什么是正弦稳态电路

一、什么是正弦稳态电路动态电路在正弦激励下的完全响应由固有响应和强制响应组成的。在正弦激励下，动态电路的固有响应是随时间的增长而衰减的，经过一段时间后，固有响应将趋于零。这时电路的完全响应则由强制响应，也即稳态响应决定。在正弦激励下，处于稳态响应阶段的电路称为正弦稳态电路。第6章正弦稳态电路分析二、研究正弦稳态电路的意义正弦电压和电流产生容易，与非电量转换方便，在实用电路中使用广泛。复杂信号皆可分解为若干不同频率正弦信号之和，因此可利用叠加定理将正弦稳态分析推广到非正弦信号激励下的电路响应。三、正弦稳态电路的分析方法采用相量分析法，引入相量的概念以后，在电阻电路中应用的公式、定理均可以运用于正弦稳态电路。6-1正弦量6-2正弦量的相量表示法6-3正弦稳态电路的相量模型6-4正弦稳态电路的相量分析法6-5正弦稳态电路的功率本章的主要内容6-1正弦量6-1-1正弦量的三要素

正弦电压的瞬时值可表示为：正弦量的振幅正弦量的角频率，表示其随时间变化的快慢正弦量的初相位，表示其起始值的大小可以为正为负，为正时，最大值发生在计时时刻之前为负时，最大值发生在计时时刻之后规定的取值范围为：6-1-2正弦量的相位差

在同一正弦稳态电路中，任意电量都是同频的正弦量，因此各正弦量的区别在于振幅和初相不同。为了衡量各正弦电压和电流间变化进程之间的差别，即两个同频正弦量之间的相位关系，引入“相位差”的概念。相位差定义为：设两个同频正弦量为：同频正弦量的相位差等于它们的初相之差，是一个与时间无关的常数比较两正弦量的相位差时应注意：（1）两正弦量必须是同类型的函数（2）两正弦量必须具有相同的频率（3）初相位要小于π例：6-1-3正弦量的有效值

在工程上，常将周期量在一个周期内产生的平均效应换算为在效应上与之相等的直流量，以衡量和比较周期量的效应，这一直流量就称为周期量的有效值，用相对应的大写字母表示。当周期电流信号流过电阻时，在一个周期内，电阻所消耗的电能量为直流电流流过电阻时，在一个周期内，该电阻消耗的能量为如果上述两种情况下，电阻R消耗的能量相同，即则将电流I定义为周期电流信号的有效值。当周期电流为正弦电流时代入上式，可得正弦电流的有效值I为正弦电流也可表示为同理可得正弦电压u（t）的有效值为有效值在工程中应用十分广泛。大部分使用于50HZ的交流电表测读的都是有效值。交流电机和电器铭牌上所标注的额定电压或电流都是指有效值。通常所说的民用交流电的电压220V，指的就是电压的有效值。6-2正弦量的相量表示法正弦稳态电路中，电路中各支路的稳态响应是与激励同频率的正弦量。激励的频率通常是已知的，因此要求响应，只要确定它们的振幅和初相这两个量就行了正弦量为什么要用相量表示？相量表示法就是用复数来表示正弦量的振幅和初相，将描述正弦电路的微分方程变换为复数代数方程，而这些方程在形式上又与直流电路的方程相类似，从而大大简化了正弦稳态响应的分析与计算。6-2-1复数

一．复数的概念一个复数A有四种数学表达形式：直角坐标形式：三角形式：指数形式：极坐标形式：复数在复平面上用矢量表示baO二．复数运算规则复数的加、减运算复数的乘、除运算三、复数运算定理定理1若为a实数，A(t)为任意实变量的复值函数。则有定理2若A(t)和B(t)为任意实变量的复值函数。则有定理3若A为复数,其极坐标形式为。则有定理4若A、B为复常数,若在所有的时刻都满足则

6-2-2正弦量的相量表示法正弦电压复指数函数比较上两式可得有效值相量振幅相量两相量之间的关系引入相量后，正弦电压又可表示为

引入旋转相量后，上式对应的几何意义是一个正弦量在任何时刻的瞬时值，等于对应的旋转相量同一时刻在实轴上的投影，如图所示。称为旋转相量注意：（1）正弦量与相量仅为对应关系，并非相等关系，（2）正弦量的时间函数表达式称为正弦量的时域表示，相量表示形式称为正弦量的相量表示或频域表示。试写出它们对应的相量并作出相量图。[例6-1]正弦电压和电流分别为解：对应相量的为对应相量的为相量图为[例6-3]已知正弦电压相量为，频率，试写出对应正弦量的时域表示形式。解：正弦波对应角频率对应正弦相量的极坐标形式为：对应时域表示形式为：6-3正弦稳态电路的相量模型6-3-1基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫电流定律在时域内可表示为若

