ARMA模型以及ARIMA模型建模

案例分析ARMA模型与ARIMA模型建模建模步骤平稳非白噪声序列计算样本相关系数模型识别参数估计模型检验模型优化序列预测YN计算样本相关系数样本自相关系数样本偏自相关系数模型识别基本原则选择模型拖尾P阶截尾AR(P)q阶截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)模型定阶的困难因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾的或仍会呈现出小值振荡的情况由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随着延迟阶数，与都会衰减至零值附近作小值波动？当或在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，什么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作为相关系数在延迟若干阶之后正常衰减到零值附近作拖尾波动呢？

样本相关系数的近似分布BarlettQuenouille模型定阶经验方法95％的置信区间模型定阶的经验方法如果样本(偏)自相关系数在最初的d阶明显大于两倍标准差范围，而后几乎95％的自相关系数都落在2倍标准差的范围以内，而且通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常突然。这时，通常视为(偏)自相关系数截尾。截尾阶数为d。参数估计待估参数个未知参数常用估计方法矩估计极大似然估计最小二乘估计矩估计原理样本自相关系数估计总体自相关系数样本一阶均值估计总体均值，样本方差估计总体方差对矩估计的评价优点估计思想简单直观不需要假设总体分布计算量小（低阶模型场合）缺点信息浪费严重只用到了p+q个样本自相关系数信息，其他信息都被忽略估计精度差通常矩估计方法被用作极大似然估计和最小二乘估计迭代计算的初始值

