一维和二维数字滤波器

一维和二维数字滤波器第一页，共74页。主要内容数字信号处理基本知识数字滤波器概述一维数字滤波器设计二维数字滤波器设计数字滤波器应用举例第二页，共74页。数字信号处理基本知识1.数字信号的概念原声滤除低频滤除高频一数字信号把x(t)视为随时间变化的信号，若时间t是连续变化的称x(t)为连续信号，或模拟信号；若t只在时间轴的离散点取值，则称x(t)为离散信号。在时间和幅度上都取离散值的信号称为数字信号。连续信号：x(t)=sin(t);t取正实数数字信号：x(n)=sin(0.1*n)n取正整数第三页，共74页。数字信号处理基本知识2.数字信号的获取一般是通过对连续信号的采样获取数字信号T称为采样频率。第四页，共74页。数字信号处理基本知识数字信号一般记成：x(n)。如：x(n)=[3,5,0,2.4,-0.5,…]x(n)=sin(nω0)第五页，共74页。数字信号处理基本知识3.典型的数字信号单位脉冲：单位阶跃：第六页，共74页。数字信号处理基本知识3.数字信号的基本变换Z变换：离散傅立叶变换：离散傅立叶变换性质：(1)序列的傅氏变换是ω的周期函数，周期为2π。(2)时域内的卷积关系映射到频域内为相乘。第七页，共74页。数字信号处理基本知识例：信号的离散傅立叶变换的幅值(信号的频谱)：第八页，共74页。数字信号处理基本知识二数字系统1数字系统的概念输入输出都为数字信号的系统称为数字系统。在数学上，它是把输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的变换或运算第九页，共74页。数字信号处理基本知识如某数字系统为：又如某数字系统为：第十页，共74页。数字信号处理基本知识2线性时不变系统线性特性：时不变性：线性时不变系统就是既满足线性特性又具有时不变特性的系统。第十一页，共74页。数字信号处理基本知识3线性时不变系统的表示方法传递函数表示：频率特性表示：

Y(z)为系统输出y(n)的Z变换，X(z)为系统输入x(n)的Z变换为系统输出y(n)系统输入x(n)的离散傅立叶变换第十二页，共74页。数字信号处理基本知识单位脉冲响应表示：当系统的输入是单位脉冲信号(n)时,系统的输出称为此系统的单位脉冲响应，一般记为h(n)。即注：系统的传递函数H(z)，频率特性分别为单位脉冲响应h(n)的Z变换和离散傅立叶变换。第十三页，共74页。数字滤波器概述一数字滤波器的概念及分类数字滤波器是指能够通过一定算法，完成信号滤波处理功能的数字线性时不变系统。数字滤波器可用软件实现也可用硬件实现。软件实现即在普通计算机上实现，硬件(DSP数字信号处理器)实现主要用于对计算速度和精确度要求很高的实时系统。第十四页，共74页。数字滤波器概述数字滤波器按其冲击响应可分为：IIR(infiniteimpulseresponse)滤波器(或称无限冲击响应滤波器)FIR(finiteimpulseresponse)滤波器(或称有限冲击响应滤波器)数字滤波器按其处理信号方式可分为：时域滤波器（考虑信号的时域特征）频域滤波器（考虑信号的频域特征）第十五页，共74页。数字滤波器概述1IIR滤波器其单位脉冲响应为无限长序列。如某数字滤波器的单位脉冲响应是如下序列：则该滤波器是IIR滤波器。IIR滤波器典型的传递函数为：第十六页，共74页。数字滤波器概述IIR滤波器处理信号过程：第十七页，共74页。数字滤波器概述2FIR滤波器其单位脉冲响应为有限长序列。如某数字滤波器的单位脉冲响应是如下序列：则该滤波器是FIR滤波器。FIR滤波器典型的传递函数为：第十八页，共74页。数字滤波器概述FIR滤波器处理信号过程：第十九页，共74页。数字滤波器概述3滤波器的零点和极点如果复数z0使得滤波器的传递函数H(z)等于零，则称z0为该滤波器的零点。如果复数z0使得滤波器的传递函数H(z)等于无穷大，则称z0为该滤波器的极点。零点：1，2；极点：0.5,0.2第二十页，共74页。数字滤波器概述二数字滤波器的级联1IIR滤波器的级联传递函数：第二十一页，共74页。数字滤波器概述2FIR滤波器的级联传递函数：第二十二页，共74页。数字滤波器概述三数字滤波器的频率特性设滤波器的频率特性为：称为幅频特性称为相频特性如数字滤波器的单位脉冲响应为：

