专题10立体几何选择填空-三年高考数学理试题分项版解析

三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第十章立体几何【2014高考理第8题】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体P—EFQ的体积 x，y，z都有x有关，与y，z无y有关，与x，z无z有关，与x，y无【答案】考点：点到面的距离;锥体的体积 理第7题】在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0)B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,2)若S1,S2,S3分别是三棱锥DABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则 A．S1S2C．S3S1S3

B．S2S1S2DS3S2S3【答案】DABCxoy上的投影为ABCS12DyozzoxD2D1DABCyozzox上的投影分别为

2)，D2

2)，所以S2S1 2

,则它的表面积是 3 （C） 【答案】试题分析：1,设球的半径为R,则V74R328,解得R2,78S7422+312217

考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决【2014高 卷.理.7】若空间中四条直线两两不同的直线l1.l2.l3.l4，满足l1l2，l2//l3，l3l4则下列结论一定正确的是(l1

l1.l4既不平行也不垂 D.l1.l4的位置关系不确【答案】ABCDA1B1C1D1AA1为l2BB1为l3AD为l1BC为l41A1AACDBl1//l4AD为l1AB为l4，则l1l4AD为l1A1B1为l4，则l1与l4异面，因此l1l4的位置关系不D.【考点定位】本题考查空间中直线的位置关系的判定，属于中等题还是选“错误，否很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分，了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理．【20162 （A） （C） 【答案】

22416

1 224812S224SSS

28 【20137】1122 22 【答案】1，122

11则该正方体的正视图的面积的范围为【名师点睛】本题主要考查了简单空间图形的三视图，解决问题的关键是正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为[1，2]是解题的关键．【到的最大球的半径等于 【答案】高平齐，宽相等”进行判断【20157ABCDABCADBCBC2AD2AB2形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 （A） （C）

【答案】长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1V 12211215 【2016年高 理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

C.12【答案】PABC，其体积V1111113 对应的几何体为圆柱

22则该球的体积为 3

31212(试题分析根据正四棱柱的几何特征得该球的直径为正四棱柱的体对角线1212(R1，所以该球的体积V

4

4

D 考点：正四棱柱的几何特征；球的体积 B． C．2 D．3【答案】【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面1是211222342则该多面体的表面积为 5（A）185【答案】

（B）54

55555S236233235

54

【2015高考新课标2，理6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截 【答案】ABCDA1B1C1D1AA1B1D1

11a31a3a31a35a3A

15

DDC 【名师点睛】本题以正方体为背景考查三视图、几何体体积的运算，要求有一定的空间想象能力，关键是【2014新课标，理6】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件3cm6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）

9

3【答案】【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( 【答案】CAOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O径为R，此时 11R2R1R336，故R6，则球O的表面积O CS4R2144

OAOABBC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为

B.5

C.C.【答案】CCA为xCB为y轴，直线CC1zCA=CB=1M( M(

，A（1，0，0，

BM

(, ,1AN

2

BM,

BM |BM||AN

6

【考点定位】异面直线所成的角【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.

（B）1

（C）1

（D）1 【答案】21试题分析：由三视图可知,上面是半径 的半球,体积为V121

2 2

,21,1的四棱锥,体积V1111,

2 【 理8如图在正方体ABCDA1B1C1D1中点O为线段BD的中点.设点 段上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin的取值范围是 [

33

[

63

[

6,22

[223【答案】【考点定位】空间直线与平面所成的角18【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面，l.m，nm∥n⊥，则（ 【答案】试题分析：由题意知 l,l

n,nl【2015高考新课标1，理6章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）(A)14斛(B)22斛(C)36(D)66【答案】 (【解析】设圆锥底面半径为r，则23r8=r ，所以米堆的体积为 (

16)25=320

9

÷1.62≈22，

141

4

【2016高考新课标1卷】平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A//平面CB1D1I平面ABCD=m,IABB1A1=n,m、n332

222

333

3【答案】试题分析：如图,设平面

ABCDm,平面

ABB1A1n,因为//平面CB1D1mmnn,mnmn所成的角.AD,D1D1EB1C,连接CEB1D1,CEm,B1F1n,BDCEB1F1A1B,mnA1BBD所成的角,即为60,332

