【高考数学专题】专题21 等差等比数列性质的求解策略解题模板-高中数学解题模板

等差等比数列性质的解题模板【考点综述】在数学高考中，考查数列的有关知识时，常常会涉及对学生运用数列“基本量”或“等差、等比数列的性质”解决有关问题的考查．学生如能灵活运用“等差、等比数列的性质”解题，则往往收到“事半功倍”的效果．从内容上看，等差、等比数列的性质一直是高考的热点；在能力方面，要求学生具备一定的创新能力和抽象概括能力；从命题形式上看，以选择、填空题为主，难度不大．【解题方法思维导图预览】【解题方法】解题方法模板一：广义通项法使用情景：涉及等差、等比数列三项关系类型解题模板：第一步先确定等差数列对应的项；第二步再根据等差、等比通项公式广义定义列式；第三步得出结论解题模板应用：例1在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解题模板选择：本题中涉及等差数列三项关系，故选取解题方法模板一广义通项法进行解答．解题模板应用：第一步先确定等差数列对应的项；∵是等差数列，为其前项和，所以数列是等差数列，因此数列第第二步再根据等差、等比通项公式广义定义列式；第三步得出结论：，，故选D练习：1.正项等比数列中，存在两项使得，且，则的最小值是A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：由得解得，再由得，所以，所以.考点：数列与基本不等式.【思路点晴】本题主要考查等比数列的基本元思想，考查基本不等式.第一步是解决等比数列的首项和公比，也即求出等比数列的基本元，在求解过程中，先对具体的数值条件进行化简，可求出，由此化简第一个条件，可得到；接下来第二步是基本不等式常用的处理技巧，先乘以一个常数，再除以这个常数，构造基本不等式结构来求.2.在正项等比数列中，，则的最小值为_______.【答案】20【解析】【详解】试题分析：设，则，由于是等比数列，所以也成等比数列，因此，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为20.考点：等比数列的性质，基本不等式.解题方法模板二：项等距法使用情景：已知涉及各项项数成等距类型解题模板：第一步观察各项项数的等距特征；第二步利用等差、等比性质化简；第三步得出结论．解题模板应用：例2等比数列的各项均为正数，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解题模板选择：本题中具有项数成等距特征，故选取解题方法模板二等距法进行解答．解题模板应用：第一步，观察各项数的等距特征；因为第二步，利用等差、等比性质化简；由等比数列的性质可得：，所以．．则，第三步，得出结论：故选B．练习：3.在等差数列中，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质，将已知式子和所求式子都转化为，即可求解【详解】因为在等差数列中，，所以.故选：B.【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.4.等比数列的各项均为正数，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等比数列下标和性质，求得，再结合对数运算，即可求得结果.【详解】由等比数列的性质可得：，所以..则，故选：B.【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，涉及对数运算，属综合基础题.5.在等比数列中，若，，则（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把代入中，用上即可【详解】解：是等比数列故选：C【点睛】利用等比数列的性质求值，基础题.6.已知等比数列满足，且，则当时，__________________．【答案】【解析】【详解】试题分析：因为，l，2，…，且，所以=n（2n-1）．考点：本题主要考查等比数列的通项公式，对数函数的性质．点评：简单题，在等比数列中，．解题方法模板三：和项等距法使用情景：已知涉及各和项项数成等距类型解题模板：第一步观察各和项项数的等距特征；第二步利用等差、等比性质化简；第三步得出结论．解题模板应用：例3已知等比数列的前项和为，已知，则（）A．－510B．400C．400或－510D．30或40【答案】B【解析】解题模板选择：本题中涉及各和项项数成等距，故选取解题方法模板三和项等距法进行解答．解题模板应用：第一步，观察各和项项数等距特征；因为依次为连续10项的和第二步，利用等差、等比性质化简；所以依次构成等比数列，舍负．第三步，得出结果．故选B．练习：7.等比数列前n项和为，若，则______.【答案】【解析】【分析】根据等比数列的性质得到成等比，从而列出关系式，又，接着用表示，代入到关系式中，可求出的值.【详解】因为等比数列的前n项和为，则成等比，且，所以，又因为，即，所以，整理得.故答案为：.【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题。解决本题的关键是根据等比数列的性质得到成等比.8.如果一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有A.13项 B.12项 C.11项 D.10项【答案】A【解析】【详解】试题分析：设这个数列有n项，则，因此即，则，故；考点：1．等差数列的性质，2．等差数列的前n项和公式；解题方法模板四：数列函数性质法使用情景：涉及数列最值范围问题．解题模板：第一步根据条件化简揭示一元函数关系；第二步根据函数性质、方程有解、不等式成立等转化列式；第三步解得结果．解题模板应用：例4若等差数列满足，则的最大值为__________．【答案】【解析】解题模板选择：本题中涉及和项最值问题，故选取解题方法模板四函数性质法进行解答．解题模板应用：解题模板：第一步根据条件化简揭示一元函数关系；数列是等差数列，设公差为，因为，所以，因为，所以，所以，所以．因为，所以，所以，所以，第二步根据函数性质、方程有解、不等式成立等转化列式；因为方程有解，所以，第三步解得结果．所以，则的最大值为．故答案为：．练习：9.已知等差数列，满足，，且数列的前n项和有最大值，那么取最小正值时，（）A.4037 B.4036 C.4035 D.4034【答案】A【解析】【分析】由题意易得该数列为递减数列，且前2019项为正数，从第2020项开始为负数，由等差数列求和公式的性质可得，，，即得答案.【详解】因为数列的前n项和有最小值，所以数列是递减的等差数列又，，所以即数列的前2019项为正数，从第2020项开始为负数，由等差数列求和公式和性质可知，，所以当取最小正值时，4037故选：A【点睛】本题考查由等差数列求和公式的性质求数列的前n项和的最小正数值时的项数，属于中档题.10.设数列为等差数列，为其前项和，若，，，则的最大值为A.3 B.4 C. D.【答案】B【解析】【详解】∵S4≥10，S5≤15

