然在上单调递增，则，，对称轴为，当时，，解得或(舍)，则，当时，，解得：不符合题意，综上得，所以实数m的值为2.18．【答案】（1）且；（2）存在,；（3）【分析】（1）变形，问题转化为有两个不同的非零实数解，利用判别式列不等式求解即可；（2）将问题转化为函数为奇函数，利用奇函数的定义列方程求解；（3）分类讨论，当时，可求出的最大值为零，则，解不等式求解；当时，发现，不可能对任意的，都有，综合可得结果.【详解】解：由已知，（1）关于