信号与系统 第一章 绪论

信号与系统Signalsandsystems主讲人:高兴泉Email:xqgao_jl@126.com电话公室:3-122

要求：课时：48学时，其中上机实验8学时。课时安排:

1-6周(周一5、6）,1-18周(周四7、8)考核：闭卷考试。平时成绩30%（出勤20%，上机实验10%）。注意:出勤(包括作业、实验及因为纪律原因被赶出教室者)三次不到,取消平时成绩五次不到取消考试资格作弊者严肃处理（如考勤，替答者取消平时成绩）课程性质：电类学科的重要技术基础课,通信与信息系统以及信号与信息处理等专业研究生入学考试的必考课程,它主要研究信号与系统分析的基本理论与方法。课程特点:

第一:理论性强,公式推导多第二:概念多，术语定义抽象第三:与数学联系紧密，涉及到对多门数学知识主要内容:

两大系统两类方法三大变换

参考资料：

参考教材：1、《信号与线性系统》，管致中等，高等教育出版社2、《信号与系统例题分析及习题》，乐正友，清华大学出版社3、E.W.Kamen,《FundamentalsofSignalsandSystemsUsingtheWebandMATLAB》

教材：郑君里等，《信号与系统（第二版）》，高等教育出版社。第一章绪论信号与系统的基本概念一阶倒立摆系统的稳定控制二阶倒立摆系统的稳定控制一阶倒立摆系统的摆起控制§1.1信号与系统1、定义:信号是用来传递信息的机械动作、光、电、声或其他物质运动的形式，是携带有消息的某种物理量或其变化消息的传送必须借助一定形式的信号。信号是消息的载体，消息是信号的内涵。一、信号2、信号表示:数学形式图形

f(t)

f(t,x)

f(x,y)

时间的一维函数

时间,空间等的函数

非时间变量的函数语音信号：空气压力随时间变化的函数f(t)语音信号“你好”的波形静止的单色图象：

亮度随空间位置变化的信号f(x,y)。

例：长城烽火台敌情信号的处理3、信号处理假设：

燃烟浓度（特征参量）意味着敌兵来犯的多少信号的生成发现敌情的烽火台，根据敌情的多少制造符合一定特征参量的信号（烟雾）信号的传送通过光，传递给下一烽火台信号的接收，分析和处理通过接收到的信息，获取信号的特性向量，判断出敌情的多少；要考虑到气候等因素的影响（去噪声，滤波）信号的综合根据得到的特征向量制造合适的烟雾或举火（信号的综合），传递给下一烽火台

一般的系统概念是指相互依赖的、相互作用的若干事物组成的具有特定功能的整体。如控制系统、电力系统、机械系统等物理系统，人工系统及自然系统等非物理系统二、系统数学上的系统概念：相同的基本理论就是某个信号作用于系统后，影响如何（人们所关心的某些信号将等于什么)1、基本概念例：电路系统r(t)y(t)滤波电路r(t)y(t)低通滤波电路电路的输入和输出如果在某一时刻开始输入持续的电压信号r(t),所关心的输出电压y(t)等于什么

系统综合系统分析主要研究内容给定系统和输入信号的数学形式的条件下分析输出响应的数值和特性对于给定的输入信号和所要求的输出响应求系统2、系统理论主要从输入（也成为激励）和输出（也称为响应）的关系研究系统运动一般规律的工程学科3、信号与系统的关系信号与系统是密不可分的的关系信号处理都必须通过某个系统才能实现，离开系统，信号将一无所为离开信号，系统将失去存在的意义本课程以控制系统和通信系统的基本问题为主要背景，研究信号经系统传输或处理的一般规律，着重基本概念和基本分析方法§1.2信号的描述、分类和典型示例一、信号的分类

——四种分类方法二、典型的连续时间信号§1.2信号的描述、分类和典型示例一、信号的分类——四种分类方法对于各种信号可从不同的角度进行分类。1.确定信号与随机信号

——按信号随时间变化的规律来区分确定信号：

当信号是一确定的时间函数时，给定某一时间值，就可以确定出相应的函数值。例如：正弦信号N(0,1)N(1,0.5)随机信号：客观存在的信号，不能表示为确切的时间函数，具有不可预知的不确定性，服从统计规律。

