紧支撑小波的构造-小波变换与图像、图形处理技术

第3章紧支撑小波的构造

孙延奎

清华大学计算机科学与技术系

内容提要(1)1.构造紧支撑正交小波的重要意义

由滤波器序列构造正交小波的思路与难点由有限滤波器序列构造正交小波的充分条件小波消失矩的定义及等价条件Daubechies紧支撑正交小波的构造与性质紧支撑正交小波的代数构造方法

正交尺度函数与小波函数的做图正交小波变换的Matlab实现与应用

内容提要(2)构造紧支撑双正交小波的重要意义

2.双正交多分辨分析3.由滤波器序列构造双正交小波的思路、必要条件4.双正交小波消失矩的等价条件5.由有限滤波器序列构造双正交小波的充分条件6.具有对称性的紧支撑双正交小波的构造7.具有对称性的紧支撑双正交小波的代数构造方法8.紧支撑双正交尺度函数与小波的作图9.双正交小波变换的Matlab实现与应用构造紧支撑小波的重要意义分析Haar,Shannon,Battle-Lemarie小波的特点，可知构造紧支撑正交小波的重要性

由滤波器序列构造正交小波的思路与难点

关键是，由h唯一确定一个正交尺度函数-----难点!!!问题对于，在满足什么条件下，两尺度方程存在解

，并且它是L2(R)中的正交尺度函数？或者收敛，并且收敛于L2(R)中某个正交尺度函数的Fourier变换？必要条件1）2）例3.1表明，由不是正交尺度函数，因此，条件1）和2)只是必要条件，非充分条件。两个特解通过两尺度关系确定的由有限滤波器序列构造正交小波的充分条件例3.1

满足：，相应的两尺度方程为经过计算知道，或容易验算，当时，因此，的平移族不是正交系，从而不是L2(R)的正交尺度函数。充分条件

矩阵A的特征值1是非退化的（即单根）。其中p阶消失矩条件在范围内的上界值

1)2)3)1)2)3)Lawton,1990Daubechies,1988有没有充分必要条件？Lawton1991

W.Lawton.Tightframesofcompactlysupportedaffinewavelets,J.Math.Phys,31(8):1898-1901,1990W.Lawton.Necessaryandsufficientconditionsforconstructingorthogonalwaveletbases.J.Math.Phys,32(1):57-61,1991TenLectureNotesonWavelets,1992小波消失矩的定义及等价条件小波消失矩的定义、性质和作用：

的k阶矩。，，p阶消失矩p次连续可微的函数，是p阶消失矩的实正交小波，支撑j

分辨率小波消失矩的等价条件正交尺度函数与正交小波；

p次连续可微

具有P阶消失矩，其中，其中消失矩的性质祥见命题3.1。Daubechies紧支集正交小波

的构造与性质Daubechies求解法代数构造方法根据Riesz引理，存在bn（可求出）使得求出Riesz引理：设M是一个非负的只含余弦的三角多项式则存在三角多项式使得附：详见“小波十讲”【见课外阅读资料】

Daubechies求解法中的每对互为倒数的零点从由于中选择，使其在单位圆内,从而求出Daubechies小波的支撑分别为性质：，p=2时,D4小波的求解取位于单位圆内的零点组成能量分布特点:注解：这正是例3.1中的第一个特解。该滤波器在Matlab中用db2表示。D4尺度函数和D4小波函数:D4尺度函数D4小波函数D4小波函数具有分形性质：在二进点处处连续但处处不可导。顺便的，D6尺度函数与小波函数均连续可微。对称性讨论:小波的主要参数包括其支撑的大小、消失矩阶数、正则性和对称性等.Daubechies小波是高度非对称的.

Daubechies通过对的紧支的所谓Symmlet滤波器，如sym4,sym8等.做优化选择,构造出具有近似对称性在Matlab中,用wfilters()读取小波的滤波器系数;用

waveinfo()可了解小波的一些性质.对称性条件：紧支撑正交小波的代数构造法构造具有p阶消失矩的紧支撑正交小波的代数约束条件由此，我们可以给出构造有限正交小波滤波器的代数方法.具有p阶消失矩构造具有p阶消失矩的紧支撑正交小波的代数约束条件p=1p=2p=3代数构造方法的讨论

1.与Daubechies充分条件的异同如何判定从代数约束方程中求出的滤波器是否是小波滤波器?

解决方法:（可求出）只要验证在上的最大值小于等于即可。1）用Lawton规则2）Daubechies充分条件中最后限定条件的等价条件令代数构造方法的讨论2.代数约束方程的一般求解方法

解决方法:

分为非线性部分与线性系统.先求解后者,再代入前者进行简化求解.参考文献：YankuiSun,FanBao,ChenDing.ResearchonSolvingAlgebraicEquationSetofOrthogonalandBiorthogonalWaveletUnderVanishingMomentConstraint.Proceedingsof2007InternationalConferenceonWaveletAnalysisandPatternRecognition,1847-1852,2007.

