粘性流体绕物体的流动

第八章粘性流体绕物体的流动实际流动都是有粘流动，目前对粘性流动研究方法主要有：1、基于N-S方程的紊流模拟2、流体实验图8-1绕流示例流动分类

根据工程的实际情况，流动可分为：内流和外流。

内流：如右上图。

外流：

如右下图。图8-2流动分类示意图

本章的主要内容

本章主要讨论绕流问题，即外流问题。首先将介绍粘性流体的运动微分方程，然后将给出边界层的概念及其控制方程，最后针对绕流流动现象的一些具体问题进行了讨论。

第一节不可压缩粘性流体的运动微分方程

以流体微元为分析对象，流体的运动方程可写为如下的矢量形式：

这里：

是流体微团的加速度，微分符号：

称为物质导数或随体导数，它表示流体微团的某性质时间的变化率。

(8-1)(8-2)(8-3)一、微元体的受力分析和运动微分方程的推导

如图8－3所示，控制体的各边长分别为dx,dy,dz，微元体的体积为：（8－4）作用在微元体上的质量力为，其可用三个分量表示为：（8－5）这里：（8－6）如果的三个分量是，则：（8－7）图8－3流体微元六面体作用在微元体上的表面力图8-4微元体表面应力分析作用于微元体个面上的x轴方向的应力

把作用于控制体上x方向的力叠加起来，得到作用在微元体上的表面力在x方向的分量为：

作用于微元体个面上的Y、Z轴方向的应力

同理，表面力在y方向的分量为：表面力在z方向的分量为：

作用在微元体上的表面力

如果用

,和

表示单位体积的表面力，则：（8－8）作用在微元体上的表面力

将上式和式（8－7）代入式（8－1）则得：（8－9）这就是微分形式的运动方程。二、本构方程本构方程是确立应力和应变率之间关系的方程式。斯托克斯通过将牛顿内摩擦定律推广到了粘性流体的任意流动中，建立了牛顿流体的本构方程：

（8－10）上式也称为广义牛顿摩擦定律

三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程）将式（8－10）代入式（8－9）可得：

（8－11）

上式称纳维－斯托克斯（Naver-Stokes）方程，是粘性流体运动微分方程的又一种形式。对于不可压流体，其连续方程为：对于不可压缩粘性流体，粘性体膨胀应力为零，其运动方程为：

（8－12）

并考虑到拉普拉斯算子：

不可压缩粘性流体的运动方程还可写为：

（8－13）

如果质量力只有重力作用，用代表重力加速度，不可压缩粘性流体的运动方程的矢量形式为：

(8-14)对理想流动，认为流体无粘性，，这时运动方程简化为欧拉方程：

（8－15）

或矢量形式：（8－16）

当流体静止不动时，，则运动方程简化为：

（8－17）

第二节蠕动流动蠕动流动：雷诺数很低的流动。如：热电厂锅炉炉膛气流中绕煤粉颗粒、油滴等的流动；滑动轴承间隙中的流动，等等。一、蠕动流动的微分方程对于定常流动，忽略惯性力和质量力，在直角坐标系下，可把纳维尔――斯托克斯方程（8－14）组简化成：