确定性信号和随机信号的叠加：N(0,0.1)的随机信号

确定信号

2．周期信号与非周期信号——都属确定性信号周期信号：

按照一定的时间间隔无始无终地重复着某一变化规律的信号，其表示式可以写为：

f(t)=f(t+nT

)n=0,±1,±2,…

满足此关系式的最小T值称为信号的周期。非周期信号：

在时间上不具有周而复始变化的特性，它不具有周期T（或T）。3．连续时间信号与离散时间信号—按照时间自变量取值的连续性和离散性来划分连续时间信号：在某一时间间隔内，对于任意时间值（除若干不连续点外）都可给出确定的函数值。连续信号包括幅值连续的信号和幅值离散的信号。幅值连续的信号又称“模拟信号”

f(t)t(a)t0tf(t)1(b)离散时间信号:

只在某些不连续的规定瞬时（离散的时间点上）给出函数值，其他时间没有定义。这些离散的点在时间轴上可以均匀分布，也可以不均匀分布。如果离散信号的幅值是连续的，即幅值可以取定义域内任意实数，称为抽样信号。tx(t)-1.2-323.42x(t)→x(n)x(n)=-1.2(n=-1)0(n=0)2(n=1)-3(n=2)3.4(n=3)2(n=4)简化表达式：表达式：x(n)＝｛-102-332｝箭头指向n=0对应的x(n)的值如果离散信号的幅值只能取某些规定的数值，则称为数字信号。x(t)t123451简化表达式：x(n)＝｛011010｝对连续时间信号与离散时间信号的总结：信号时间连续时间信号（定义域连续）离散时间信号（定义域离散）幅值模拟信号（幅值连续）幅值离散的信号幅值抽样信号（幅值连续）数字信号（幅值离散）4．能量信号与功率信号

——按照信号的能量特点来划分信号的能量：

指信号f(t)的归一化能量，即信号的电压（电流）加在1电阻上所消耗的能量。信号的功率：信号电压（或电流）在1欧姆电阻上所消耗的功率。能量信号：在无限大的时间间隔内，信号的能量为有限值，而信号的功率为零。即：

0<E<+

，P=0

（无法从平均功率去考察）功率信号：在无限大的时间间隔内，信号的平均功率为有限值，而信号的总能量为无穷大。即：

0<P<+

，E+（只能从平均功率去考察）课堂练习：

判断下列信号是功率信号还是能量信号

(1)

f(t)=1t00

t<0(2)f(t)=e-2|t|(3)f(t)=e-2t功率信号能量信号非能量非功率信号二、典型的连续时间信号1.指数信号其中K是常数，a为实数。a=0f(t)a>0a<0t0Ka＞0

时，f(t)是增函数

a＜

0

时，f(t)是减函数a＝

0

时，f(t)＝K,是直流信号指数|

a|

反映了f(t)的变化速率，|a|

越大，f(t)的变化越快。2.

正弦信号f(t)KT式中K、、分别为正弦信号的振幅、角频率、初相位无时限信号正弦信号的性质：周期信号，T=2/对它进行微分或积分运算后，仍是同频率的正弦信号。衰减的正弦信号K=1a=0.3w=23.

复指数信号其中s是复数：指数信号等幅振荡直流信号复指数信号不是一种真正的电信号，但利用它可以简化分析和计算。如交流电中的相量。4.

抽样信号——Sa(t)信号抽样函数的性质：为偶函数：在t=，2，3…时，函数值为0当｜t｜增大时，｜Sa(t)｜函数值震荡衰减。0tf(t)E5.

