第六讲：亚里士多德的词项逻辑

西方哲学问题

第六讲

亚里士多德的词项逻辑教员：杨海波邮箱：2313522619@电话效推理（好的论说）论说的好坏与其前提与结论的真假无关；一个好的论说可能前提与结论都是假的；

所有的狗都是绿的。苏格拉底是狗。所以苏格拉底是绿的。2+2=5罗素与教皇是两个人。所以罗素就是教皇。有效推理（好的论说）一个坏的论说可能前提和结论都是真的。

好的论说不会有使得前提真而结论假的情形。或者说，一个论说是好的，如果它的论说形式是好的；一个论说是坏的，如果它的形式是坏的。所有柠檬都是黄的，金丝雀是黄的，所以金丝雀是柠檬什么是一个论说的形式？一元一次方程：

2x+5=789x+98=6…一种说法认为：我们从类似如上的方程“抽象”出它们的一种形式：ax+b=c。a2

－b2=(a+b)×(a－b)一个推理是好的当且仅当其推理形式是好的。有效推理（好的论说）所有燕子都是鸟，所有猴子都不是燕子，所以所有猴子都不是鸟。所有S都是P，所有M都不是S，所有M都不是P。找反例：所有人都是会死的，所有山羊都不是人，所有所有山羊都是长生不老的。论说的形式

所有猫都是人，所有学生都是猫，所有学生都是人。所有人都是有可取之处的人，美国人是人，所以美国人也是有可取之处的人。所有S都是P，所有M都是S，所有M都是P。词项逻辑词项逻辑又称为主谓词逻辑，有2000多年的历史，直观性较强，但系统性较差，覆盖面很小，不够严格。词项与直言命题是词项逻辑的基本概念。词项我们关心一小类名词类的语词：如“亚历山大”、“美丽的”、“人”、“哲学家”。这类词特点是都指称一些事物或表达一个性质。论域：讨论任何问题，总是在某个确定的对象范围内讨论，这个确定的对象的类称为讨论的论域。（偶数）自然数、（无理）实数、（男）人、（重言）公式、（可导）函数。词项的内涵与外延：一个词项所指称的所有对象形成一个集合，这个集合称为改词项的外延。将一个词项的外延与其它词项区分开来的性质称作为改词项的内涵。（内涵这个哲学概念正义颇多。）词项“偶数”的外延是集合{0，2，4，…}词项“偶数”的内涵是：可以被2整除，为数无穷…内涵与外延的反比关系；内涵越丰富，其外延集合越小；“男人”与“男学生”；“自然数”与“素数”；词项的内涵与外延：我们主要探讨词项的外延；词项的内涵是一个争议颇多的哲学概念。根据词项外延集合中元素的个数，词项分为三类：单独词项：其外延集合是单元集合。“2013年美国的总统”、“武汉理工”，“这个世界上最漂亮的人”、“2013年最年长的地球人”…。普遍词项：其外延集合是多元集合。“自然数”、“实数”、“青年人”、“男学生”…。空词项：其外延集合是空集合。“最大的素数”、“当今法国的国王”、“独角兽”，…。如无特殊说明，我们约定后文中的词项都非空。词项外延之间的关系由于我们只讨论词项的外延之间的关系，而不考虑词项的内涵，我们不妨把词项与词项的外延等同看待。（当然这样有很多问题，暂且不提。）设S与P是两个词项，我们也用S与P分别代表这两个词项的外延。全同关系：SP且PS。欧拉图：S,P词项外延之间的关系S与P有种属关系：SP且PS。欧拉图：如“学生”与“人”；S与P有种属关系也称