（8－18）一、蠕动流动的微分方程如果流动是不可压缩流体，则连续性方程为：

（8－19）将式（8－18）依次求、、，然后相加，并结合连续性方程，即得：

即蠕动流动的压力场满足拉普拉斯方程。(8-20)二、绕球的蠕动流动对于图8－4所示的无穷远来流以速度均匀平行流沿轴绕半径为的静止圆球流动，得速度与压

图8－5小雷诺数条件下绕圆球的流动力分布为：

（8－21）

二、绕球的蠕动流动

式中为无穷远处来流的压力。圆球以很小的速度在静止流体中作等速运动时，在流场中通过x轴的平面上的流谱如图8－6所示。

图8-6小雷诺数条件下绕圆球的流动图谱

二、绕球的蠕动流动在圆球的前后两驻点A和B处的压强是压强的最高点和最低点，分别为：在前驻点A（＝180°）（8－22）

在后驻点B（＝0°）：（8－23）而切应力的最大值，发生在C（＝90°）为：

（8－24）等于A、B点处的压强与无穷远处的压强之差。二、绕球的蠕动流动球面上的压强和剪切应力也可根据速度分布公式算出，为：

（8-25）

对上述两式积分，可分别得到作用在球面上的压力和切应力的合力。将这两个合力在流动方向的分量相加，可得到流体作用在圆球上的阻力为：

（8-26）这就是圆球的斯托克斯阻力公式。式中d=2为圆球的直径。

第三节边界层的概念

边界层：物体壁面附近存在大的速度梯度的薄层。

图8－7绕平板的边界层示意图我们可以用图8－7所示的绕平板的流动情况说明边层层的概念。

设平板固定不动，来流的速度为，方向与板面方向一致。当流体流过平板时，根据固壁无滑移条件，板面上流体质点的速度为零，在与板面垂直的方向上存在很大的速度梯度，因此存在很大的摩擦应力，它将阻滞邻近的流体质点的运动。在边界层区域以外，速度基本均匀，保持和来流速度基本相同的大小和方向。绕流边界层在平板的前缘开始形成，随着流动向下游发展，受摩擦应力的影响，越来越多的流体质点受到阻滞，边界层的厚度也随之增加。在平板的前部边界层呈层流状态，随着流程的增加，边界层的厚度也在增加，层流变为不稳定状态，流体的质点运动变得不规则，最终发展为紊流，这一变化发生在一段很短的长度范围，称之为转区，转类区的开始点称为转类点。转类区下游边界层内的流动为紊流状态。如图所示，由于紊流边界层内的流体质点更容易和外部主流区的流动进行动量交换，因此紊流区域边界层厚度的增加比层流增加的更快。在转涙区和紊流区的壁面附近，由于流体的质点的随机脉动受到平板壁面的限制，因此在靠近壁面的更薄的区域内，流动仍保持为层流状态，称为层流底层和粘性底层。边界层的厚度两个流动区域之间并没有明显的分界线。边界层的厚度：通常，取壁面到沿壁面外法线上速度达到势流区速度的99％处的距离作为边界层的厚度，以δ表示，这一厚度也称边界层的名义厚度。边界层的厚度取决于惯性和粘性作用之间的关系，即取决于雷诺数的大小。雷诺数越大，边界层就越薄；反之，随着粘性作用的增长，边界层就变厚。沿着流动方向由绕流物体的前缘点开始，边界层逐渐变厚。第四节平面层流边界层的微分方程在这一节里，将利用边界层流动的特点如流体的粘度大小、速度与温度梯度大和边界层的厚度与物体的特征长度相比为一小量等对N-S方程进行简化从而导出层流边界层微分方程。在简化过程中，假定流动为二维不可压定常流，不考虑质量力，则流动的控制方程N-S方程为：

（8-27）将上述方程组无量纲化。为此考虑如图所示的一半无穷绕流平板，假定无穷远来流的速度，流动绕过平板时在平板附近形成边界层，其厚度为，平板图8－8绕平板层边界层的示意图前缘至某点的距离为。取和为特征量，可定义如下的无量纲量：

