2013版高考数学专题辅导与训练配套课件：5.2点、直线、平面之间的位置关系(湖北专供-数学文)

第二讲点、直线、平面之间的位置关系【考情快报】高考对本节知识的考查主要是以下两种形式：

(1)以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题真假进行判断，属基础题.

(2)以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.【核心自查】一、主干构建二、重要定理1.线面平行与垂直的判定定理、性质定理2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理提醒：使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意其具备的条件，缺一不可.三、平行与垂直关系的转化1.平行关系的转化2.垂直关系的转化热点考向一空间线面位置关系命题真假的判断【典例】1.(2012·浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面()(A)若l∥α,l∥β，则α∥β(B)若l∥α，l⊥β，则α⊥β(C)若α⊥β,l⊥α,则l⊥β(D)若α⊥β,l∥α,则l⊥β2.(2012·陕西高考)(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真.(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明).【解题指导】1.利用线面、面面平行与垂直的判定与性质进行判定.2.(1)用向量法或线面垂直的判定与性质证明.(2)根据逆命题的定义写出并判定.【解析】1.选B.若l∥α,l∥β，则α,β可能相交，故A错；若l∥α，则平面α内必存在一直线m与l平行，则m⊥β，又m⊂α，故α⊥β,故B对；若α⊥β,l⊥α,则l∥β或l⊂β,故C错;若α⊥β,l∥α，则l与β关系不确定，故D错．2.(1)方法一：如图，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a,b,c,n的方向向量分别是a,b,c,n，则b,c,n共面.根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c=λb+μn,则a·c=a·(λb+μn)=λ(a·b)+μ(a·n)，因为a⊥b，所以a·b=0，又因为a⊂π,n⊥π，所以a·n=0，故a·c=0，从而a⊥c.方法二：如图，记c∩b=A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.∵PO⊥π，a⊂π，∴直线PO⊥a，又a⊥b,b⊂平面PAO，PO∩b=P，∴a⊥平面PAO，又c⊂平面PAO，∴a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题.

【拓展提升】求解空间线面位置关系的组合判断题的两大思路(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断.(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，肯定或否定某些选项，并作出选择.提醒：与空间线、面有关命题真假判断的题目常以符号语言的形式出现，要熟练掌握符号语言和自然语言、图形语言的相互转换.

热点考向二平行关系的证明【典例】(2012·辽宁高考)如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点.(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′-MNC的体积.(锥体体积公式,其中S为底面面积,h为高)

【解题指导】(1)思路一：利用线面平行的判定定理证明；思路二：利用面面平行的性质，过MN找一平面，再证明其与平面A′ACC′平行，进而得证；(2)通过变换顶点将三棱锥转化为底面积和高已知或易求的形式，求得体积.

【解析】(1)方法一：连接AB′,AC′,由已知得M为AB′的中点，又N为B′C′的中点，所以MN为三角形AB′C′的中位线，故MN∥AC′.又MN平面A′ACC′,AC′⊂平面A′ACC′,因此MN∥平面A′ACC′.方法二：取A′B′的中点P，连接MP，NP，AB′，由已知得M为AB′中点，又因为N为B′C′的中点，所以MP∥AA′,PN∥A′C′,∴MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，又MP∩NP=P,所以平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′.(2)连接BN,由题意，A′N⊥B′C′,平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′，所以A′N⊥平面B′BCC′,即A′N⊥平面NBC,故

(h为N到平面A′MC的距离).又,所以=,因为∠BAC=90°,AB=AC=所以BC=B′C′=2.S△NBC=BC·BB′=×2×1=1,A′N=B′C′=1,所以【拓展提升】1.证明线线平行的常用方法(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；(2)利用平行四边形进行转换；(3)利用三角形中位线定理证明；(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明.2.证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；(2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行.3.证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行.热点考向三垂直关系的证明【典例】(12分)(2012·北京高考)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由.【解题指导】折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化.第(1)问证明线面平行，可以证明DE∥BC；第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A1F⊥平面BCDE；第(3)问取A1B中点Q，再证明A1C⊥平面DEQ.【规范解答】(1)∵D,E分别是AC,AB的中点,∴DE∥BC,……………………2分又∵DE平面A1CB,BC⊂平面A1CB,∴DE∥平面A1CB.……4分(2)∵DE∥BC，AC⊥BC,∴DE⊥AC,∴DE⊥A1D,DE⊥CD.∵A1D∩CD=D,∴DE⊥平面A1DC.……6分∵A1F⊂平面A1DC,∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥CD，CD∩DE=D，∴A1F⊥平面BCDE,∵BE⊂平面BCDE,∴A1F⊥BE.………………8分(3)存在.取A1B的中点Q，A1C的中点P，连接DP，PQ，QE.则PQ∥BC，∴PQ∥DE.由(2)知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C，∴PQ⊥A1C.……10分∵A1D=DC,∴△A1DC是等腰三角形.又∵点P为A1C的中点，∴A1C⊥PD.…………11分∵PD∩PQ=P,∴A1C⊥平面PQED，即A1C⊥平面DEQ.……12分【拓展提升】1.证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直.(2)利用勾股定理逆定理.(3)利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可.提醒：方法(3)是证明空间线线垂直的重要方法，要熟记.2.证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；(2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；(3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等.3.证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.4.解决折叠问题的关键点(1)一是搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口.(2)二是把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决.提醒：折叠问题使平面图形与几何体中的边角发生了转换，要注意其对应关系.5.求解探索性问题的一般步骤(1)假设其存在，被探索的点一般为线段的中点或三等分、四等分点或垂足.(2)在假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾结论就否定假设.

【思想诠释】垂直、平行关系证明中的转化与化归思想(1)本题中的转化与化归主要是：①证明线面平行转化为证明线线平行.②证明线线垂直转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直.③平面图形与空间图形的转化.(2)垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.①证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.②证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.③证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.④证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.⑤平行与垂直关系间的转化.⑥平面图形与空间图形通过折叠进行的转化.1.(角度新)如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1.(1)求证：AF⊥平面CBF;(2)设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；(3)设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为VF-ABCD,VF-CBE,求VF-ABCD∶VF-CBE.【解析】(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF,CB⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF.∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB.又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF,∵CB∩BF=B，∴AF⊥平面CBF.(2)设DF的中点为N，连接AN，MN，则MNCD.又AOCD,则MNAO,所以四边形MNAO为平行四边形，∴OM∥AN.又AN⊂平面DAF，OM平面DAF，∴OM∥平面DAF.(3)过点F作FG⊥AB于G，∵平面ABCD⊥平面ABEF，∴FG⊥平面ABCD，∴VF-ABCD=SABCD·FG=FG.∵CB⊥平面ABEF，∴VF-CBE=VC-BFE=S△BFE·CB=·EF·FG·CB=FG，∴VF-ABCD∶VF-CBE=4∶1.2.(角度新)正方形ABCD中，AB=2,E是AB边的中点，F是BC边上一点，将△AED及△DCF折起，使A，C点重合于A′点.(