P与S有属种关系：与种相比，属的外延更大些。S与P有交叉关系：SP且PS且SP；如学生与男人之间具有交叉关系；SPSP词项外延之间的关系S与P有全异关系：S∩P=设论域为U，S与P是表示U中个体的词项，且S∩P=且S∪P=U，那么我们说S与P是矛盾关系。此时S与P也互称为对方的负词项。若且S∩P=且S∪PU，则称S与P是反对关系。奇数与偶数相对于自然数是矛盾关系，“大于3的自然数”与“小于2的自然数”则是反对关系。SPSPSP欧拉图在逻辑书中的欧拉图有一个粗糙的约定：圆圈内有面积的部分都有元素。在数学书中，则无此约定。如何用欧拉图区分真包含（）与包涵关系（）呢？逻辑中，右图表示真包含关系，但无法表示包含关系。数学中，右图表示包含关系，但无法表示真包含关系。SP欧拉图在逻辑书中，上图表示S与P有交叉关系：即，SP且PS且SP；但无法表示SP。在数学书中，上图表示SP，但无法表达：SP且PS且SP；SP文恩图文恩图一般包含一个方框来表示论域，以及此方框中若干个两两相交的圆圈，每个圆圈表示一个词项的外延集合。如果图中某一块面积没有元素，则图画上阴影；如果一块面积有元素则在其面积上标记上“+”；如果一块面积可能有也可能没有元素，则不作任何标记。文恩图1、如何来用文恩图表示两个词项外延相等？2、如何来用文恩图表示两个词项外延有交叉关系即SP且PS且SP。3、如何表示两个词项外延有一般交叉关系，即SP。4、如何用文恩图表示两个词项外延有真包含关系。5、如何用文恩图表示两个词项外延有包含关系。6、如何用文恩图表示两个词项外延有全异关系。7、如何用文恩图表示两个词项外延有矛盾关系。8、如何用文恩图表示两个词项外延有反对关系。六类直言命题大致说：直言命题是主谓式样的语句表达的命题。全称肯定命题：所有的人都是有理性的。全称否定命题：所有的人都不是有理性的。特称肯定命题：有些人是有理性的。特称否定命题：有些人不是有理性的。单称肯定命题：张三是有理性的。单称否定命题：张三不是有理性的。词项“人”、“张三”称为主项；“有理性的”称为谓项；“所有的”与“有些”称为量项；“是”与“不是”称为肯定与否定联项。单称命题不包含量项。一般的，直言语句的基本结构为：量项+主项+联项+谓项量项“所有的人都是有理性的。”与“所有的人都不是有理性的。”这样的全称语句断定了主项的所有整个外延。表示全称的量词有：“一切”、“全部”、“每个”、“任何一个”、“任意的”、“都”、“凡”等等。“有些人是有理性的。”与“有些人不是有理性的。”这样的特称语句断定了主项的部分外延。表示特称的量词有：“有些”、“有的”、“有”、“存在”、“至少有一个”等等。直言语句的语句形式单称命题断定了主项的所有外延，进而可以看做是全称命题；全称肯定语句：所有的人都是有理性的。语句形式：所有的S都是P。简单记为SAP；全称否定语句：所有的人都不是有理性的。语句形式：所有的S都不是P。简单记为SEP；特称肯定语句：有些人是有理性的。语句形式：有些的S是P。简单记为SIP；特称否定语句：有些人不是有理性的。语句形式：有些的S不是P。简单记为SOP；直言命题间直接推理SAP;SP种属关系；SEP;SP=；全异关系；SIP;SP一般交叉关系；SOP;SP非种属关系；上述四类命题简称A\E\I\O命题。所谓直言命题间的直接推理是以一个直言命题做为前提推推另外一个直言命题。对当方阵SAPSEPSIPSOP反对矛盾矛盾差等差等矛盾关系：不能同真，也不能同假。反对关系：可以同假，但不能同真。差等关系：一个蕴含另一个，但二者不等值。下反对：可以同真，不可以同假。六条逻辑真理1、SAPSOP;（矛盾关系）2、SEPSIP;（矛盾关系）3、SAPSEP;（反对关系，要求主项外延非空）4、SAPSIP;（差等关系，要求主项外延非空）5、SEPSOP;（差等关系，要求主项外延非空）6、SIPSOP；（下反对关系，要求主项外延非空）知道SAP为真，能得到什么？知道SAP为假，能得到什么？换质法改变前提的质，肯定变否定，否定变肯定，保持量项与主项不变，把谓项换位原来词项的负词项。回忆：设论域为U，S与P是表示U中个体的词项，且S∩P=且S∪P=U，那么我们说S与P是矛盾关系。此时S与P也互称为对方的负词项。

