2023年高考试题-数学理(江苏卷)解析版

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕数学Ⅰ试题注意事项注意事项考生在答题前请认真阅读本本卷须知及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题〔第1题——第14题〕、解答题〔第15题——第20题〕.本卷总分值160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.参考公式：样本数据的方差一、填空题：本大题共14小题,每题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.1.假设复数其中是虚数单位，那么复数的实部为▲.[解析]考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念.-20.2.向量和向量的夹角为，，那么向量和向量的数量积=▲.[解析]考查数量积的运算..3.函数的单调减区间为▲.[解析]考查利用导数判断函数的单调性.，由得单调减区间为.亦可填写闭区间或半开半闭区间.4.函数〔为常数,〕在闭区间上的图象如下列图，那么=▲.[解析]考查三角函数的周期知识.，，所以.5.现有5根竹竿，它们的长度〔单位：m〕分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，假设从中一次随机抽取2根竹竿，那么它们的长度恰好相差0.3m的概率为▲.[解析]考查等可能事件的概率知识.从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2.6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679那么以上两组数据的方差中较小的一个为=▲.[解析]考查统计中的平均值与方差的运算.甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差.7.右图是一个算法的流程图，最后输出的▲.[解析]考查读懂算法的流程图的能力.22.8.在平面上，假设两个正三角形的边长的比为1：2，那么它们的面积比为1：4.类似地，在空间内，假设两个正四面体的棱长的比为1：2，那么它们的体积比为▲.[解析]考查类比的方法.体积比为1：8.9.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，曲线C在点P处的切线的斜率为2，那么点P的坐标为▲.[解析]考查导数的几何意义和计算能力.，又点P在第二象限内，,点P的坐标为〔-2，15〕.10.，函数，假设实数、满足，那么、的大小关系为▲.[解析]考查指数函数的单调性.，函数在R上递减.由得：m<n.11.集合，假设，那么实数的取值范围是，其中=▲.[解析]考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式.由得，；由知，所以4.12.设和为不重合的两个平面，给出以下命题：〔1〕假设内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，那么平行于；〔2〕假设外一条直线与内的一条直线平行，那么和平行；〔3〕设和相交于直线，假设内有一条直线垂直于，那么和垂直；〔4〕直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直.上面命题中，真命题的序号是▲〔写出所有真命题的序号〕[解析]考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理.真命题的序号是(1)(2).13.如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，那么该椭圆的离心率为▲.[解析]考查椭圆的根本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等.以及直线的方程.直线的方程为：；直线的方程为：.二者联立解得：，那么在椭圆上，，解得：.14．设是公比为的等比数列，，令，假设数列有连续四项在集合中，那么=▲.[解析]考查等价转化能力和分析问题的能力.等比数列的通项.有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，=-9.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．〔本小题总分值14分〕设向量.〔1〕假设与垂直，求的值；〔2〕求的最大值；〔3〕假设，求证：∥.[解析]本小题主要考查向量的根本概念，同时考查同角三角函数的根本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得根本能力.16．〔本小题总分值14分〕如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，.求证：〔1〕EF∥平面ABC；〔2〕平面平面.[解析]本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力.17．〔本小题总分值14分〕设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足.〔1〕求数列的通项公式及前项和；〔2〕试求所有的正整数，使得为数列中的项.[解析]本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解能力.〔1〕设公差为，那么，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,(2)〔方法一〕=,设,那么=,所以为8的约数.〔方法二〕因为为数列中的项，故为整数,又由〔1〕知为奇数,所以.经检验,符合题意的正整数只有.18．〔本小题总分值16分〕在平面直角坐标系中，圆和圆.〔1〕假设直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；〔2〕设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等.试求所有满足条件的点P的坐标.[解析]本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式等根底知识，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力.(1)由于直线与圆不相交，所以直线的斜率存在.设直线的方程为：，即由垂径定理得圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，得化简得：求直线的方程为：或，即或(2)设点P坐标为，直线、的方程分别为：，即因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,两圆半径相等,所以圆心到直线与圆心直线的距离相等.故有，化简得关于的方程有无穷多解，有解之得点P坐标为或.经检验点或满足题目条件.19.(本小题总分值16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件本钱为元，如果他卖出该产品的单价为元，那么他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，那么他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，那么他对这两种交易的综合满意度为.现假设甲生产A、B两种产品的单件本钱分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件本钱分别为3元和20元.设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为.(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=；(2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适中选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.[解析]本小题主要考查函数的概念、根本不等式等根底知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力.设(1)，当时，可得〔2〕当时，等号成立当且仅当.因此当时，甲乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为.〔3〕20．(本小题总分值16分)设为实数，函数.(1)假设，求的取值范围；(2)求的最小值；(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.[解析]本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等根底知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.〔1〕假设，那么〔2〕当时，当时，综上〔3〕时,得,当时，；当时，△>0，得讨论得：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.注：〔2〕或：分讨论〔3〕可令，根据图象可分以下三种情况讨论：；，再比较；，再分.数学Ⅱ〔附加题〕参考公式：21.[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.[解析]此题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力.证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CAB=∠CDB.再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA.因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD.B.选修4-2：矩阵与变换求矩阵的逆矩阵.[解析]此题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力.解：设矩阵A的逆矩阵为那么即故解得,从而A的逆矩阵为.C.选修4-4：坐标系与参数方程曲线C的参数方程为〔为参数，〕.求曲线C的普通方程.[解析]此题主要考查参数方程和普通方程的根本知识，考查转化问题的能力.解：因为所以故曲线C的普通方程为：.D.选修4-5：不等式选讲设≥＞0,求证：≥.[解析]此题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力.总分值10分.证明：因为≥＞0,所以≥0，＞0，从而≥0，即≥.[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.〔此题总分值10分〕在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F在轴上.〔1〕求抛物线C的标准方程；〔2〕求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；〔3〕设过点的直线交抛物线C于D、E两点