高中数学空间角

X第5讲空间角11．求平面α的斜线l与平面α所成的角，可从斜线上找(或取)一点P，过该点作平面α的垂线，连结斜足A和垂足B，则∠PAB即所找的线面角，找垂足的位置时，常根据面面垂直的性质定理找．一、线面角与二面角的找法22．二面角的平面角的找法(1)在二面角的棱上取一点，过该点分别在二面角的两个半平面内作棱的垂线，两射线的夹角，即二面角的平面角．(2)作棱的垂面，垂面与两个半平面的交线夹角，即二面角的平面角．(3)在二面角的一个半平面内取一点A，过A向另一个半平面所在平面作垂线，垂足为B，再由B向棱作垂线，垂足为C，则∠ACB就是二面角的平面角或其补角．3空间角的求证4[解]

(1)证明：设点O为AC，BD的交点．由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线，所以O为AC的中点，BD⊥AC.又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.所以BD⊥平面APC.567空间角的找法(1)线面角找出斜线在平面上的射影，关键是作出垂线，确定垂足．(2)二面角二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的常见作法有：①定义法；②垂面法．其中定义法是最常用的方法．三垂线法84．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝

，∠PAB＝60°.(1)证明：AD⊥平面PAB；(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值的大小；(3)求二面角P－BD－A的正切值的大小．910(3)如图所示，过点P作PH⊥AB于H，过点H作HE⊥BD于E，连接PE.因为AD⊥平面PAB，PH⊂平面PAB，所以AD⊥PH.又AD∩AB＝A，所以PH⊥平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影，∴BD⊥PE.从而∠PEH是二面角P－BD－A的平面角．1112[例5]

(天津)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．13解析：(1)证明：设AC∩BD＝H，连结EH.在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA.又EH⊂平面BDE且PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.1415平面图形的翻折问题1617181920对于翻折问题，应明确：在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质可能会发生变化．解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法．2122232425[思考题]

如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起后如图2，使二面角B－AE－C成直二面角，设F是CD的中点，P是棱BC的中点．(1)求证：AE⊥BD；(2)求证：平面PEF⊥平面AECD；(3)判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由．26解析：(1)证明：设AE中点为M，∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，∴△ABE与△ADE都是等边三角形．∴BM⊥AE，DM⊥AE.∵BM∩DM＝M，BM、DM在平面BDM内，∴AE⊥平面BDM.∵BD⊥平面BDM，∴AE⊥BD.27(2)证明：连结CM交EF于点N，∵ME∥FC，∴四边形MECF是平行四边形．∴N是线段CM的中点．∵P是BC的中点，∴PN∥BM.∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD.又∵PN在平面PEF内，∴平面PEF⊥平面AECD.(3)解：DE与平面ABC不垂直．证明：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，∵BM⊥平面AECD