,考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角2该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 2262

（D）(42)2【解析】由正视图、侧视图、俯视图形状，可判断该几何体为四面体，且四面体的长、宽、为4个单4DABCABBC(42)2AC42

DBDC25

DA

66D DC何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20，则r=（ 【答案】2r14r2r2rr22r2r5r24r2=1620r=2，2【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提，对简单组合体三三视图问题，先看俯视图【20143】某几何体的三视图（单位：cm）90

129

132

1381S246234363334352 341381233 4,几何体的表面积单位：cm

323

3【答案】 【名师点睛】本题主要考查了根据三视图判断空间几何体的形状，再计算其体积，属于容易题，在解题过，根据三视图可以得到该几何体是一个正方体与四棱锥的组合，将组合体的三视图，正方体与锥体的体积计算结合在一起，培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行计算，体现了知识点的交汇. 积为V的球，若ABBCAB6BC8AA13，则V的最大值是（ 2

3【答案】试题分析：要使球的体积VR34R343)39 （1）（2）（3）【20158】如图，已知ABCDAB的中点，沿直线CD将ACD折成ACD，ACDB的平面角为，则（）A.ADB

B.ADB

C.ACB

D.ACB【答案】试题分析：设ADCAB2ADBD1ABt

AD2DB2

1212t2 2t2在ACBcosADB

2AD

AANDCBBMDCNM，NNP//MBAPNPDC，则ANPACDBANPRtANDDNADcosADCcosANADsinADCsin，BMPNsinDMcosBPMN2cos，RtABPAP2AB2BP2t22cos)2t24cos2在ANPcoscosANP

AN2NP2AP22AN

sin2sin2(t24cos2)2sinsin22cos2

2

cos2

cos2 cosADB 2sin21

2sin2cos2

sin2

sin2

sin2∵sin2

0

sin2

0，∴coscosADB（当 时取等号2ADB[0,]ycosx在[0,上为递减函数，∴ADB【名师点睛】本题主要考查立体几何中的动态问题，属于较难题，由于ABCA'CB的大小关系是不确定的，再根据二面角的定义即可知ADBACBC时，等号成立以立体几何为背景的创新题是浙江高考数学试卷的热点问题，12年，13年选择题压轴题均考查了立体几【20135某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(3

3

【答案】【解析】由几何体的三视图可得，该几何体是一个横放的直棱柱，棱柱底面为梯形，梯形两底长分别为12

【答案】【20155A13C12【答案】

B23【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V11221(1

【考点定位】组合体的体积【 33

3【答案】3ABCDAB'CDAEFG和右上角三棱锥C'EF'G'，如下图，则多面体的表面积 261112

A．【名师点睛】三视图是高的热门考点，解题的关键是熟悉三视图的排放规律：长对正，高平齐，宽，【 理8从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对其中所成的角为60的共 ，A．24 B．30 C．48 D．60【答案】试题分析：在正方体ABCDAB'CDAB'CDA'C成60BC'，B'C，ADAD，ABAB，D'CDCAB'CD中另一条对角线60166个面共有166对直线，去掉重复，则有16=482【2015高考5mn是两条不同直线， 若垂直于同一平面，则若mnm与n若不平行，则在mnm与n【答案】【2015高 332（A）1 （B）23322（C）12

【答案】2ABDBCDABCACD2

1

2

122sin60 3

S

21

322

3【名师点睛】三视图是高的热门考点，解题的关键是熟悉三视图的排放规律：长对正，高平齐，宽【 （0,0,2（2,2,0（1,2，1（2,2,2 A.①和 C.④和 【答案】D.

【答案】视图不可能是三角形，可知该几何体不可能是圆柱【20157】若lm是两条不同的直线，m垂直于平面l

l 充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条 【答案】【解析】若lmm垂直于平面，则l或l；若lm垂直于平面，则lmlml【2015高考理4设，是两个不同的平面，m是直线且m⊂．“m∥”是“∥” 充分而不必要条 B．必要而不充分条C．充分必要条 【答案】【解析】因为mm⊂．若m∥”，则平面、平行，不能推出//，反过来若//mm∥，则m∥”是∥”条件 2正(主)视 侧(左)视俯视5552 B．4 C．2 555【答案】【名师点睛】本题考查三视图及多面体的表面积，本题属于基础题，正确利用三视图还原为原几何体，特别是有关数据的还原，另外要利用线面垂直的性质，判断三角形的形状，特别是侧面B角形，正确求出三个侧面的面积和底面的面积.【2014辽宁理4】已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 若m//,n//,则m/ B．若m，n，则mCmmnnD．若mmnn【答案】AmnmnA错误；B．若mn，mnCm，mnn或nC错误；Dm，mnnnn与相交【2014辽宁理7】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 A．8

B．8

C．82

D．84【答案】222321284【2015湖南理2】某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一 新工件的体=原工件的体

8

4(4(212(2【答案】生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大思路：一【 m m324242424正视 侧视俯视

．322的圆锥，其体积为p1241p222=20p（m3 【2016年高考 理数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所 133333333试题分析由三棱锥的正视图知三棱锥的高为1，底面边长为 3所以三棱锥的体积为V1122sin1201 3 【2016高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm，则该几何体的表面积是 【答案】 试题分析：几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,22(224)32，由于两个长方体部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为2(222244)2(22)72【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构S19，则V1的值 32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r、hr、

2rh2r

h1r2，又

1 2

r

r r

r2 11 ，所以1 ，则

111

121 r

r r

r2 2 【201595428的圆柱7771452228=1r24r28r7 【201413】PABCDEPBPCDABE2为V，PABC的体积为V，则V1 2V1V214

12

设点CPABhEPAB1h2V

1

12

14 3SPAB用相同的量表示两积【20162

mn（1）如果mnmn，那么（2）如果mn，那么mn（3）如果mm//（4）如果m//n,//，那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确题有 ．(填写所有正确命题的编号）【2016高考浙江理数】如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.ABCP上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值 12，ABCABBC2ABC，.所以BADBCA.由余弦定理可得AC2AB2BC22ABBCcos2222222AC23

123设ADx，则0t23，DC x3在ABD中，由余弦定理可得BD2AD2AB22ADABcosx2222x2cos 23x4x223x223x在PBD中PDADxPBBA2x222(x2x222(x223x3由余弦定理可得cosBPD .所以BPD.

2PD

2x P D PBD的垂线，垂足为O.PO SPBD2BDd2PDPBsinBPD，即 x223x4d1x2sin， x223xx223x33而BCD的面积S1CDBCsinBCD1 x)2sin30133

x) 3x223xPOABC所成角为PABC3x223xPBCD的体积V1

h1 dsin1

d11

x) 3 x(23 x(236x223x(x3)23

3

3 x2x223x

，因为0x

，所以1t233则|x t213333（1）当0x 时，有|x33

x

t213t2故x3t21(31(3t21)[23(3t2 14t21(

t) 6V(t1(41，因为1t2 t2所以V(t)0，函数V(t在[12上单调递减，故V(tV(1)141)13336 333（2）

x23时，有|x

|x

t213t2故x3t21(31(3t21)[23(3t2 14t2

1(

t) 61 由（1）可知，函数V(t)在(1,2]单调递减，故V(t)V(1) (1) 6 PBCD12x的取值范围讨论，用导数研究函数的单调性，进【2015高 段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值 25zMzMP EBFACx【名师点睛】空间的角与距离的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解.解本题要0度的..当点MP处时，EMF（MEMFMQ点时，角最小，从而余弦值最大.【2016高考 【答案】1 (21)323【2015高考浙江理13如图三棱锥ABCD中，ABACBDCD3,ADBC2分别是AD,BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是