/////（）代入方程组（8－27），整理后得：

（8-28）式中雷诺数

与相比较是很小的，即<<或/<<1，同时注意到，

与、与、与具有同一数量级，于是、、和的量级均为1，并可以得到：～1～1～1～为了估计其他各量的数量级，由连续性方程可得：＝-～1因此~，于是又得到：

~~~1~

通过分析方程组（8－28）各项的数量级，方程组（8－28）中第二式中各惯性项可以忽略掉，同时可以略去、、。于是在方程组（8－28）的粘性项中只剩第一式中的一项。

如果仅保留数量级为1的项，而将数量级比1小的各项全部略去，再恢复到有量纲的形式，便可以得到层流边界层的微分方程组为：

（8-29）沿边界层上缘由伯努利可知：常数上式对求导，得：这样，层流边界层的微分方程又可写为：

（8-30）方程组（8－30）即为在物体壁面为平面的假设下得到的边界层微分方程。第五节

边界层的动量积分方程

边界层的动量积分方程是对边界层内流动的再简化。其推导过程有两种方法：一种是沿边界层厚度方向积分边界层的方程组，一种是在边界层内直接应用动量守恒原理。下面的推导采用第二种方法。边界层动量积分方程的推导图8－11所示为不可压缩流体的定常二维边界层流动，设物体表面型线的曲率很小。

取一个单位厚度的微小控制体，它的投影面ABDC

。用动量定理来建立该控制体内的流体在单位时间内沿x方向的动量变化和外力之间的关系。

图8-11边界层动量积分方程的推导设壁面上的摩擦应力为根据边界层的控制方程组，边界层内的压强仅近似地依赖于而与无关，设AB面上的压强为，DC上的压强为

控制面AC为边界层的外边界

其外部为理想流体的势流，只有与之垂直的压力，设AC上的压强为A，C两点压强的平均值。作用在控制体上的表面力沿方向的合力为：

边界层动量积分方程的推导式中为边界层外边界AC与方向的夹角，由几何关系可知：，上式经整理并略去高阶小量，得：单位时间内沿方向经过AB流入控制体的质量和动量分别为：经过CD面流出的质量和动量分别为：定常流动条件下，可知从控制面AC流入控制体中的流量为：由此引起流入的动量为：

边界层动量积分方程的推导式中V为边界层外边界上的速度。这样，可得单位时间内该控制体内沿x方向的动量变化为

根据动量定理，，则可得边界层的动量积分方程为：

（8-51）

上式也称为卡门动量积分关系式。该式是针对边界层流动在二维定常流动条件下导出的，并没有涉及边界层的流态，所以其对层流和紊流边界层都能适用。后面讲对积分方程的求解。积分方程的求解实际上可以把、和看作已知数，而未知数只有u、

和三个。

再补充两个关系式：一、沿边界层厚度的速度分布u=u(u)

二、切向应力与边界层厚度的关系式

一般在应用边界层的动量积分关系式（8－51）来求解边界层问题时，边界层内的速度分布是按照已有的经验来假定的。假定的愈接近实际，则所得到的结果愈正确。所以，选择边界层内的速度分布函数是求解边界层问题的重要关键。

第六节

边界层的位移厚度和动量损失厚度

边界层的厚度，表示粘性影响的范围。

位移厚度动量损失厚度边界层厚度计算式的推导根据伯努力方程可知：又由于：带入（8-51）得或

（8-52）

边界层厚度计算式的推导因此在边界层内由于粘性影响使体积流量的减小量，即上式中第一项积分。

位移厚度或排挤厚度可表示成：（8-53）同理动量损失厚度可表示为：

（8-54）将和代入式（8－51）,得

（8-55）边界层厚度计算式的推导式（8-55）是另一种形式的平面不可压缩粘性流体边界层动量积分关系式。、和都是未知数，它们决定于边界层内速度的分布规律。

将式（8－55）化为无因次形式，统除以，得

或

（8－56）式中H＝。计算曲面边界层时，用上式较为方便。

第七节平板边界层流动的近似计算

平板层流边界层的近似计算

对于式（8－51），如果边界层外部的压强梯度为零，方程变为：

(8-57）假定平板非常薄，对流动没有影响。边界层外层流动：则上式可变为：

(8-58）两个补充关系式:一、冯卡门假定，二、牛顿内摩擦定律。平板紊流边界层的近似计算采用将边界层内的速度分布与圆管内充分发展紊流的速度分布规律进行类比的方法。平板层流边界层的近似计算选择一三次项式速度分布：

(8-59)根据下列边界条件来确定待定系数和

.

(1)在平板壁面上的速度为零，即在处,

(2)在边界层外边界上的速度等于来流速度,即在处，

(3)在边界层外边界上，摩擦切应力为零，即在处，

(4)由于在平板壁面上的速度为零，即，由方程组（8－50）的第一式得

平板层流边界层的近似计算速度分布的四个系数可确定为：

于是，层流边界层中速度的分布规律为

(8-60)

第二个补充关系式：利用牛顿内摩擦定律和式（8－60）得出

(8-61)式中为动力粘性系数。将速度分布方程（8－60）带入方程（8－61）并积分得：分离变量，并积分得：

(8-62)平板层流边界层的近似计算式中为运动粘性系数，为基于长度的雷诺数。合并方程（8－62）和(8－61)得到：

(8-63)如果表面摩擦系数为：

(8-64)

那么，为：

(8-65)

根据动量损失厚度的定义式（8－54），并考虑式（8－62），可得动量损失厚度为：

(8-66)

同理，位移厚度为:

(8-67)上述计算结果是依赖于所假设的速度分布规律的，不同阶次的速度分布，可以得出不同的结果。表8.1

给出几种不同的情况。表8.1不同阶次的速度分布所得结果比较

5．48

1．826

0．730

0．3654．641．740

0．6460．3235．84

1．7510．6850．34332123÷øöçèæ-÷øöçèæddyy二、平板紊流边界层的近似计算如前所述由于流动的混参以及速度和压力的波动，紊流边界层的速度分布都采用一些模型假定。普朗特建议，当边界层雷诺数时，边界层内的速度分布可采用次方规律，即：

（8-68）

该式不能直接应用于边界层的内边界。通常认为粘性底层内的速度分布为线形分布。

雷诺数取时的摩擦阻力系数为：当时普朗特和施利希廷（H.Schlichting）采用对数速度分布，得到如下的半经验公式：表8.2层流与紊流边界层的近似计算公式汇总

平板的层流边界层和紊流边界层的重大差别有：紊流边界层内沿平板壁面发向截面上的速度比层流边界层的速度增加得快

沿平板壁面紊流边界层的厚度比层流边界层的厚度增加得快在其它条件相同的情况下，平板壁面上的切向应力沿着壁面的减小在紊流边界层中要比层流边界层减小得慢。在同一下，紊流边界层得摩擦阻力系数比层流边界层的大得多

实际情况下，边界层是层流和紊流同时存在的混合边界层

边