为正弦波，则有KCL的相量式同理，可得KVL的相量形式为[例6-4]如图所示，电路节点上试求，并作出各电流相量的相量图。解：由的时域形式，得：由KCL的相量形式，得：相量图如图所示由相量表示，得其瞬态表示：6-3-2R、L、C元件伏安关系的相量形式一．电阻元件因为所以由欧姆定律的相量形式电阻元件的相量模型为：+－二．电容元件电容元件的时域伏安关系：电容元件伏安关系的相量形式电容元件的相量模型为：+－电容的容抗电容的容纳由可得三．电感元件电感元件的时域伏安关系：由上式可得电感元件伏安关系的相量形式和相量模型+－电感的感抗和感纳[例6-6]电路如图示，已知R=15Ω，C=83.3μF,L=30mH,求电流I.＋－u(t)RCLiRiCiLi解：利用KCL相量关系，有：对应的相量图为

[例6-7]如图所示电路，电流表示数分别为A1读数10A、A2读数10A，试求A的读数。A1ARA2Ci1i2i解法1：假定R与C两端的电压为则对R支路，有由A1读数为10A，故对C支路，有由A2读数为10A，故由KCL的相量形式，有故A的读数为解法2：用相量图求解因R与C并联，两者端电压相等，故以电压作为参考相量A1ARA2Ci1i2i10A10A6-3-3阻抗与导纳阻抗与导纳的定义N＋－由以上定义可得，电阻、电感、电容的阻抗分别为对一般无源网络有阻抗的电阻分量阻抗的电抗分量阻抗的模阻抗角当X>0时,θZ>0,网络呈感性当X<0时,θZ<0,网络呈容性当X=0时,θZ=0,网络呈电阻性即无源网络可等效为一个电阻和电抗串联同理,一个无源网络的导纳可表示为电导分量电纳分量即无源网络可等效为一个电导和电纳并联综上所述，正弦稳态的无源二端网络，可等效为电阻和电抗的串联电路，也可等效为电导和电纳的并联电路。对于同一个二端网络，两者之间有如下关系：[例6-8]如图所示二端网络，试求该二端网络的输入阻抗并分析电路性质。－＋R－＋Z＋－LC＋－解：由二端网络输入阻抗的定义有：由于电抗X是角频率的函数,因此，在不同频率下，电路会呈现出不同性质：当时,电路可等效为一个阻值为R的纯电阻当时,电路可等效为一个R和L组成的串联电路

当时,电路可等效为一个R和C组成的串联电路

6-3-4正弦稳态电路的相量模型将电路中各元件分别用其阻抗（或导纳）表示,将电路各支路电压，电流都用对应相量形式表示，参考方向仍与原电路相同。＋－uS(t)＋－uL＋－uR＋－uCLRCi(t)(a)电路时域模型＋－＋－＋－＋－(b)相量模型6-4正弦稳态电路的相量分析法电阻电路的KCL，KVL和伏安关系为：正弦稳态电路的KCL、KVL和伏安关系的相量形式为：因为两者在形式上完全相同，电阻电路的各个定律、定理和和分析方法可完全推广到正弦稳态电路的相量模型中。应用相量法分析正弦稳态电路的步骤为：（1）将时域模型转换为相量模型；（2）利用与分析电阻电路相同的方法，列出对应复代数方程；（3）求解对应响应的相量；（4）将响应的相量变换为正弦量。[例6-12]电路如图所示。已知试用网孔分析法求＋－us(t)i13Ω＋－2i1i2＋－+－解：（1）画相量模型

V

（2）设网孔电流为，列网孔方程＋－+－（3）求解方程（4）求瞬时值解：（1）对应相量模型如下图所示。[例6-13]电路如图示。已知，试求is2(t)is1(t)u2(t)u1(t)5Ω10Ω（2）对如图所示相量模型进行等效变换（3）将电流源替换为电压流回路电流＋＋－－

