高数1-7章4节 《阶线性微分方程》 课件

*一阶线性微分方程机动目录上页下页返回结束第四节一、一阶线性微分方程二、伯努利方程

第七章*一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,若Q(x)0,称为非齐次方程

.称为齐次方程

;机动目录上页下页返回结束问题：齐线性方程是否就是齐次方程？1定义:*一、一阶线性微分方程1).解齐次方程分离变量两边积分得故通解为机动目录上页下页返回结束2.解法:*对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2).解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得机动目录上页下页返回结束*例1.解方程

解:先解即积分得即用常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为机动目录上页下页返回结束*例2：*例2：*例3：*例3：*例4：*例4：*例5.

求方程的通解.解:注意x,y

同号,由一阶线性方程通解公式

,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量,

y为

自变量的一阶线性方程机动目录上页下页返回结束*在闭合回路中,所有支路上的电压降为0例6.有一电路如图所示,电阻

R

和电∼解:列方程.已知经过电阻R的电压降为Ri

经过L的电压降为因此有即初始条件:由回路电压定律:其中电源求电流感L

都是常量,机动目录上页下页返回结束*∼解方程:由初始条件:得利用一阶线性方程解的公式可得机动目录上页下页返回结束*暂态电流稳态电流∼因此所求电流函数为解的意义:机动目录上页下页返回结束*

非齐线性微分方程求解的一般步骤*附注:通过上面的讨论可知,如果一个微分方程经过一定的变量变换可以化为线性微分方程,则总可以用初等解法进行求解。

下面介绍一些可化为线性方程的方程类型。*二、伯努利(Bernoulli)方程

伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)伯努利目录上页下页返回结束*例7.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:机动目录上页下页返回结束*例8：*例9：*例9：*三黎卡提(Riccati)方程（补充）Definition:1黎卡提方程的含义*2黎卡提方程的解法*例10：*例10：*例10：*内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式化为线性方程求解.2.伯努利方程机动目录上页下页返回结束*思考与练习判别下列方程类型:提示:

可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程机动目录上页下页返回结束*P320#1,2,7,8(每题各选2小题)作业第五节目录上页下页返回结束*备用题1.

求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令则有利用公式可求出机动目录上页下页返回结束*2.设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解:1)先解定解问题利用通解公式,得利用得故有机动目录上页下页返回结束*2)再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3)原问题的解为机动目录上页下页返回结束*(雅各布第一·伯努利)

书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律