导数几何意义 中档压轴专项 教案 高三数学二轮复习备考

10/10导数几何意义中档压轴专项（讲案）【教学目标】本节内容目标层级是否掌握理解导数的几何意义★★☆☆☆☆求曲线的切线方程★★★☆☆☆一、理解导数的几何意义【知识点】1.导数的几何意义：设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率．曲线过点的切线的斜率等于2.3.切线方程：1.点斜式：2.切点可以满足的三个关系式：（1）切点在原函数上；（2）切点在切线上；（3）切点横坐标代入导函数得斜率。【例题讲解】★☆☆例题1．下列说法正确的是(

)．

A．若不存在，则曲线在点处就没有切线Ｂ．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在

Ｃ．若曲线在点处有切线，则必存在Ｄ．若曲线在点处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线★☆☆练习1．若，则曲线在点处的切线（）．A．不存在 Ｂ．与轴平行或重合 Ｃ．与轴垂直 Ｄ．与轴相交但不垂直★★☆例题2．设是上可导函数，且满足，则在点处的切线的斜率为

.★★☆练习1．函数的图象如图所示,下列数值排序正确的是(

)

AB．C.D.★☆☆例题3．设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为_____

。★★☆练习1．设曲线在点处的切线与直线平行，则实数等于()A.B． C． D．★☆☆练习2．已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A． B． C． D．★★☆练习3．若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________．知识点要点总结：牢记导数的几何意义：曲线过点的切线的斜率等于．要能够结合导数的定义与运算法则求解切线的斜率。二、求曲线的切线方程【知识点】已知函数求切线的问题主要有三类：已知切点，未知切点，公切线。其中前两者考察频繁，后者综合性较强。（一）已知切点第一步：求导数；第二步：代入切点横坐标，求斜率；第三步：有斜率有切点，写出切线方程。（二）未知切点第一步：设切点；第二步：切点横坐标代入导函数得斜率；第三步：切点在原函数上，写出纵坐标；第四步：点斜式写出切线方程。注：（1）“过某一点切线”的点不一定为切点，“在某一点切线”的点是切点。（2）曲线在某一点处的切线有且仅有一条，但过某点的切线可能不存在也可能有多条。（3）切点可以满足的三个关系式：=1\*GB3①切点在原函数上=2\*GB3②切点在切线上=3\*GB3③切点横坐标代入导函数得斜率。（三）公切线（1）设第一个曲线的切点，由“未知切点”的步骤写出切线方程；（2）同理设第一个曲线的切点，由“未知切点”的步骤写出切线方程；（3）两个曲线的切线方程相同，对比系数，得出关系式。【例题讲解】1.在点切线问题★★☆例题1．已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）证明：.★☆☆练习1．已知函数的图象在点处的切线方程是，则=______．★★☆练习2．函数的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．★☆☆练习3．设函数，曲线在点处的切线方程为，求的值。2.过点切线问题★★☆例题2．已知函数，.（1）当为何值时，直线是曲线的切线；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围.★★☆练习1．过点做抛物线的切线，求该切线方程．★☆☆练习2．知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为()A． B．C. D．3.公切线问题★★☆例题3．已知函数，，曲线与在原点处的切线相同．（1）求的值；（2）求的单调区间和极值；（3）若时，，求的取值范围．★☆☆练习1．若直线是的切线，也是的切线，则.★★☆练习2.已知抛物线

和

，如果直线同时是

和

的切线，称是

和

的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．则

取什么值时，

和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程。4.利用切线关系研究其他问题★★★例题4．已知，，．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）记，设，，，为函数图象上的两点，且．（ⅰ）当时，若在，处的切线相互垂直，求证；（ⅱ）若在点，处的切线重合，求的取值范围．★★☆练习1．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为________．★☆☆练习2．曲线上的点到直线的最短距离是（）A． B． C． D．★★☆练习3．已知实数满足，则的最小值为★★☆练习4．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（）A．B.C.D.知识点要点总结：1.切线问题的核心条件是切点，本题条件中没有给出切点，应该主动设切点，然后按照切点满足的三个条件列方程：=1\*GB3①切点在原函数上；=2\*GB3②切点在切线上；=3\*GB3③切点横坐标代入导函数得斜率。在计算过程中需要注意：我们联立消元，一般保留切点的横坐标，方便运算。2.两个曲线的公切线，可以按照步骤：=1\*GB3①设第一个曲线的切点，由“未知切点”的步骤写出切线方程；=2\*GB3②同理设第一个曲线的切点，由“未知切点”的步骤写出切线方程；=3\*GB3③两个曲线的切线方程相同，对比系数，得出关系式求解。【课后练习】【巩固练习】★★☆1．已知点是曲线上任意一点，曲线在处的切线为，求：（1）斜率最小的切线方程；（2）切线的倾斜角的取值范围．★★☆2．已知函数，若函数的图象在点处的切线与函数的图象相切,则的值为______.★★☆3．已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.★★★4．已知函数，当时，取得极小值.（1）求的值；（2）记，设是方程的实数根，若对于定义域中任意的，.当且时，问是否存在一个最小的正整数，使得恒成立，若存在请求出的值；若不存在请说明理由.（3）设直线，曲线.若直线与曲线同时满足下列条件：①直线与曲线相切且至少有两个切点；②对任意都有.则称直线与曲线的“上夹线”.试证明：直线是曲线的“上夹线”.★★★5．已知函数．（1）若在处的切线斜率与k无关，求；（2）若，使得＜0成立，求整数k的最大值．★☆☆6．设函数

，曲线

在点处的切线方程为

（1）求

的解析式；

（2）证明：曲线

上任一点的切线与直线

和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

【拔高练习】★☆☆1．已知曲线，若过曲线外一点引曲线的两条切线，它们的倾斜角互补，则的值为()A.B．C．D．★★☆2．已知函数(1)求曲线在点处的切线的方程；(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标；(3)如果曲线的某一切线与直线垂直，求切点坐标与切线的方程．★★★3．已知函数，.（