＋＋－－

对应的瞬时值为[例6-14]正弦稳态电路如图所示。已知试求其戴维南等效电路。

解：（1）对应相量模型如图（b）所示，其中＋－uS(t)i1＋－2Ω1F2Fi1i＋－u(a)＋－＋－2Ω＋－(b)（2）求开路电压＋－＋－2Ω＋－(b)（3）求等效电阻Z0＋－2Ω＋－ab＋－2Ω＋－ab由上式可得等效阻抗＋－Z0用相量法分析正弦稳态电路时，线性电阻电路的各种分析方法和电路定理均可推广使用，差别仅在于所用电路模型为相量模型，电路方程均为相量形式。6-5正弦稳态电路的功率本节首先讨论正弦稳态电路中二端网络的功率，并引入有功功率，无功功率等概念，然后讨论正弦稳态电路中的最大功率传输问题。6-5-1二端网络的功率N＋－设无源二端网络N,其端口电压u和电流i为关联参考方向，且则网络N吸收的瞬时功率令，则有由上式可知：网络N吸收的瞬时功率由恒定分量和正弦分量两部分组成，其中正弦分量的频率是电压或电流频率的两倍。的波形如图所示由于电压和电流不一定同相，造成时正时负。但由于网络N存在电阻元件，网络N总体上是耗能的，所以大于零的部分大于小于零的部分。一、平均功率P(有功功率)二、功率因数λ因为,所以P恒大于等于0，所以有功功率P代表二端网络N实际消耗的功率，它就是瞬时功率的恒定分量。它不仅与电压和电流的有效值乘积有关，且与它们的相位差有关。当<0时(电流超前电压)，在λ后注明“超前”；当>0时(电流滞后电压)，在λ后注明“滞后”。三、视在功率S把二端网络端口处电压和电流有效值的乘积称为视在功率。为了与平均功率相区别，视在功率的单位用伏安（VA）

引入了视在功率的概念，功率因数又可表示为是阻抗角,也称为功率因数角视在功率不等于负载实际获得的功率，但它可以表示电气设备的容量。任何电器设备出厂时，都规定了额定电压和额定电流。因而视在功率也有一个额定值。对于电阻性电器设备，例如灯泡、电烙铁等，功率因数等于1，视在功率和平均功率在数值上相等，因此额定功率以平均功率的形式给出对于发电机、变压器这类电器设备，它们的输出功率与负载性质有关，只能给出额定的视在功率。在视在功率一定的条件下，只有提高功率因数，才能充分发挥电气设备的潜力。四、功率因数的提高如果负载呈感性，此时可在负载两端并联一个容量合适的电容

如果负载呈容性，此时可在负载两端并联一个合适的电感

五、无功功率Q无功功率的单位用乏（Var，无功伏安）P，Q和S构成一个如图所示的直角三角形，称为功率三角形。六、不同性质二端网络的功率1.纯电阻二端网络若二端网络等效为纯电阻R时,瞬时功率平均功率有功功率说明电阻一直在从外电路吸收能量而没有能量的交换。2.纯电感二端网络瞬时功率平均功率无功功率若二端网络等效为纯电感L时,p正负交替变化，说明有能量的来回交换3.纯电容二端网络若二端网络等效为纯电容C时,瞬时功率平均功率无功功率p正负交替变化，说明有能量的来回交换有功功率P/W无功功率Q/var视在功率功率因数S/VAcosφ电阻(R)UI0

UI1电感(L)0

UI

UI0电容(C)0

-UI

UI0功率名称元件名称R、L、C元件的各种功率4.一般二端网络一般的无源二端网络，可等效为一个电阻R和一个电抗X的串联有功功率无功功率二端网络吸收的有功功率等于其等效阻抗中电阻分量吸收的有功功率。[例6-16]正弦稳态电路如图示，已知试求u（t）提供的平均功率。＋－u(t)i1i23Ω4Ω2H＋－3Ω4Ω解法一：＋－3Ω4Ω解：电路相量模型如图所示。等效阻抗Z为Zu（t）提供的平均功率为＋－3Ω4Ω解法二：解：用网孔分析法求解

解得

因为电源提供的平均功率等于网络内部电阻消耗的平均功率的总和,所以有6-5-2最大功率传输条件＋－＋－Z0ZL11’N含源二端网络N可用戴维南等效,如图所示,设则负载电流故负载吸收的平均功率为上式中，为变量，而其它参数均为常量。由于变量只出现在分母中，因此当时分母最小，功率最大，此时上式中，为变量，令得综上所述