钟形信号（高斯信号）

以上是表示常用信号的连续函数，还有一类基本信号，本身有简单的数学形式，但其本身、或其导数、或其积分有不连续点。即奇异信号。§1.3信号的运算一、移位（平移）二、反褶（翻转）三、尺度变换（波形展缩）四、微分和积分五、两信号相加或相乘t0<0时，f(t+t0)的波形为：f(t)沿时间轴右移|t0|。t0>0时，f(t+t0)的波形为：f(t)沿时间轴左移

t0

。f(t)0t12f(t-1)0t12f(t+1)0t12一、移位（平移）信号f(t)的自变量t

用t＋t0替换，则f(t+t0)相当于f(t)波形在t轴上的整体移动。将信号f(t)的自变量t

用–t替换，则f(-t)的波形相当于将f(t)以t=0为轴翻转过来。反褶后的波形与原波形相对于纵轴对称。0tf(t)120tf(-t)-1-2二、反褶（翻转）将信号f(t)的自变量t

乘以正实系数a

，则f(at)是f(t)的尺度变换。0tf(t)12a>1时，f(at)的波形为：f(t)的波形沿时间轴压缩到1/a倍，幅值不变。0tf(2t)120tf(t/2)1240<a<1时，f(at)的波形为：f(t)的波形沿时间轴扩展到1/a倍，幅值不变。三、尺度变换（波形展缩）综上所述，若f(t)的自变量t

更换为(at+t0)，此时，f(at+t0)相对于f(t)可以扩展或压缩（取决于a大于或小于1），也可能出现时间上的反褶（取决于a

是正或负）或移位（取决于t0是否等于0），而波形整体仍保持与f(t)相似的形状。例1已知f(t)的波形，试画出f(1-2t)的波形。0tf(t)1231平移：展缩：反褶：1f(t+1)-10123tf(2t+1)01t21f(1-2t)0-1t1例2用反褶展缩时移的顺序解例1平移：展缩：反褶：0tf(t)12310tf(-t)-1-2-31f(1-2t)0-1t1f(-2t)-3-2-110t例3已知f(5-t)的波形，试画出f(2t+4)的波形。0tf(5-t)1212-10tf(5+t)-1-21210tf(t+4)-12121f(2t+4)10-121t反褶：平移：展缩：四、微分和积分定义：微分：积分：五、两信号相加或相乘两信号迭加成一个新信号，新信号任意时刻的数值等于两信号同在该时刻的数值之和。相加：两信号相乘得到一个新信号，新信号任意时刻的数值等于两信号同在该时刻的数值乘积。相乘：§1.4阶跃信号与冲激信号奇异信号：奇异信号是特殊的连续时间信号，其函数本身有不连续点（跳变点），或其函数的导数与积分有不连续点。单位斜坡信号单位阶跃信号单位冲激信号冲激偶信号

它们是从实际信号中抽象出来的理想化了的信号，在信号与系统分析中占有很重要的地位。常见的奇异信号：能用数学描述,方便离线分析,为实际测试前提供分析依据汽车研究中路面理想化的坑包0tf(t)0tf(t)包坑一、单位斜变信号（斜坡信号）R(t)11t1t0tR(t-t0)定义：从t=0开始，随时间正比例增长，增长的斜率是1的信号。它的导数在t=0处不连续。如果将起始点移至t0，则îíì³<=000)(ttttR)(0tt<)(0tt³îíì-=-000)(ttttR1.定义

零时刻前，函数值为0，随后值为1。在t=0处未定义。有些书中将t=0处定义为1/2。二、单位阶跃信号îíì><=0100)(tttu10u(t)t单位阶跃函数10u(t-t0)tt0若跳变点移至t0，则)(0tt<)(0tt>îíì=-10)(0ttu延时的单位阶跃函数2.单位阶跃的派生函数:(1)移位的阶跃函数