∴a1+a2+a3+a4≥10，a1+a2+a3+a4+a5≤15

∴a5≤5，a3≤3

即：a1+4d≤5，a1+2d≤3

两式相加得：2（a1+3d）≤8

∴a4≤4

故答案是411.若等差数列的公差，前n项和为，若，都有，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，都有，可得，再根据等差数列的性质即可判断.【详解】等差数列的公差，，都有，，.故选：.【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题.12.已知数列是等比数列，且公比，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先将等式展开，并根据等比数列的性质进一步化简，然后提炼出与的关系式，即可解得的取值范围．【详解】由，得∵数列是等比数列，∴，∴又，∴．∵，∴，故选：C【点睛】本题考查等比数列的通项公式与等比数列的性质，考查的数学核心素养是数学运算．13.在各项都为正数的等比数列中，已知，其前项积为，且，则取得最大值时，的值是（）A.9 B.8或9 C.10或11 D.9或10【答案】D【解析】【分析】首先求出首项和公比，解不等式组，代入通项公式求解出即可【详解】（法一）∵等比数列，其前项积为，且.∴，∴，∴.故.∵，所以前项积有.又因为，所以为前项积的最大值.（法二）∵，.∴.当时，有最大值，解得.∴时，有最大值.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列前项积的最大值.其实质是求等差数列前项和的最值的变型.第一步：求出等比数列首项，公比.第二步：解不等式组.满足不等式组的的值，即为使前项积取最大值时的项数.解题方法模板五：和项与通项综合性质法使用情景：涉及和项与通项综合问题．解题模板：第一步利用通项估计和项符号；第二步根据等差数列和项性质求最值；第三步得出结果．解题模板应用：例5{an}为等差数列，若，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，n＝（）A．2019B．2020C．4039D．4040【答案】C【解析】解题模板选择：本题涉及和项与通项综合问题，故选取解题方法模板五和项与通项综合性质进行解答．解题模板应用：第一步利用通项估计和项符号；若，且它的前n项和Sn有最小值，∴a2019＜0，a2020＞0．∴a2019+a2020＜0．第二步根据等差数列和项性质求最值；S4038＝2019（a1+a4038）＝2019（a2019+a2020）＜0．S40394039a2020＞0．第三步得出结果．那么当Sn取得最小正值时，n＝4039．故选：C．练习：14.若等差数列中，，则（）A.1000 B.500 C.250 D.50【答案】B【解析】【分析】根据等差数列性质可得,再由等差数列前项和公式即可求解.【详解】数列为等差数列，，由等差数列性质可知，根据等差数列前项和公式可得故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的性质及前项和公式的简单应用，属于基础题.15.已知等差数列的前n项和为，且，当时，n的值为（）A.20 B.21 C.22 D.23【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的单调性、性质，求和公式列出不等式，求解即可.【详解】因为且，所以，所以数列首项为负，单调递增，第11项开始为正，因为，所以，因为，，所以，故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，求和公式，考查了运算能力，属于中档题.16.设等差数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差性质可知,即可求得,进而求得的解.【详解】等差数列,,则有.,.故选:.【点睛】本题考查了等差数列的性质,等差数列的求和,三角函数求值,难度较易.17.已知函数在上单调，且函数的图象关于直线对称，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前100项的和为A.300 B.100 C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数y＝f（x﹣2）的图象关于x＝1轴对称，平移可得y＝f（x）的图象关于x＝﹣1对称，由题意可得a50+a51＝﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．【详解】函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y＝f（x﹣2