2023年高考文科数学试题全国卷2及解析word完美版

祥子数理化2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：本大题共12小题．每题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的．1、集合A={1,2,3}，B={x|x2<9}，那么A∩B=()A．{–2,–1,0,1,2,3} B．{–2,–1,0,1,2} C．{1,2,3} D．{1,2}2、设复数z满足z+i+3–i，那么EQ\X\to(z)=()A．–1+2iB．1–2iC．3+2iD．3–2i3、函数y=Asin(ωx+φ)的局部图像如下左1图，那么()A．y=2sin(2x–EQ\F(π,6))B．y=2sin(2x–EQ\F(π,3))C．y=2sin(2x+EQ\F(π,6))D．y=2sin(2x+EQ\F(π,3))4、体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，那么该球面的外表积为()A．12πB．EQ\F(32,3)πC．8πD．4π5、设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=EQ\F(k,x)(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，那么k=()A．EQ\F(1,2)B．1C．EQ\F(3,2)D．26、圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，那么a=()A．−EQ\F(4,3)B．−EQ\F(3,4)C．EQ\r(,3)D．27、如上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，那么该几何体的外表积为()A．20πB．24πC．28πD．32π8、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．假设一名行人来到该路口遇到红灯，那么至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A．EQ\F(7,10)B．EQ\F(5,8)C．EQ\F(3,8)D．EQ\F(3,10)9、中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，假设输入的a为2，2，5，那么输出的s=()A．7B．12C．17D．3410、以下函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是()A．y=xB．y=lgxC．y=2xD．y=EQ\F(1,\r(,x))11、函数f(x)=cos2x+6cos(EQ\F(π,2)–x)的最大值为()A．4B．5 C．6D．712、函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2–x)，假设函数y=|x2–2x–3|与y=f(x)图像的交点为(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xm,ym)，那么()A．0B．mC．2mD．4m二、填空题：共4小题，每题5分．13、向量a=(m,4)，b=(3,–2)，且a∥b，那么m=___________．14、假设x，y满足约束条件EQ\b\lc\{(\a\al(x–y+1≥0,x+y–3≥0,x–3≤0))，那么z=x–2y的最小值为__________．15、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设cosA=EQ\F(4,5)，cosC=EQ\F(5,13)，a=1，那么b=____________．16、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2〞，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1〞，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5〞，那么甲的卡片上的数字是________________．三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、(本小题总分值12分)等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2．18、(本小题总分值12分)某险种的根本保费为a(单位：元)，继续购置该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于根本保费〞．求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于根本保费但不高于根本保费的160%〞．求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度的平均保费估计值．19、(本小题总分值12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D'EF的位置．(1)证明：AC⊥HD'；(2)假设AB=5，AC=6，AE=EQ\F(5,4)，OD'=2EQ\r(,2)求五棱锥D'–ABCEF体积．20、(本小题总分值12分)函数f(x)=(x+1)lnx–a(x–1)．(1)当a=4时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；(2)假设当x∈(1,+∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．21、(本小题总分值12分)A是椭圆E：EQ\F(x2,4)+EQ\F(y2,3)=1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．(1)当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积．(2)当2|AM|=|AN|时，证明：EQ\r(,3)<k<2．请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分．22、(本小题总分值10分)[选修4–1：几何证明选讲]如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．(1)证明：B，C，G，F四点共圆；(2)假设AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．23、(本小题总分值10分)[选修4–4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)2+y2=25．(1)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是EQ\b\lc\{(\a\al(x=tcosα,y=tsinα))(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|=EQ\r(,10)，求l的斜率．24、(本小题总分值10分)[选修4–5：不等式选讲]函数f(x)=|x–EQ\F(1,2)|+|x+EQ\F(1,2)|，M为不等式f(x)<2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a+b|<|1+ab|．2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案一、选择题D、C、A、A、DA、C、B、C、DB、B二、填空题13、–6；14、–5；15、EQ\F(21,13)；16、1和3．三、解答题17、答案：(1)an=EQ\F(2n+3,5)；(2)24．分析：(1)根据等差数列的性质求a1，d，从而求得an；(2)根据条件求bn，再求数列{bn}的前10项和．解析：(1)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1–5d=4，a1–5d=3，解得a1=1，d=EQ\F(2,5)，所以{an}的通项公式为an=EQ\F(2n+3,5)．(2)由(1)知bn=[EQ\F(2n+3,5)]，当n=1,2,3时，1≤EQ\F(2n+3,5)<2，bn=1；当n=4,5时，2≤EQ\F(2n+3,5)<3，bn=2；当n=6,7,8时，3≤EQ\F(2n+3,5)<4，bn=3；当n=9,10时，4≤EQ\F(2n+3,5)<5，bn=4．所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24．考点：等差数列的性质，数列的求和．18、答案：(1)由EQ\F(60+50,200)求P(A)的估计值；(2)由EQ\F(30+30,200)求P(B)的估计值；(3)根据平均值得计算公式求解．解析：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2．由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为EQ\F(60+50,200)=0.55，故P(A)的估计值为0.55．(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4．由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为EQ\F(30+30,200)=0.3，故P(B)的估计值为0.3．(3)由题所求分布列为：保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.30+2a×0.10=1.1925a，因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a．考点：样本的频率、平均值的计算．19、答案：(1)详见解析；(2)EQ\F(69,4)．分析：(1)证AC∥EF．再证AC∥HD'；(2)证明OD'⊥OH，再证OD'⊥平面ABC．最后求五棱锥D'–ABCEF体积．解析：(1)由得，AC⊥BD，AD=CD．又由AE=CF得EQ\F(AE,AD)=EQ\F(CF,CD)，故AC∥EF．由此得EF⊥HD，EF⊥HD'，所以AC∥HD'．(2)由EF∥AC得EQ\F(OH,DO)=EQ\F(AE,AD)=EQ\F(1,4)．由AB=5，AC=6得DO=BO=EQ\R(,AB2–AO2)=4．所以OH=1，D'H=DH=3．于是OD'2+OH2=(2EQ\r(,2))2+12=9=D'H2，故OD'⊥OH．由(1)知AC⊥HD'，又AC⊥BD，BD∩HD'=H，所以AC⊥平面BHD'，于是AC⊥OD'．又由OD'⊥OH，AC∩OH=O，所以，OD'⊥平面ABC．又由EQ\F(EF,AC)=EQ\F(DH,DO)得EF=EQ\F(9,2)．五边形ABCFE的面积S=EQ\F(1,2)×6×8–EQ\F(1,2)×EQ\F(9,2)×3=EQ\F(69,4)．所以五棱锥D'–ABCEF体积V=EQ\F(1,3)×EQ\F(69,4)×2EQ\r(,2)=EQ\F(23\r(,2),2)．考点：空间中的线面关系判断，几何体的体积．20、答案：(1)2x+y–2=0；(2)(–∞,2]．分析：(1)先求定义域，再求f'(x)，f'(1)，f(1)，由直线方程得点斜式可求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y–2=0；(2)构造新函数g(x)=lnx–EQ\F(a(x–1),x+1)，对实数a分类讨论，用导数法求解．解析：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)．当a=4时，f(x)=(x+1)lnx–4(x–1)，f'(x)=lnx+EQ\F(1,x)–3，f'(1)=–2，f(1)=0．曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y–2=0．(2)当x∈(1,+∞)时，f(x)>0等价于lnx–EQ\F(a(x–1),x+1)>0．令g(x)=lnx–EQ\F(a(x–1),x+1)，那么g'(x)=EQ\F(1,x)–EQ\F(2a,(x+1)2)=EQ\F(x2+2(1–a)x+1,x(x+1)2)，g(1)=0，①当a≤2，x∈(1,+∞)时，x2+2(1–a)x+1≥x2–2x+1>0，故g'(x)>0，g(x)在x∈(1,+∞)上单调递增，因此g(x)>0；②当a>2时，令g'(x)=0得x1=a–1–EQ\r(,(a–1)2–1)，x2=a–1+EQ\r(,(a–1)2–1)，由x2>1和x1x2=1得x1<1，故当x∈(1,x2)时，g'(x)<0，g(x)在x∈(1,x2)单调递减，因此g(x)<0．综上，a的取值范围是(–∞,2]．考点：导数的几何意义，函数的单调性．21、答案：(1)EQ\F(144,49)；(2)(EQ\r(3,2),2)．分析：(1)先求直线AM的方程，再求点M的纵坐标，最后求△AMN的面积；(2)设M(x1,y1)，将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组，消去y，用k表示x1，从而表示|AM|，同理用k表示|AN|，再由2|AM|=|AN|，求k．解析：(1)设M(x1,y1)，那么由题意知y1>0．由及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为EQ\F(π,4)，又A(–2,0)，因此直线AM的方程为y=x+2．将x=y–2代入EQ\F(x2,4)+EQ\F(y2,3)=1得7y2–12y=0，解得y=0或y=EQ\F(12,7)，所以y1=EQ\F(12,7)．因此△AMN的面积S△AMN=2×EQ\F(1,2)×EQ\F(12,7)×EQ\F(12,7)=EQ\F(144,49)．(2)将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入EQ\F(x2,4)+EQ\F(y2,3)=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2–12=0．由x1·(–2)=EQ\F(16k2–12,3+4k2)得x1=EQ\F(2(3–4k2),3+4k2)，故|AM|=EQ\r(,1+k2)|x1+2|=EQ\F(12\r(,1+k2),3+4k2)．由题设，直线AN的方程为y=–EQ\F(1,k)(x+2)，故同理可得|AN|=EQ\F(12k\r(,1+k2),4+3k2)．由2|AM|=|AN|得EQ\F(2,3+4k2)=EQ\F(k,4+3k2)，即4t3–6t2+3t–8=0．设f(t)=4t3–6t2+3t–8，那么k是f(t)的零点，f'(t)=12t2–12t+3=3(2t–1)2≥0，所以f(t)在(0,+∞)单调递增，又f(EQ\r(,3))=15EQ\r(,3)–26<0，f(2)=6>0，因此f(t)在(0,+∞)有唯一的零点，且零点k在(EQ\r(,3),2)内，所以EQ\r(,3)<k<2．考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分，做答时请写清题号22、答案：(1)详见解析；(2)EQ\F(1,2)．分析：(1)证△DGF∽△CBF，再证B，C，G，F四点共圆；(2)证明Rt△BCG∽Rt△BFG．四边形BCGF的面积S是△GCB面积S△GCB的2倍．解析：(1)因为DF⊥EC，所以△DEF∽△CDF，那么有∠GDF+∠DEF=∠FCB，EQ\F(DF,CF)=EQ\F(DE,CD)=EQ\F(DG,CB)，所以△DGF∽△CBF．由此可得∠DGF=∠CBF，由此∠CGF+∠CBF=180°，所以B，C，G，F四点共圆.(2)由B，C，G，F四点共圆，CG⊥CB知FG⊥FB，连结GB，由G为Rt△DFC斜边CD的中点，知GF=GC，故Rt△BCG∽Rt△BFG．因此四边形BCGF的面积S是△GCB面积S△GCB的2倍，即S=2S△GCB=2×EQ\F(1,2)×EQ\F(1,2)×1=EQ\F(1,2)．考点：三角形相似、全等，四点共圆23、答案：(1)ρ2+12ρcosθ+11=0；(2)±EQ\F(\r(,15),3)．分析：(1)利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ可得C的极坐标方程；(2)先将直线l的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得l的斜率．解析：(1)由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C的极坐标方程ρ2+12ρcosθ+11=0．(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=α(