两种构造方法的比较已知条件相同，即都是求解具有p阶消失矩的紧支撑正交小波，但求解方法不同。Daubechies方法比较复杂，但利用Riesz引理，从理论上可以求出消失矩阶数p较大时的解。代数构造方法理解起来相对简单，但适合较小消失矩阶数p（p<=11）的求解，p太大时，求解困难。由于实际应用中，主要应用的是较小的p,所以，能够满足实际应用需求。尺度函数与小波函数的求解与作图

问题：当低通滤波器h确定后，如何求解尺度函数与小波函数？一般地，尺度函数与小波函数不存在解析表达式，如何绘制尺度函数与小波函数的图形？尺度函数的精确求解

例:求Haar小波的尺度函数由于所以实际求解问题：无穷积很难计算出来！！尺度函数的迭代求解（近似解）

假定{hk}为已知，选用某一函数作为迭代算法的初始函数，只要它满足：即可。迭代过程按下式进行：易证明，如果迭代收敛，则h对应的尺度函数与初始函数的选取无关。一个简单而实用的初始化选择为进一步可证明，相应尺度函数与小波函数的紧支撑性质。当正交尺度函数与小波函数的做图

方法一：求出正交尺度函数与小波在二进点处的值如果h的支集为[0,N]，则φ和ψ的支集分别是和Step1计算出Step2Step3如取j=10即可绘制出尺度函数的图形举例

可以算出,对于D4尺度函数,有于是,可由D4的两尺度方程和小波方程做出其尺度函数与小波的图形.在Matlab中,用wavefun()可绘制尺度函数与小波函数的图形.在使用时需要输入“小波的名字”，在Matlab中没有被命名的小波难以做图。相比之下，上述方法一具有更好的应用范围。即只要知道低通滤波器系数即可做图。顺便指出，Matlab绘制的尺度函数与小波函数图形没有给出精确的支撑区间。方法二：对单位向量用逆小波变换生成尺度函数与小波函数的图形正交尺度函数

多分辨分析

待分析的函数

分解信号f首先需要初始化.该步包含两部分.1)先要决定近似空间VL,使其能最佳地反映f的各种信息.2)需要选择,以便能最佳地逼近f.VL中对f的最佳逼近,根据能量观点,是f在VL上的正交投影PLf.其中,问题：如何计算？定理:设是一个紧支撑的(实)尺度函数生成的多分辨分析.若是连续的,那么对足够大的j,有

注:该结论对分段信号f也成立.也可应用于具有良好局部化但不是紧支撑的情况.

根据上述定理,可以用下式近似投影PLf:附注：定理的证明见教材参考文献5。

结论:用逆小波变换可重构,从而绘制出尺度函数高精度的图形.

结论:用逆小波变换可重构,从而绘制出小波函数高精度的图形.Matlab小波工具箱中若干函数介绍wfilters()

waveinfo()wavefun()upcoef()

我们发现，利用upcoef()可简单地绘制尺度函数与小波函数的图形,非常简单（参考P59-60）.与wavefun()相比的优势在于,只要给定滤波器的系数,就能够做图.构造紧支撑双正交小波的重要意义

理想的目标：寻找一个小波，使得其二进伸缩与平移构成L2(R)的标准正交基。但Daubechies已证明，具有紧支撑和对称性的正交小波仅有Haar小波。注意,Haar小波是p=1的Daubechies小波.解决办法之一：稍微放松限制条件，寻找比标准正交基要求较低的基：Riesz基。从而构造双正交小波由滤波器序列构造双正交小波的思路与必要条件在存在的情况下，

满足的必要条件

满足什么条件下,对偶尺度函数与对偶

假定是实系数滤波器。1)2)小波存在?必要条件（1）必要条件（2）滤波器组对任何输入信号实现精确重构，当且仅当这是两通道滤波器组完全重构条件，即PR（PerfectReconstruction）条件在实际应用中，我们常用有限长的滤波器，因此有必要讨论这种有限长滤波器的完全重构条件。的完全重构条件是有限滤波器命题3.2实滤波器（称滤波器是对偶的）必要条件有限长滤波器

使得尺度函数

和对偶小波

存在的必要条件是：双正交小波滤波器的约束条件

对于有限滤波器

,称为双正交小波滤波器的基本约束条件。一般地，对于双正交小波滤波器，有双正交小波消失矩的等价条件在实际应用中,通常需要构造满足一定阶数消失矩的小波.命题3.3给出了双正交小波消失矩与低通滤波器之间的关系.由命题3.3可得出如下结论：