(2)矩形脉冲(门函数)u(t)与

-u(t-T)叠加，得到矩形脉冲。门函数与任意函数相乘，在T

外为0，在T

内为f(t)。)()()(TtututRT--=u(t)10tT-u(t-T)10RT(t)tT纵坐标左右对称的门函数1u(t+T/2)tT/2-u(t-T/2)-T/21GT(t)tT/2-T/2(3).符号函数10sgn(x)x表达式中自变量x换成时间t,就是关于时间t的符号函数202u(t)t110sgn(t)t3.单位阶跃函数的特性（1）单位阶跃函数的积分是单位斜坡函数（2）单位阶跃函数等于单位斜坡函数的导数)0()()(¹=tdttdftu（3）单位阶跃函数的单边特性

在实际应用中，常用单位阶跃信号与某函数的乘积来表示信号的接入特性。即信号在某接入时刻t0

以前的幅度为零。0tf(t)信号在t0时刻接入：信号在t0

时刻接入,t1

时刻截断：tt00f(t)tt00f(t)t14.用斜坡函数和阶跃函数生成一些典型的信号（1）截平的斜变信号教材:t用斜坡和阶跃函数组合:tt（2）三角脉冲信号tt用matlab生成一些典型的信号tttt00f(t)t1调用Matlab0tf(t)t0

冲激函数是对于作用时间极短，而相应物理量强度极大的物理过程的理想描述。例如物体在受到短时冲击力F的作用，如果冲量Ft为常数，当t趋于0时，冲击力F趋于无穷大。

以这样一类现象为背景，抽象出“单位冲激函数”或称“函数”，用它来描述上述物理现象。三、单位冲激信号单位冲激函数可视为幅度与脉宽的乘积（矩形的面积）为1个单位的矩形脉冲，当趋于0时，脉冲的幅度趋于无穷大。

（1）矩形脉冲演变为冲激函数tG(t)0t0(1)(t)01.单位冲激函数(t)定义（2）双边指数脉冲演变为冲激函数（3）钟形脉冲演变为冲激函数（4）Sa(t)信号演变为冲激函数狄拉克（Dirac）定义t0(1)(t)

图中(1)

表示强度为

1，或称所围面积为1，而不是指幅值为1。

定义中没有给出t=0时刻的函数值，可见它不是通常意义下的函数，称为“广义函数”。

函数有多种定义方法，其中根据广义函数的定义，是严格的数学定义。t0(1)(t-t0)t0若冲激点在t=t0处，则定义式为：2.单位冲激函数的特性（1）单位冲激函数的积分是单位阶跃函数由定义知当t<0时当t>0时ïîïíì¹=-=-ò+¥¥-)(

0)(1)(000ttttdtttdd（2）单位冲激函数等于单位阶跃函数的微分

阶跃函数除零以外变化率都是0,而在t=0时刻有跳变点,此跳变点的微分对应在零点的冲激（3）

(t)是偶函数：证明：（4）连续函数f(t)与单位冲激函数(t)的乘积等于冲激点的函数值与(t)相乘。若冲激点在t0处，且f(t)

在t0处连续，则证明：因为在t

0（或t

t0）处，(t)（或(t-t0)）为0，所以上式成立。（5）筛选特性（抽样特性）：

单位冲激函数与连续函数f(t)

的乘积的积分等于冲激点的函数值。∵(t)在

t0处为03.奇异函数的综合（1）R(t)（单位斜坡信号）的导数是u(t)；

u(t)的导数是

(t)；(t)的导数是

’(t)。（2）u(t)是物理量的单位跃变的抽象

（3）

(t)是物理量产生单位跃变速度的抽象§1.5信号的分解一、直流分量与交流分量二、偶分量与奇分量三、脉冲分量§1.5信号的分解在研究信号的分析、处理中，往往将信号分解为比较简单的信号分量之和。犹如力的分解。分类方式：直流分量与交流分量偶分量与奇分量脉冲分量冲激信号之和阶跃信号之和一、直流分量与交流分量直流分量fD：

即信号平均值。交流分量fA(t)：

从原信号中去掉直流，即得信号的交流分量。单位电阻的平均功率：其中，fD

fA(t)的积分等于零。一个信号的平均功率等于直流功率与交流功率之和。二、偶分量与奇分量偶分量：奇分量：任何一个信号都可分解为偶分量与奇分量之和。三、脉冲分量信号可以表示为冲激信号或阶跃信号之和。1.分解为冲激信号分量f(t)