M,7【答案】8DNDNPPMPC，则可知PMC2线AN，CM所成角（或其补角）易得PM1AN 2PN2PN2CN23AC2AMPC

，CM

22∴cosPMC

7ANCM78282222【考点定位】异面直线的夹角【2014,理63倍，则其母线与底面角的大小为（角函数值表示1【答案】 3r，母线长为l，由题意rl3r2，即l3r，母线与底面夹角为 cos 为， 【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数rlr，l，h，之间关系.【 BCD′ACBCD′AC23uwBC所以2vw0u＝2v，w＝－2v.v＝1D′ACBCBC＝(－1,0，－1)n·BC＝0BCD′ACBCD′AC由CB＝(1,0,0)BD′AC2

|nCB|n

|2110(2)0 22 22123

D′AC的距离为3d

|ab|a

【2015高 ，理10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m，则该几何体的体积m3111111 1正视 侧视111111俯视8【答案】83【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为11的圆锥，所以该几何体的体积V122211218 【考点定位】三视图与旋转体体积公式【名师点睛】主要考查三视图与旋转体体积公式及空间想象能力、运算能力.了学生对旋转体体积公式的掌握与应用、计算能力【2015高 ，理17（本小题满分13分）如图，在四棱柱ABCDA1A底面ABCDABACAB

A1B1C1D1ACAA12ADCD=5,M和NB1C和D1D的中点MNABCDD1-AC-B1EABNEABCD1AE13【答案】(I)见解析； ；

727 NM BC NMDABC(I)证明：依题意，可得n0,0,1ABCDMN050 MNn0MNABCDMNNE,nNENE(III)A1EA1B1，其中[0,1E(02NE1,NE,nNENE

1，整理得24301(1(1)2(2)27又因为[0,1]，解得 277 27【考点定位】直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用.【名师点睛】本题主要考查直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用.是向量的最大优势，把空间一些难以问题转化成计算问题，有效的解决了一些学生空间想象能力较差的问题.．【20161（12分）如图,A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,ABEF．正方形

AFD

,D-AF-EC-BE-F都是ABEFE-BC-A（I）见解析（II）2nmnmn（I）F平面FDC,结合F平面F,可得平面F平面FDC（II）建立空间坐标系,分别求出平面Cnmnmn角由已知,//F,//平面FDC又平面 平面FDCDC,故//CD,CD//F由//F,可得平面FDC,所以CF为二面角CF的平面角CF60．从而可得C20,3所以C10,3040C34,3,400．nx,y,z是平面C的法向量,则

3zn0,即4y ,mCD的法向量,n,mnm2nn,mnm2n故二面角C的余弦值为219【 ，理17】如图，在四棱锥P

ABCDPA^ABCDAD

AB，AB//DCADEDED

DC

AP

2AB=1EPCC BE^DCBEPBDFPCBF

ACF

P3（Ⅱ）33

（Ⅲ） 33（D(020)P(002)EPCEzEzEyDBxCA（Ⅰ）BE=(0,1,1)DC=(200)BE

0．∴BE

DC

BD=BD=

2)．设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量，则 ìï-x+2y=0y=1n=(2,1,1)PBDn,BEn,BEn×BEn

2z=

26 26 ，∴直线BE与平面PBD所成角的正弦值 （方法二ⅠPDMEM，AMEMPCPDEM//DCEMP

DCEM//ABEM2

ABABEMBE//AMMEMED PA^ABCDPA

CD，而CD

DA，从而CD^PADAMÌPADCD

AMBE//AMBE

CDBM（Ⅰ有CD^PADCD

EM//CDPD

EMAD

APMPDPD

AMPD

BEPD^BEMBEM^PBDBEPBDBMBE^EM，可得ÐEBM为锐角，故ÐEBMBE222平面PBD所成的角．依题意，有PD= ，而M为PD中点，可得AM ，进而BE ．2223 3

sin2 2

BE33所成角的正弦值 33PG H 如图，在DPACFFH//PAACHPA^ABCDFH^ABCDFH

ACBF

ACAC^FHBAC

BHABCD可得CH=3HA，从而CF=3FPPDCFG//DCPD于点GDG=3GPDC//AB，故GF//ABABF,GAB

PA，AB

ADAB^PADAB

AGÐPAGF

AB

P的平面角．在DPAGPA

，PG

1PD 2 ?

45，由余弦定理可得AG ，cos?2

F33

AB

P33采用传统方法去解。立体几何问题是高考必考问题，也是考生容易得分问题，备考时应高度重视【20162ABCDACBD交于点O，AB5AC6ADCD上，AECF5，EFBDHDEFEF折到DEF位置，OD4

E,DHABCDBDAC2（Ⅱ）2（Ⅰ）ACEFD'HOHD'H平面ABCD（Ⅱ） （I）ACBDADCDAECF

，故ACEFAB2AB2EFHDEFDHAB5AC6DOB0EF//ACOHAE1.所以OH1DHDH3

4 于是OH1DHOH2321210DO2，DHOH.DHEF，而OHEFHDH平面ABCDzzADOHCxB（II）HHFxHxyzH000A320B050，C310D003AB(340AC600

， 1

mAD

3x1y13z1nx2,所以可以取mnx2,6x2

,

nnAD 3x2y23z2所以可以取n0,3,1.于是cosm,nmn 75，

sinm,n295BDAC295

|m||n 50 【2014高 MADE2，B，CAM，MDPABCDE中，FPEABFFDPC分别交于GH.ABFGPAABCDEPAAEBCABFPH（2）2.（1）AB//FG（2）PAABCDEPAABPAAE，AxyzABF|cosn,BC

|nBC|n||BC

BCABFH(uvwHPCPHPC(01PH（1）ABPDEAB//PDE，ABABFABFPDEFGABFGH(uvwHPCPHPC(01，即(uvw2)(2,1,2，所以u2vw22，因为向量nABF的法向量，所以nAH0即(0,1,1(2,220，解得2H的坐标为4

2,2)3(4)2(2)(4)2(2)2(333【2015高考理17如图在四棱锥AEFCB中，△AEF为等边三角形平面AEF平面EFCBEFBCBC4EF2aEBCFCB60OEFAOBE求二面角FAEB的余弦值BEAOCaAFOFOEB（2）

（3） AEFEFCB，借助性AOEFCB，进而得出线线垂直，第二步建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，AEFAEBAEB的法向量，利用线线垂直，数量积AOBEBE

予以取舍试题解析：(Ⅰ)AEFEFCB△AEFOEF的中点，则AOEFCBBEEFCBAOBE

EF3(Ⅱ)CBDOD,O3

D、OA为x、y、z33

(2

312AEF与yAEF的法向量为n(0,1,0)AEB312n22(x,yn22

AE,ax-

0,x

3

02y1，则n(3,1,1)，二面角FAEB的余弦25n 55 cosn,n 5

nn nn 5的余弦值为 5553有（1）AOEFCBAOBEBEAOCBEOC3EB33EB33

BE

0，解得a

2或a

，由于a3

2，则a43【2014高考卷.理.18】(本小题满分13分)如图4，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCDDPC30AFPCFFE//CDPDECF平面ADFDAFE的余弦值ADADEFCP图22【解析】 PD平面ABCDPDAD，又CDAD， CDDADPCDADPCAFPCPCADF，即CFADF，(2)AB1RtPDCCD1，又DPC，3PC2PD ，由(1)知CFDF3DF

3，AF2

7AD2AD2DFCF

1FE//CDAC2AC2AFDECF1，DE 3EF3CD3 如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A0,E 3,0,0，F 3,3,0，P

3,0,0，C0,1,0 zzABDyEFPxAE 3,0,0m

mxyzAEF的法向量，则

，又

m

EF0,3,mAE 3xz

所以

，令x4，得z ，m4,0,3，3mEF3y3 由(1)ADFPC3,10，mmDAFE的平面角为mmm, cosm,

24419

257，即所求4419【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定以及利用空间向量法求二面角，属于中等题【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，ACO的直径，EFO'FB是圆台的一条母线3G,HEC，FB的中点，求证：GH3 2

，AB=BC.FBCA的余弦值7（Ⅱ）77（Ⅰ）（Ⅱ）算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法立空间直角坐标系求解；解法二则是找到FNMFBCA的平面角直接求解.连接OO,则OOABCABBCAC是圆OBO以O为坐标原点，建立如图所示的空间直