相互独立事件同时发生的概率(第二课时)

11．3．2相互独立事件同时发生的概率(第二课时)

问题4①事件A+B表示的意义是什么？②事件A·B表示的意义是什么？点评：事件A+B发生

，表示事件A与事件B中至少有一个发生。不能想当然地认为是事件A与B同时发生，事实上当A与B互斥时，它们不可能同时发生;事件A·B发生表示事件A与B同时发生。问题5

怎样计算n个互斥事件A1,A2，…，An中有一个发生的概率？两个事件A,B互斥，那么事件A,B发生（即A,B中有一个发生）的概率，等于事件A,B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B)一般地，如果事件A1,A2，…，An

，彼此互斥，那么事件A1+A2+…+An

发生（即A1,A2，…，An

中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)Ⅰ.复习与引入问题6

对立事件的概率间关系？点评：当直接求某一事件的概率较为复杂时，可先转而求其对立事件的概率，使概率的计算得到简化．问题7怎样计算n个相互独立事件A1，A2，…，An同时发生的概率？两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B)一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即：P(A1·A2…·An)=P(A1)·P(A2)…·P(An)Ⅰ.复习与引入假设事件A：臭皮匠老大解出问题，事件B：臭皮匠老二解出问题，事件C：臭皮匠老三解出问题,事件D：诸葛亮解出问题，且P(A)=50%，P(B)=45%，P(C)=40%，P(D)=80%，那么臭皮匠联队老大、老二、老三能胜过诸葛亮吗？分析2：(说明：为了书写方便，本节用下划线代替上划线。)设老大、老二、老三至少有一人能解出该题为事件E，则E=A·B·C+A·B·C+A·B·C+A·B·C+A·B·C+A·B·C+A·B·C,又其中A·B·C，A·B·C，…，A·B·C互斥，所以P(E)=P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)又A、B、C相互独立，所以P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=0.50×(1-0.45)×(1-0.40)=0.165,同理可算出等号右边的其他各项．这种计算方法复杂吗，可以找到更简单的解法吗？Ⅰ.复习与引入

1．概率的和与积的互补公式一般地，对于n个随机事件A1，A2，…，An，事件A1+A2+…+An表示事件A1，A2，…，An至少有一个发生，事件A1·A2·…An

表示事件A1，A2，…，An都发生，即A1，A2，…，An都不发生．显然A1+A2+…+An与A1·A2·…An是两个对立事件，由两个对立事件的概率和等于1，可得

P(A1+A2+…+An)=1-P(A1·A2·…An)

这个公式叫做概率的和与积的互补公式，它在概率的计算中常用来简化计算．

Ⅱ.讲授新课

1．概率的和与积的互补公式

P(A1+A2+…+An)=1-P(A1·A2·…An)

利用这个公式，我们三人至少有一人能解出该题的概率为P(E)=P(A+B+C)=1-P(A·B·C)=1-P(A)·P(B)·P(C)=1-0.50×0.55×0.60=0.835>0.8,

所以，合三个臭皮匠之力获胜的可能性要大于诸葛亮!Ⅱ.讲授新课哈哈！例1

甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6．计算：⑴两人都击中目标的概率；⑵其中恰有一人击中目标的概率；⑶至少有一人击中目标的概率;⑷至多有1人射中目标的概率．解：记“甲射击一次，击中目标”为事件式A，“乙射击一次，击中目标”为事件B．由于甲（或乙）是否击中，对乙（或甲）击中的概率没有影响，因此A与B是相互独立事件．⑴“两人各射击一次，都击中目标”就是事件A·B发生，因此所求概率为＿P(A·B)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36；⑵“两人各射击一次，恰有一人击中目标”包括两种情况：____①甲击中，乙未击中（事件____A·B

发生）；②甲未击中，乙击中（事件____A·B发生），因此所求概率为：_____P(A·B)+P(A·B)＝P(A)·P(B)+P(A)·P(B)＝0.6×(1-0.6)+(1-0.6)×0.6＝0.48Ⅱ.讲授新课例1

甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6．计算：⑴两人都击中目标的概率；⑵其中恰有一人击中目标的概率；⑶至少有一人击中目标的概率;⑷至多有1人射中目标的概率．⑶法1：“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为＿P＝P(A·B)+P(A·B)+P(A·B)＝P(A)·P(B)+P(A)·P(B)+P(A)·P(B)

＝0.36+0.24+0.24=0.84法2：“两人都未击中目标”的概率是____P(A·B)＝P(A)·P(B)＝(1－0.6)×(1－0.6)=0.16，因此“至少有一人击中目标”的概率为_______

P=1－P(A·B)=1－P(A)·P(B)=1－0.16＝0.84Ⅱ.讲授新课例1

甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6．计算：⑴两人都击中目标的概率；⑵其中恰有一人击中目标的概率；⑶至少有一人击中目标的概率;⑷至多有1人射中目标的概率．⑷解法1：“至多有1人击中目标”包括＿＿“有1人击中”和“2人都未击中”，故所求概率为＿＿＿P

＝P(A·B)+P(A·B)+P(A·B)＝0.16+0.24+0.24＝0.64解法2：：“至多有1人击中目标”的对立事件是＿“2人都击中目标”，故所求概率为：＿＿＿P＝1－P(A·B)=1-P(A)·P(B)＝1－0.36=0.64

Ⅱ.讲授新课例2

如图，在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算这段线路正常工作的概率．解：分别记这段时间内JA、JB、JC能够闭合为事件A、B、C

，由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响．根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是___

P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=(1-0.7)×(1-0.7)×(1-0.7)=0.027于是这段时间内至少有一个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是____1-P(A·B·C)=1-0.027=0.973Ⅱ.讲授新课变题2.1如图添加第四个开关JD与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。提示：[1－P(A·B·C)]·P(D)=0.973×0.7＝0.6811变题2.2如图两个开关JA与JB串联再与第三个开关JC并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。法一：P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＝0.847

法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除“JC开且JA与JB至少有1个开”的情况：P＝1－P（C）·[1－P(A·B)]=1－0.3×（1－0.7×0.7）＝0.847Ⅱ.讲授新课

例3．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，⑴假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；⑵要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率.

解:⑴设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak(k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为____A1·A2·A3·A4·A5，∵事件A1、A2、A3、A4、A5相互独立，∴敌机未被击中的概率为：_______P（A1·A2·A3·A4·A5）

=P(A1)·P(A2)·P(A3)·P(A4)·P(A5)=(1-0.2)5

＝(4/5)5

，∴敌机未被击中的概率为（4/5）5．Ⅱ.讲授新课例3．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，⑴假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；⑵要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？⑵至少需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿⑴可得：敌机被击中的概率为__1－（4/5）n

，∴令1－（4/5）n≥0.9，∴（4/5）n≤1/10∴两边取常用对数，得

n≥1/(1－3·lg2)≈10.3,∵n∈N＋，∴n＝11,∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机.

点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法(或概率的和与积的互补公式),采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便.Ⅱ.讲授新课1．甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5、1/3、1/4，则此密码能译出的概率为（

）

A．3/5

B．2/5

C．59/60

D．1/60

2．两台机床加工同样的零件，第一台出废品的概率是0.03，第二台出废品的概率是0.02．加工出来的零件堆放在一起．若第一台加工的零件是第二台加工的零件的2倍，求任意取出的零件是合格品的概率．（由一名学生板演后，教师讲解）1．A；2．解：记“任意取出的零件是合格品”为事件A，则“任意取出的零件是废品”为A

．由于P(A)=(2/3)×0.03+(1/3)×0.02=0.0266

∴P(A)=1-P(A)=1-0.0266

Ⅲ.课堂练习3．用某种方法来选择不超过100的正整数n，若n≤50，那么选择n的概率是P；若n>50，那么选择n的概率是3P，求选择到一个完全平方数n的概率．（学生思考后，教师讲解3．解：记“n≤50选择n”为事件A，则“n≤50选择n”为事件A，由对立事件的概率和等于1，有：＿

P+3P=1，∴P=1/4即n≤50，选择n的概率为1/4

，∴n>50选择n的概率为3/4

，又由于在不超过100的正整数中完全平方数有1、4、9、16、25、36、49、64、