极大似然估估计原理在极大似然然准则下，，认为样本本来自使该该样本出现现概率最大大的总体。。因此未知知参数的极极大似然估估计就是使使得似然函函数（即联联合密度函函数）达到到最大的参参数值似然方程由于和和都都不是的的显式式表达式。。因而似然然方程组实实际上是由由p+q+1个超越方程程构成，通通常需要经经过复杂的的迭代算法法才能求出出未知参数数的极大似似然估计值值对极大似然然估计的评评价优点极大似然估估计充分应应用了每一一个观察值值所提供的的信息，因因而它的估估计精度高高同时还具有有估计的一一致性、渐渐近正态性性和渐近有有效性等许许多优良的的统计性质质缺点需要假定总总体分布最小二乘估估计原理使残差平方方和达到最最小的那组组参数值即即为最小二二乘估计值值条件最小二二乘估计实际中最常常用的参数数估计方法法假设条件残差平方和和方程解法迭代法对最小二乘乘估计的评评价优点最小二乘估计充分应应用了每一一个观察值值所提供的的信息，因因而它的估估计精度高高条件最小二二乘估计方方法使用率率最高缺点需要假定总总体分布模型检验模型的显著著性检验整个模型对对信息的提提取是否充充分参数的显著著性检验模型结构是是否最简模型的显著著性检验目的检验模型的的有效性（对信息的的提取是否否充分）检验对象残差序列判定原则一个好的拟拟合模型应应该能够提提取观察值值序列中几几乎所有的的样本相关关信息，即即残差序列列应该为白白噪声序列列反之，如果果残差序列列为非白噪噪声序列，，那就意味味着残差序序列中还残残留着相关关信息未被被提取，这这就说明拟拟合模型不不够有效假设条件原假设：残残差序列为为白噪声序序列备择假设：：残差序列列为非白噪噪声序列检验统计量量LB统计量量参数显著性性检验目的检验每一个个未知参数数是否显著著非零。删删除不显著著参数使模模型结构最最精简假设条件检验统计量量例2.5续续选择合适的的模型ARMA拟合1950年——1998年北京市城城乡居民定定期储蓄比比例序列。。序列自相关关图序列偏自相相关图拟合模型识识别自相关图显显示延迟3阶之后，自自相关系数数全部衰减减到2倍标准差范范围内波动动，这表明明序列明显显地短期相相关。但序序列由显著著非零的相相关系数衰衰减为小值值波动的过过程相当连连续，相当当缓慢，该该自相关系系数可视为为不截尾偏自相关图图显示除了了延迟1阶的偏自相相关系数显显著大于2倍标准差之之外，其它它的偏自相相关系数都都在2倍标准差范范围内作小小值随机波波动，而且且由非零相相关系数衰衰减为小值值波动的过过程非常突突然，所以以该偏自相相关系数可可视为一阶阶截尾所以可以考考虑拟合模模型为AR(1)例2.5续续确定1950年——1998年北京市城城乡居民定定期储蓄比比例序列拟拟合模型的的口径拟合模型：：AR(1)估计方法：：极大似然然估计模型口径例2.5续续检验1950年——1998年北京市城城乡居民定定期储蓄比比例序列拟拟合模型的的显著性残差白噪声声序列检验验结果延迟阶数LB统计量P值检验结论65.830.3229拟合模型显著有效1210.280.50501811.380.8361例2.5续续检验1950年——1998年北京市城城乡居民定定期储蓄比比例序列极极大似然估估计模型的的参数是否否显著参数检验结结果检验参数t统计量P值结论均值46.12<0.0001显著6.72<0.0001显著例2.5:北京市城乡乡居民定期期储蓄比例例序列拟合合与预测图图例3.8美国科罗拉拉多州某一一加油站连连续57天的OVERSHORT序列序列自相关关图序列偏自相相关图拟合模型识识别自相关图显显示除了延延迟1阶的自相关关系数在2倍标准差范范围之外，，其它阶数数的自相关关系数都在在2倍标准差差范围内内波动。。根据这这个特点点可以判判断该序序列具有有短期相相关性，，进一步步确定序序列平稳稳。同时时，可以以认为该该序列自自相关系系数1阶截尾偏自相关关系数显显示出典典型非截截尾的性性质。综合该序序列自相相关系数数和偏自自相关系系数的性性质，为为拟合模模型定阶阶为MA(1)例3.8确定美国国科罗拉拉多州某某一加油油站连续续57天的OVERSHORTS序列拟合合模型的的口径拟合模型型：MA(1)估计方法法：条件件最小二二乘估计计模型口径径例3.8:对OVERSHORTS序列的拟拟合模型型进行检检验残差白噪噪声检验验参数显著著性检验验检验参数t统计量P值结论均值－3.75<0.0004显著10.60<0.0001显著延迟阶数LB统计量P值结论63.150.6772模型显著有效129.050.6171例3.8:OVERSHORTS序列序列拟合合与预测测图例3.91880-1985全全球气表表平均温温度改变变值差分分序列序列自相相关图序列偏自自相关图图拟合模型型识别自相关系系数显示示出不截截尾的性性质偏自相关关系数也也显示出出不截尾尾的性质质综合该序序列自相相关系数数和偏自自相关系系数的性性质，可可以尝试试使用ARMA(1,1)模型拟合合该序列列例3.9确定1880-1985全球球气表平平均温度度改变值值差分序序列拟合合模型的的口径拟合模型型：ARMA(1,1)估计方法法：条件件最小二二乘估计计模型口径径例3.9:对1880-1985全球气气表平均均温度改改变值差差分序列列拟合模模型进行行检验残差白噪噪声检验验参数显著著性检验验检验参数t统计量P值结论16.34<0.0001显著3.50.0007显著延迟阶数LB统计量P值结论65.280.2595模型显著有效1210.300.4247例3.9:全球气表表平均温温度改变变值预测测模型优化化问题提出出当一个拟拟合模型型通过了了检验，，说明在在一定的的置信水水平下，，该模型型能有效效地拟合合观察值值序列的的波动，，但这种种有效模模型并不不是唯一一的。优化的目目的选择相对对最优模模型例3.13:拟拟合某一一化学序序列序列自相相关图序列偏自自相关图图拟合模型型一根据自相相关系数数2阶截截尾，拟拟合MA(2)模型参数估计计模型检验验模型显著著有效三参数均均显著拟合模型型二根据偏自自相关系系数1阶阶截尾，，拟合MA(1)模型参数估计计模型检验验模型显著著有效两参数均均显著问题同一个序序列可以以构造两两个拟合合模型，，两个模模型都显显著有效效，那么么到底该该选择哪哪个模型型用于统统计推断断呢？解决办法法确定适当当的比较较准则，，构造适适当的统统计量，，确定相相对最优优例3.13续用AIC准则和SBC准则评判判例3.13中两个拟拟合模型型的相对对优劣结果AR(1)优于MA(2)模型AICSBCMA(2)536.4556543.2011AR(1)535.7896540.2866ARIMA模型型建模步步骤获得观察值序列平稳性检验差分运算YN白噪声检验Y分析结束N拟合ARMA模型例5.6对1952年——1988年中国农农业实际际国民收收入指数数序列建建模一阶差分分序列时时序图一阶差分分序列自自相关图图一阶差分分后序列列白噪声声检验延迟阶数统计量P值615.330.01781218.330.10601824.660.1344拟合ARMA模模