在每个相等的时间间隔t内，用一个矩形脉冲加以近似。

f(t)0ktt2ttf(0)

f(t)0ktt2ttf(0)或0ktt2t

f(t)t各冲激函数的位置脉冲左边界所在时刻，冲激函数的强度该时刻的函数值用冲激函数表示脉冲函数：f(0)f(t)ktt2tt2.分解为阶跃信号分量§1.6系统模型及其分类一、系统的数学模型二、系统的分类§1.6系统模型及其分类一、系统的数学模型系统模型：建立模型的目的：系统基本特性的数学抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号组合图形来表征系统特性。用数学方法求出系统模型的解答，并对结果作出物理解释，赋予物理意义。注意：系统的阶数：（1）同一物理系统，在不同条件下，可以得到不同形式的数学模型。（2）不同的物理系统，可能得到形式上完全相同的数学模型。系统模型若能用一个高阶微分方程表示，则规定此微分方程的阶次就是系统的阶数。数学模型表达方式：数学表达式——微分方程方框图三种基本运算：加法器、数乘器和积分器，用其模拟给定系统的数学模型(微分方程或系统函数)。加法器：e1(t)e2(t)r(t)=e1(t)+e2(t)乘法器：e(t)r(t)=ae(t)a或：e(t)ar(t)=ae(t)积分器：一阶微分方程的模拟r(t)e(t)相乘因子在输入端二阶微分方程的模拟i(t)e(t)二、系统的分类连续时间系统与离散时间系统即时系统与动态系统线性系统与非线性系统时变系统与时不变系统可逆系统与不可逆系统1.连续时间系统与离散时间系统连续时间系统：

系统的输入信号与输出信号均为连续时间信号，且其内部也未转换为离散时间信号。其数学模型用微分方程描述。例如

RLC电路。离散时间系统：系统的输入信号与输出信号均为离散时间信号。其数学模型用差分方程描述。例如数字计算机系统。2.即时系统与动态系统即时系统：系统的输出信号只取决于同时刻的激励信号，与它过去的工作状态无关。也称无记忆系统。一般由代数方程描述。动态系统：系统的输出信号不仅取决于同时刻的输入信号，还与它过去的工作状态有关。也称记忆系统。一般由微分方程或差分方程描述。例如由电阻元件组成的系统。如由电容、电感元件组成的系统。3.线性系统与非线性系统线性系统：凡能同时满足叠加性与均匀性

的系统。非线性系统：不能同时满足齐次性（均匀性）与叠加性的系统。叠加性：指当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和。均匀性：指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数。4.时变系统与时不变系统时变系统：如果系统的参数随时间变化，则称其为时变系统或参变系统。非时变系统：系统的参数不随时间而改变的系统。5.可逆系统与不可逆系统可逆系统：在不同的激励信号作用下产生不同的响应的系统。例如：满足约束关系的系统是可逆系统。此可逆系统的逆系统满足如下关系：当原系统与其逆系统级联组合后，输出信号与输入信号相同。如信号的编码与解码。不可逆系统：在不同的激励信号作用下产生了相同的响应的系统。例如：本课程主要研究线性非时变系统。§1.7线性时不变系统一、叠加性二、均匀性（齐次性）三、时不变特性四、微分特性五、因果特性§1.7线性时不变系统———LTI（线性时不变）LinearTimeInvariant包括连续时间系统和离散时间系统。本节讨论LTI系统的一些基本特性。叠加性均匀性时不变性微分性因果性一、叠加性如果：则：系统系统系统二、均匀性（齐次性）如果：则：系统系统叠加性和均匀性线性如果：则：系统系统系统是否满足叠加性和均匀性是判断一个系统是否是线性系统的依据课堂练习：

判断下列系统是否为线性1.r(t)=te(t)

r(t)=e(t)+43.线性系统非线性系统非线性系统三、时不变特性基本特性: