哈尔滨工程大学试卷2013级《高等数学下》期末试题

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哈尔滨工程大学本科生考试一试卷（2013年春天学期）2013-7-15课程编号：0911002课程名称：微积分A(二)(A卷)题号一二三四五六总分分数评卷人

得分评卷人二、单项选择题（每题3分，共15分）x2y2sin2xyy2,(x,y)(0,0).1.二元函数f(x,y)x在点(0,0)处0,(x,y)(0,0)(A)不连续(B)偏导数不存在(C)偏导数连续(D)不能够微2224y名姓得分评卷人一、填空题（每题3分，共15分）装x2y2z21u1.设函数u(x,y,z)161218,单位向量n3{1,1,1},则n|(1,2,3).订2.方程x2y2z23xyz所确立的函数zz(x,y)在点(1,1,1)处的全微分：线dz.号学3.设曲面是锥面zx2y2(z1),则曲面积分z2dS.4.方程xyyx2ex知足条件y|x1e的特解是.5.已知函数yC1exC2e2x为某二阶线性常系数齐次微分方程的通解，则此方程：级为.班

2.设f(x,y)连续,则dxf(x,y)dydyf(x,y)dx.1x1y(A)24x24xdx1f(x,y)dy(B)dxf(x,y)dy11x(C)24y22f(x,y)dxdy1f(x,y)dx(D)dy11y3.设L:x2y21,则曲线积分(xyx2y2)ds.L(A)2(B)(C)0(D)4.设an0(n1,2,),且an收敛,则级数(1)nnsin1a2n.n1n1n(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)敛散性没法确立5.函数yln(x23x2)展成x的幂级数的收敛域是.(A)(1,1)(B)(1,1](C)(2,2)(D)(2,2]第1页共8页第2页共8页得分评卷人三、计算题I（每题8分，共32分）1.设zf[xy,1(x2y2)],此中f拥有二阶连续偏导数,求2z.2xy2.计算二重积分(xy)2dxdy,此中D:xx2y22x.D

3.计算曲线积分(ey2sinx)dx(xy22xyey2)dy,此中L为沿抛物线Ly2x1从点A(0,1)到点B(1,0)的一段.装4.求微分方程yysinx的通解.订线第3页共12页第4页共12页得分评卷人3.求幂级数xn1的收敛域及和函数.四、计算题II（每题8分，共24分）n1n(n1)1.计算x3dydzy3dxdz(z31)dxdy,此中为曲面z1x2y2上侧.：名姓装订2.设函数f(x)1xx(1,1].（1）将f(x)张开为周期为2的傅里叶级数；线（2）设（1）中的傅里叶级数的和函数为S(x),计算S(2013)的值.：号学：级班第5页共8页第6页共8页得分评卷人五、应用题（8分）求曲线C:x2y22z20上点到xOy面的最短距离.xy3z5

得分评卷人六、证明题（6分）已知f(u)导函数连续,证明曲面zyf(x)的全部切平面过必定点.y装订线第7页共12页第8页共12页微积分A（二）（A卷）参照答案及评分标准

y22yey2......3分(12ye)dxdyBOOAD2013年7月15日一、填空题（每题3分，共15分）1.1;32.dxdy;3.2.2：4.yxex;名5.yy2y0;姓二、单项选择题（每题3分，共15分）1.D2.C3.A4.A5.B三、计算题I（每题8分，共32分）装1.zyf1xf2...................................................................................4分解答：x2zf1y(xf11yf12)x(xf21yf22)............................................4分订xy2.解答：（方法1）原式(x2y2+2xy)dxdy(x2y2)dxdy.................2分DD：线2cosr3dr...........................................................4分2d号2cos学152cos4d45.................................................2分2016（方法2）原式2cosrsin)2rdr2d2cos2sincos)r3dr2d(rcos(1cos2cos2

0x1dy或10dx0sinx)dx1..........................4分dx0dy21(1y2dy10y101分1cos13（方法2）原式(ey2sinx)dx(y22xyey2)dyxdyLL设Pey2sinx，Qy22xyey2，QP，故(ey2sinx)dx(y22xyey2)dyxyL与路径没关，取折线AO和OB作为积分路径.................................................3分原式01(1sinx)dx01)dy............................................4分y2dy(y21011分1cos13（方法3）原式10(y21y2)dy1x1ex11dx(ex1sinx)dx2x0102x1....................................4分ex1111(xex1ex1)11cos1...................................4分cosx003034.解答：特点方程为r210，解得r1,2i，原方程对应齐次方程的通解为：YC1cosxC2sinx.......................................4分（方法1）设原方程的特解为y*x(AcosxBsinx)..................................2分代入原方程得A1,B0，因此原方程的特解为y*1xcosx.....1分22原方程的通解为yYy*C1cosxC2sinx1xcosx....................1分2（方法2）设原方程的特解为y*Axcosx2分152(cos442152cos4d20

....................................................4分代入原方程得A1，因此原方程的特解为y*1xcosx................1分5.....................................................2分222sincos)d1xcosx45.....................................................................原方程的通解为yYy*C1cosxC2sinx....................1分2分四、计算题II（每题8分，共24分）232：223.解答：（方法1）补线BO和OA，D:1x0,0yx1，则1.解答：补面:z0,xy1，方向向下。..........................................2分级L(ey2sinx)dx(xy22xyey2设为由曲面和围成的闭地区，D:x2y21，则有班)dy第9页共8页第10页共8页3(x2y2z2)dv1dxdy22d2d1dr1dxdy.............................................33r4sin000D11152.1f(x)2F(x)a01x)dx21(11an1x)cosnxdx0....................................................................1(11bn1x)sinnxdx21xdcosnx(1n012xcosnx2cosnxdx2(1)n......................................211n0n0nF(x)x1f(x)12(1)n1x1)....................................2nsinnx(k12S(2013)S(1)F(10)F(10)021..............................................2223.Rlim(n1)(n2)1nxn1x1nn(n1)1n(n1)[1,1]..21S(x)xnxn11S(x)S(x)1....2n1nn1xS(x)(0,x)S(x)ln(1x)(1x1).....2S(x)(0,x)xn1(1x)ln(1x)x,1x1,S(x)1)1,x..................2n1n(n1.2S(x)xnln(1x)(1x1)..........4S(x)n1n

S(x)(0,x)S(x)xn1(1x)ln(1x)x,1x1,1)1,x................2n1n(n1.8x2y22z20zz2xy3z5...2L(x,y,z,,)z2(x2y22z2)(xy3z5)L2x0xL2y0yL2z4z30........................................4zLx2y22z20Lxy3z50(1,1,1)(5,5,5)(1,1,1)CxOy1.......................................................26F(x,y,z)yf(x)zzyf(x)yyn{Fx,Fy,Fz}{f,fx,1}..................