2023年高考数学理真题分类汇编：圆锥曲线

PAGE12-2023年高考数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、〔2023年四川高考〕设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,那么直线OM的斜率的最大值为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕1【答案】C2、〔2023年天津高考〕双曲线〔b>0〕，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，那么双曲线的方程为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D3、〔2023年全国I高考〕方程EQ\F(x2,m2+n)–EQ\F(y2,3m2–n)=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n的取值范围是〔A〕(–1,3)〔B〕(–1,EQ\R(3))〔C〕(0,3)〔D〕(0,EQ\R(3))【答案】A4、〔2023年全国I高考〕以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.|AB|=，|DE|=，那么C的焦点到准线的距离为〔A〕2〔B〕4〔C〕6〔D〕8【答案】B5、〔2023年全国II高考〕圆的圆心到直线的距离为1，那么a=〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2【答案】A6、〔2023年全国II高考〕圆是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,那么E的离心率为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2【答案】A7、〔2023年全国III高考〕O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且轴.过点A的直线l与线段交于点M，与y轴交于点E.假设直线BM经过OE的中点，那么C的离心率为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A8、〔2023年浙江高考〕椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，那么A．m>n且e1e2>1B．m>n且e1e2<1C．m<n且e1e2>1D．m<n且e1e2<1【答案】A二、填空题1、〔2023年北京高考〕双曲线〔，〕的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，假设正方形OABC的边长为2，那么_______________.【答案】22、〔2023年山东高考〕双曲线E：〔a＞0，b＞0〕，假设矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，那么E的离心率是_______.【答案】2【解析】由题意，所以，于是点在双曲线上，代入方程，得，在由得的离心率为，应填2.3、〔2023年上海高考〕平行直线，那么的距离_______________【答案】4、〔2023年浙江高考〕假设抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，那么M到y轴的距离是_______．【答案】三、解答题1、〔2023年北京高考〕椭圆C：〔〕的离心率为，，，，的面积为1.〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.求证：为定值.【解析】⑴由，，又，解得∴椭圆的方程为.⑵方法一：设椭圆上一点，那么.直线：,令，得.∴直线：,令，得.∴将代入上式得故为定值.方法二：设椭圆上一点，直线PA:,令，得.∴直线:,令，得.∴故为定值.2、〔2023年山东高考〕平面直角坐标系中，椭圆C：

的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.〔I〕求椭圆C的方程；〔II〕设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.〔i〕求证：点M在定直线上;〔ii〕直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.【解析】(Ⅰ)由离心率是，有，又抛物线的焦点坐标为，所以，于是，所以椭圆的方程为．(Ⅱ)〔i〕设点坐标为，由得，所以在点处的切线的斜率为，因此切线的方程为，设，，将代入，得．于是，，又，于是直线的方程为．联立方程与，得的坐标为．所以点在定直线上．〔ii〕在切线的方程为中，令，得，即点的坐标为，又，，所以；再由，得于是有．令，得当时，即时，取得最大值．此时，，所以点的坐标为．所以的最大值为，取得最大值时点的坐标为．3、〔2023年上海高考〕有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为〔1,0〕，如图求菜地内的分界线的方程菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值〞为。设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值【解析】〔1〕因为上的点到直线与到点的距离相等，所以是以为焦点、以为准线的抛物线在正方形内的局部，其方程为〔〕．〔2〕依题意，点的坐标为．所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为．矩形面积与“经验值〞之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值〞之差的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值〞．4、〔2023年上海高考〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分.双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点。〔1〕假设的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；〔2〕设，假设的斜率存在，且，求的斜率.【答案】〔1〕．〔2〕.【解析】〔1〕设．由题意，，，，因为是等边三角形，所以，即，解得．故双曲线的渐近线方程为．〔2〕由，，．设，，直线．显然．由，得．因为与双曲线交于两点，所以，且．设的中点为．由即，知，故．而，，，所以，得，故的斜率为．5、〔2023年四川高考〕椭圆E：QUOTE的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l:y＝－x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.〔I〕求椭圆E的方程及点T的坐标；〔II〕设O是坐标原点，直线l’平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得∣PT∣2=λ∣PA∣·∣PB∣，并求λ的值.有方程组得.=1\*GB3①方程=1\*GB3①的判别式为，由，得，此方程=1\*GB3①的解为，所以椭圆E的方程为.点T坐标为〔2,1〕.由=2\*GB3②得.所以，同理，所以.故存在常数，使得.6、〔2023年天津高考〕设椭圆〔〕的右焦点为，右顶点为，，其中为原点，为椭圆的离心率.〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设过点的直线与椭圆交于点〔不在轴上〕，垂直于的直线与交于点，与轴交于点，假设，且，求直线的斜率的取值范围.【解析】〔2〕〔Ⅱ〕解：设直线的斜率为〔〕，那么直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.解得，或，由题意得，从而.由〔Ⅰ〕知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.所以，直线的斜率的取值范围为.7、〔2023年全国I高考〕设圆的圆心为A，直线l过点B〔1,0〕且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.〔I〕证明为定值，并写出点E的轨迹方程；〔=2\*ROMANII〕设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【解析】〔Ⅰ〕因为，，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：〔〕.8、〔2023年全国II高考〕椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．〔Ⅰ〕当时，求的面积；〔Ⅱ〕当时，求的取值范围．【解析】⑴当时，椭圆E的方程为，A点坐标为，那么直线AM的方程为．联立并整理得，解得或，那么因为，所以因为，，所以，整理得，无实根，所以．所以的面积为．⑵直线AM的方程为，联立并整理得，解得或，所以所以因为所以，整理得，．因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得解得．9、〔2023年全国III高考〕抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．〔I〕假设在线段上，是的中点，证明；〔II〕假设的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.10、〔202