具有阶消失矩具有p阶消失矩由有限滤波器序列构造双正交小波的充分条件所求得的必须能够使无穷乘积和收敛于中的函数和。难以验证！还需要满足什么条件，才能够使上述无穷乘积收敛？从而使得构造充分条件:理论问题:若满足:基本约束条件、消失矩条件，则出的滤波器是真正意义上的双正交小波滤波器。Cohen,Daubechies和Feauveau于1992年提出了一种构造紧支撑双正交小波的方法，简称CDF方法。和收敛于中的函数和满足正交关系；对于双正交的Riesz基

若则具有对称性的紧支撑双正交小波的构造构造对称或反对称的紧支集光滑双正交小波是可能的。对称或反对称小波由具有线性相位的完全重构滤波器生成。性质1.如果和是关于0对称的(奇数长的)对偶低通滤波器。则可证明，和关于0对称；和关于1/2对称；和是关于1/2对称的(偶数长的)对偶低通滤波器。则可证明，和关于1/2对称；和关于?反对称；2.如果<习题3.6><习题3.7>，则都是奇数长的滤波器。令它们的，具体地，使得即长度之差一定是2的奇数倍。两者不可能等长。进而，容易验证因此，也是偶对称序列。从而，对应的尺度函数与双正交小波都是偶对称的函数。问题：双正交对偶小波的消失矩的奇偶性如何？与滤波器的长有何关系？具有对称性的双正交小波滤波器性质的进一步分析若长度为，则可以证明，存在整数这时，都是偶数长的滤波器，设其长度分别为，具体地，则可以证明，存在整数，使得即长度之差一定是4的整数倍。两者等长是可能的。进而，容易验证因此，都是反对称序列。从而，对应的尺度函数是偶对称的，相应的双正交小波函数一定是反对称的。若，则称之为关于0.5对称的双正交小波滤波器，问题：双正交对偶小波的消失矩的奇偶性如何？与滤波器的长有何关系？满足对称性要求的双正交小波的低通滤波器的长度关系

，满足以下反对称条件的双正交低通1.对于有限长的实序列滤波器不存在，为什么？，满足以下反对称条件的双正交低通2.对于有限长的实序列滤波器不存在，为什么？3.对于有限长具有对称性的双正交小波的低通滤波器，可以证明，两者长度具有不同奇偶性的情况是不存在的。具有对称性的紧支撑双正交小波的代数构造方法仅考虑关于0对称、紧支撑、具有消失矩约束的双正交小波的代数求解关键技术

在上述对称性条件下，1）推导如下消失矩条件的等价代数条件2）推导附加条件的等价代数条件是关于0对称的对偶低通滤波器，其长度分别为

和设和，则可以证明(见P69性质3.3)具有p阶消失矩具有阶消失矩其中，hj表示在h的任意相邻系数之间插入2j-1个0得到的滤波器。验证在（R?）上的最大值分别小于和即可.综上所述,若是关于0对称的对偶低通滤波器，其长度和和分别为

，是拟构造的双正交小波的消失矩如果

满足以下条件可构造具有阶消失矩的关于1/2对称的双正交小波在（R?）上的最大值分别小于和即可.并且其中，则由小波滤波器的几种常用记法：

滤波器名称，如Haar滤波器，Daubechies滤波器等。：是的消失矩数，是的消失矩数。：是分析滤波器的长度；是综合滤波器的长度。求解具有2,2阶消失矩的(5-3)双正交低通滤波器.这里构造的滤波器称为（5-3）小波滤波器.它对应的整数小波变换在JPEG2000中用做无损图像压缩的默认滤波器.(5-3)滤波器具有2,2阶消失矩,在Matlab中用bior2.2表示。求解具有4,4阶消失矩的(9-7)双正交低通滤波器求解后8个线性方程组可得，将其代入非线性方程组，（一般的，可证明第1个为冗余的）用Matlab求解，可得唯一的实数解：从而可得(9-7)滤波器具有4,4阶消失矩,在Matlab中用bior4.4表示.在JPEG2000中用做有损图像压缩的默认滤波器.紧支撑双正交尺度函数与小波的作图

(未考虑精确支撑时的情况)（5-3）小波滤波器对应的尺度函数和小波的图形两种方法：wavefun(),upcoef()（9-7）小波滤波器对应的尺度函数和小波的图形(未考虑精确支撑时的情况)问题能否求出（5-3）、（9-7）双正交尺度函数与小波函数精确的支撑区间？问题讨论1)代数系统的一般求解方法.分成两部分考虑.2)如何验证从代数约束方程求出的滤波器一定保证相应的无穷乘积收敛?

有没有对应的Lawton规则?尚需研究！！3）若低通滤波器都是关于1/2对称的，有没有简化的消失矩代数等价条件。当然，如果没有，也可以给出相应的代数约束条件求解。也即，可给出构造具有

消失矩的反对称的双正交小波