h(n)=[0.05940.0980-0.1174-0.03720.30790.55390.3079-0.0372-0.11740.09800.0594]第二十三页，共74页。数字滤波器概述幅频特性相频特性第二十四页，共74页。数字滤波器概述四种基本的理想滤波器的幅频特性第二十五页，共74页。数字滤波器概述数字滤波器滤波原理：频域关系：时域关系：第二十六页，共74页。数字滤波器概述信号：x(n)=2sin(20.1n)+sin(200.1n)+0.5cos(300.1n);幅频特性图(频谱)第二十七页，共74页。数字滤波器概述滤波器幅频特性图滤波后信号的幅频特性图第二十八页，共74页。数字滤波器概述滤波后的信号第二十九页，共74页。一维数字滤波器设计一、一维IIR数字滤波器设计方法1.脉冲响应不变法2.双线性变换法3.优化设计法基本思路：先设计模拟滤波器，然后再把模拟滤波器转化为数字滤波器。第三十页，共74页。一维数字滤波器设计二、一维FIR数字滤波器设计方法窗函数法频率取样法优化设计法由于FIR滤波器总是稳定的而且可以做成线性相位滤波器故实际应用中FIR滤波器用的更加广泛。第三十一页，共74页。一维数字滤波器设计1窗函数法给定理想滤波器：设待设计N-1阶的FIR滤波器的频率特性为滤波器设计问题即:求滤波器的单位脉冲响应h(n)使得H(ejω)尽可能的逼近D(ejω)第三十二页，共74页。一维数字滤波器设计基本思想：把理想滤波器D(ejω)傅立叶展开：引入窗函数w(n)使得h(n)=hd(n)*w(n)如矩形窗：第三十三页，共74页。一维数字滤波器设计海明(hanning)窗：第三十四页，共74页。一维数字滤波器设计2频率取样法设：再令：则有：h(n)为H(k)的离散傅立叶变换。第三十五页，共74页。一维数字滤波器设计3优化设计法3.1最小二乘设计法考虑线性相位FIR滤波器设计问题(所谓线性相位滤波器是指滤波器的相频特性φ(ω)为ω的线性函数)，线性相位滤波器有如下对称特征：滤波器的幅频特性可写为(N为奇数):第三十六页，共74页。一维数字滤波器设计现在的问题是用H(ω)去逼近一个给定的理想幅频特性D(ω)。第三十七页，共74页。一维数字滤波器设计如给定理想低通滤波器的幅频特性：00.3π0.4ππω1第三十八页，共74页。一维数字滤波器设计最小二乘逼近方法：步骤1：把区间[00.3π],[0.4ππ]离散化步骤2：求解如下问题：即：第三十九页，共74页。一维数字滤波器设计步骤3：根据第二步求得的a(n)得到滤波器单位脉冲响应h(n).典型的用最小二乘法求得的滤波器幅频特性图第四十页，共74页。一维数字滤波器设计15阶滤波器幅频特性第四十一页，共74页。一维数字滤波器设计15阶滤波器幅值误差第四十二页，共74页。一维数字滤波器设计30阶滤波器幅频特性第四十三页，共74页。一维数字滤波器设计3.2切比雪夫(Chebyshev)设计法最小二乘法简单有效但设计得滤波器存在吉布斯现象(即在频带边缘误差较大)。切比雪夫逼近方法使得逼近误差得最大值最小。第四十四页，共74页。一维数字滤波器设计

切比雪夫：1821年5月16日生于俄国卡卢加；1894年12月8日卒于彼得堡。1837年，年方16岁的切比雪夫进入莫斯科大学，成为物理数学专业的学生，1846年，切比雪夫在彼得堡大学当助教，1872年，学校授予他功勋教授的称号．1882年，切比雪夫在彼得堡大学执教35年之后光荣退休，19世纪以前，俄国的数学是相当落后的．切比雪夫就是在这种历史背景下从事他的数学创造的，以他自己的卓越才能和独特的魅力吸引了一批年轻的俄国数学家，形成了一个具有鲜明风格的数学学派，从而使俄罗斯数学摆脱了落后境地而开始走向世界前列．切比雪夫是彼得堡数学学派的奠基人和当之无愧的领袖．他在概率论、解析数论和函数逼近论领域的开创性工作从根本上改变了法国、德国等传统数学大国的数学家们对俄国数学的看法．第四十五页，共74页。一维数字滤波器设计切比雪夫设计法：即要求H(ω)对D(ω)的逼近误差的最大值最小。所以这个问题本质上是一个三角多项式的最优逼近问题。求解此问题的算法称为Remez交换算法，可以有效的求出问题的数值解。由于：第四十六页，共74页。一维数字滤波器设计15阶滤波器幅频特性第四十七页，共74页。一维数字滤波器设计15阶滤波器幅值误差dB第四十八页，共74页。一维数字滤波器设计15阶最小二乘和切比雪夫滤波器幅频特性比较第四十九页，共74页。一维数字滤波器设计15阶最小二乘和切比雪夫滤波器幅值误差比较第五十页，共74页。一维数字滤波器设计30阶切比雪夫滤波器幅频特性（切比雪夫滤波器有等波纹特性，故也称等波纹滤波器）第五十一页，共74页。一维数字滤波器设计30阶滤波器幅值误差dB第五十二页，共74页。一维数字滤波器设计30阶高通滤波器幅频特性第五十三页，共74页。一维数字滤波器设计50阶带通滤波器幅频特性第五十四页，共74页。一维数字滤波器设计50阶带阻滤波器幅频特性第五十五页，共74页。二维数字滤波器设计一、二维数字信号二维连续信号可用二元连续函数x(s,t)表示：二维数字信号就是把二维连续信号离散化，一般表示成x(m,n)，m,n取整数。如：典型的二维数字信号是数字图像。第五十六页，共74页。二维数字滤波器设计将一幅二维的图像通过有限个离散点来表示就成为了数字图像，其中的每个点称为图像元素，即像素。第五十七页，共74页。二维数字滤波器设计像素值往往用来表示像素的灰度级、颜色、高度值、透明度等等x(1,1)x(1,2)x(1,3)x(1,4)…x(1,N)x(2,1)x(2,2)x(2,3)x(2,4)…x(2,N)……x(M,1)…x(M,N)由此可见，一幅灰度图像可看成一个矩阵第五十八页，共74页。二维数字滤波器设计低级图像处理实例（图像增强）第五十九页，共74页。二维数字滤波器设计中级图像处理实例（图像分割）第六十页，共74页。二维数字滤波器设计高级图像处理实例（图像识别）第六十一页，共74页。二维数字滤波器设计二维数字信号的基本变换Z变换：离散傅立叶变换：离散傅立叶变换性质：序列的傅氏变换是ω1和ω2的周期函数，周期为2π。第六十二页，共74页。二维数字滤波器设计原图像图像的频谱第六十三页，共74页。二维数字滤波器设计二维单位脉冲信号：二维单位脉冲信号通过二维系统的输出称为二维系统的单位脉冲响应，一般记为h(m,n)。单位脉冲响应的Z变换称为系统的传递函数，傅立叶变换称为幅频特性函数。第六十四页，共74页。二维数字滤波器设计典型的二维IIR滤波器的传递函数：典型的二维FIR滤波器的传递函数：第六十五页，共74页。二维数字滤波器设计典型的二维IIR滤波器的频率特性：典型的二维FIR滤波器的频率特性：第六十六页，共74页。二维数字滤波器设计最小二乘设计方法：步骤1：把区间[0π][0π]离散化步骤2：求解如下问题：二、二维线性相位FIR滤波器设计第六十七页，共74页。二维数字滤波器设计19