所有的母亲都是女人；当且仅当，所有的母亲都不是非女人。有些女人是漂亮的，当且仅当，有些女人不是不漂亮的。PPPP1、SAPSE2、SEPSA3、SIPSO4、SOPSI连续两次换质法回复到原来语句。换位法通过交换前提中主项与谓项的位置得到新语句。注意：并非所有直言命题都能换位。1、SIPPIS;SP=PS;2、SEPPES;SP=PS=;这两种换位称为简单换位，连续两次换位恢复到原来语句。3、SAPSIPPIS;限量换位；（要求主项外延非空）SOP式样语句无法换位。所有自然数都是整数，所以有些整数是自然数。所有共产党员都不是基督徒，所以，所有基督徒都不是共产党员。有些学生是混日子的人，所以，有些混日子的人是学生。换质位法可以对一个直言语句先换位再换质，也可以先换质再换位，连续操作。如SAPSEPPESPAS;如SAPSIPPISPOS;甲班的学生都是讲文明的；甲班里的学生都不是不讲文明的；不讲文明的都不是甲班的学生；不讲文明的都是非甲班的学生。有些非甲班里的学生是不讲文明的；这个推理最后一步依赖于一个前提或约定，所有词项非空。三段论三段论推理包含两个直言命题（A\E\I\O）作为前提，一个直言命题作为结论，且在前提与结论中一共出现三个词项，每个词项恰好出现两次。所有植物需要阳光；所有植物是生物；所以，有些生物需要阳光。三段论中，结论的主项称为小项（记为S），结论的谓项称为大项（记为P），不在结论中出现的那个词项称为中项（记为M）。中项与大项组成的前提称为大前提，中项与小项组成的前提称为小前提。通过中项，把大项与小项联结起来的推理，实质是类演算。周延性在一个直言命题中，如果其主项（或谓项）的全部外延都得到了断定，那么称该主项（或谓项）在该命题中是周延的，否则则称为不周延的。语句形式：所有的S都是P。主项全部外延得到了断定，进而主项周延；谓项的全部外延没有得到断定，没有说所有的P如何如何，进而谓项不周延；语句形式：所有的S（男人）都不是P（女人）。主项全部外延得到了断定，进而主项周延；谓项的外延也得到全部断定，说任给一个男人，任给一个女人，二者不相同，进而谓项周延；语句形式：有些的S是P。主谓项都不周延。语句形式：有些的S（男人）不是P（学生）。主项不周延，谓项周延。三段论的格与式根据中项在两个前提中作为主项还是谓项，三段可以分为四个格：大前提在上，小前提在下，一二三四格如下：M---PM---SS---PM---PS---MS---PP---MS---MS---PP---MM---SS---P上面的虚线可以带入A、E、I、O以表示四种直言命题；如第一格的AAA式，记为AAA1每一格有64式，四个格一共256式（三段论推理形式）。大部分是无效的。只有24式是有效的。MAPSAMSAP文恩图检验三段论推理形式是否有效方框内三个两两相交的成“品”形圆圈，上边代表M，下左代表S，下右代表P，根据两个前提断定情况，把没有元素的地方图上黑影，一定有元素的地方画上“+”，最后检查结论是否与文恩图相符。例子：AAI3AAA3AAA1EAE1AAA4AAA2任给3个类名词，我们可以用其构造256个三段论，其中只有24个是有效的。判定三段论有效有否的法则通过归纳分析，逻辑学家归纳出三条判定法则：1、中项至少周延一次错误：中项不周延三段论实质上是通过一个中间集合联系另外两个集合讨论其余两个集合之间的联系。中项至少周延一次是说，在前提中至少要一次断定了中项的所有的元素。否则可能会出现大项（或小项）与中项的一部分外延有联系，而小项（或大项）与中项的另外一部分外延有联系，因而中项外延没有把大小项外延联系起来。2、前提中不周延的项，在结论中也不得周延。项的周延性不能扩大，前提中没有断定一个项的全部外延，结论中也不能断定。错误：小项或小项不当周延。

3、前提与结论至少否定命题个数相等。

0=0、1=1；错误是：否定命题个数不符合。例子一切鸟都是会飞的；蝙蝠也是会飞的；所以蝙蝠也是鸟。

四项错误鲁迅的作品不是一天可以读完的。《孔乙己》是鲁迅的作品。所以《孔乙己》不是一天可以读完的。金钱如粪土，朋友值千金，所以朋友如粪土。中项周延所有金属都是导体；人是导体；所以，人是金属。有的同学是运动员；

有的运动员是影星；有的同学不是运动员；

有的运动员是影星；项在前提不周延结论中也不能周延所有数学系的学生都应该学好数学。我不是数学系学生。所以，我不需要学好数学。甲是干部。甲是贪污犯。所以，干部都是贪污犯。例子唐诗是中国古典文学；宋词不是唐诗；所以宋词不是中国古典文学。未满14周岁不负刑事责任。本案犯未满14周岁。所以本案犯不负刑事责任。省略的三段论人非草木孰能无情；人非圣贤孰能无过；所有人都会死，所以苏格拉底会死。例子英雄难过美人关；我难过美人关；所以我是英雄。所有大学生都是青年；

有的运动员是大学生；

所以，有的运动员是青年。当前提中有一个判断是特称命题时，其结论必然是特殊命题；例子所有哲学家都是脑力劳动者；有些人是哲学家；所以有些人是脑力劳动者；任何一个哲学家都不能不学逻辑；有些人是哲学家；所以有些人不能不学逻辑。AII1EIO1例子所有的鸟都会飞；鸵鸟不是会飞的；所以鸵鸟不是鸟。所以有些鸵鸟不是鸟。伟大的物理学家都是有广博知识的；伟大的文学家都是有广博知识的；所以伟大的文学家都是伟大的物理学家。AEE2AAA2AEO2例子有些学生是共青团员；有的学生是运动员；所以有的共青团员是运动员。所有团员都参加团组织活动；有的同学不是团员；所以，有的同学不参加团组织活动。III3AOO1例子善于遗忘历史的人都不是会有前途的；日本人都是善于遗忘历史的人；所以日本人不是会有前途的。所以有些日本人不是会有前途的。善于遗忘历史的人是不会有前途的。日本人是善于遗忘历史的人；所以日本人是不会有前途的。所以有些日本人是不会有前途的。AAA1EAE1EAO1AAI1例子婚姻法规定：凡男女双方自愿离婚的，准予离婚。小李与小王的婚姻案件中不是双方自愿离婚的，所以这个案件是不能判决离婚的。许多金属比水重，铁是金属，所以铁比水重。IAA1AEE1例子所有民族国粹主义者都尊重本国的历史文化；所有国际主义者都不是尊重本国的历史文化的；所以所有国际主义者都不是民族国粹主义者。所有民族国粹主义者都尊重本国的历史文化；所有尊重本国的历史文化的都不是国际主义者；所以所有民族国粹主义者都不是国际主义者。AEE2EAE1例子语言是没有阶级性的；语言是社会现象；所有凡社会现象都是没有阶级性的。凡社会科学都是有阶级性的；有的科学不是社会科学；所以有的科学不具有阶级性。EAE3AIOI例子所有的科学规律都是不以人的意志为转移的。逻辑学规律是科学规律。所以逻辑学规律是不以人的意志为转移的。马克思主义者都是支持新生事物的；修正主义者不是支持新生事物的；所以修正主义者不是马克思主义者。AAA1AEE2例子有的教育工作者是党员；所有大学教员都是教育工作者；所以有大学教员是党员。一切反对派都是纸老虎；帝国主义都是反对派；所以帝国主义都是纸老虎；就主项与谓项的周延性来讲，单称可能命题与全称肯定命题是相同的，单称否定命题与全称否定命题是相同的。因此在三段论中，我们把单称肯定命题和单称否定命题当做全称肯定与全称否定命题。IAI1AAA1例子所有不劳而获的人都是蛀虫；资本家是不劳而获的；所以资本家是蛀虫。A是F(X)的解，所有F(X)的解都满足F(X)，所以A满足F(X)。AAA1例子语言不是上层建筑；语言是社会现象；所以有社会现象不是上层建筑。EAO3省略的三段论所有人都会死；所以苏