《信号与系统》离散时间信号的傅立叶变换

信号与系统Signalsandsystems第六章离散时间信号的傅立叶变换6.1LTI离散时间系统对复指数信号的响应设LTI离散时间系统冲激响应为,输入信号，其中为复指数信号为复指数信号复数，则系统响应

为:：特征函数：系统的特征值

(6.1.1)图6.1.1复指数信号通过LTI离散时间系统如果任一离散时间信号

可以表示为:那么根据系统的线性性质，可方便地得到系统的输出信号:(6.1.3)(6.1.4)6.2离散时间周期信号的傅立叶级数1离散时间周期信号的傅立叶级数

对于离散时间信号,若存在非零的正整数

N，对任意

n值有:则称

是以

N为周期的周期信号.

令令信号

是复指数信号

及其各次谐波相关的线性组合，即:关于时间变量

n是那么离散时间复指数信号以

N为周期的

.以N为周期常数(6.2.2)推导系数的计算公式:两端乘以

并在一个周期

N内关于n求和(6.2.3)傅氏级数

傅氏系数

(6.2.6)(6.2.7)离散时间信号傅氏系数

以N为周期,即共轭

的傅氏级数系数为

若

是实周期信号，则其傅氏系数满足

或(6.2.8)若

是实偶周期信号，则其傅氏系数是实的关于的偶函数

是实奇周期信号，则其傅氏系数是若

的奇函数

纯虚的关于例6.2.1

已知离散时间周期脉冲信号

求其傅立叶级数表示。

如图所示

，解：令

，则傅立叶级数系数为：

若令

则及其包络如图:(6.2.10)例6.2.2

已知LTI离散时间系统冲激响应为

,其中输入信号为一冲激串，表示为

求N是大于1的正整数，如图所示.的傅立叶级数表示及系统响应.解：容易验证信号

是以

N为周期的，令

傅氏系数可表示为

(6.2.12)2离散时间信号的周期卷积及其傅立叶级数的周期卷积和定义周期为

N的信号

变量

的求和范围是长度为的区间周期卷积

满足交换律,

(6.2.14)仍是周期为

的周期信号

周期为N的两离散时间信号的周期卷积的傅氏系数，为原两信号傅氏系数乘积的N倍。的傅氏系数

(6.2.19)例6.2.3

已知周期离散时间信号

和如图所示。和的周期卷积(1)求信号(2)求信号

的傅氏系数，并验证它们间的关系满足式解：和的周期为

，定义一（1）信号为非周期信号那么周期卷积可表示为普通卷积本例中：

（2）令，信号和的傅氏系数

和为且的傅氏系数

信号为6.3离散时间信号的傅立叶变换1离散时间周期信号的傅立叶变换

设时限非周期信号

如图所示，对它进行周期拓展可构成周期信号傅氏系数可表示为：

(6.3.1)当趋于无穷大时

趋于连续变量

趋于定义函数

为：可表示为

(6.3.3)的傅氏级数可表示为：

(6.3.4)傅立叶变换

傅立叶逆变换

频谱密度函数2离散时间信号傅立叶变换举例

例6.3.1求以下离散时间信号的傅立叶变换。（1）（3）（4）（2）解：

〔1〕〔2〕筛选性

(6.3.8)(6.3.9)幅度谱相位谱〔3〕信号(6.3.10)频谱〔4〕信号频谱例6.3.2求下列

的傅立叶逆变换。

〔1〕〔2〕解：〔1〕信号频谱(2)频谱6.4离散时间信号傅立叶变换的性质1周期性离散时间信号的傅立叶变换

是以

为周期的：2线性如果

,则是常数(6.4.1)(6.4.2)3时移特性

如果

,则证明：

两边用

代替

(6.4.3)4频移特性

如果

,则两边以

代替

(6.4.4)求以下离散时间信号的傅立叶变换。(1)(2)(3)解:(1)频移特性(6.4.5)(6.4.6)(2)傅氏变换的线性欧拉公式傅氏变换

(3)同理可得

傅氏变换

求离散时间周期信号的傅立叶变换。

解:由于周期信号是不绝对可加的，故一般意义下其傅氏变换不存在。但可先求其傅氏级数(6.4.9)5时域展宽特性信号

时间上展宽

N倍的信号

可表示为:

信号

的傅氏变换的时域展宽特性（timeexpansionproperty）为：如果

,则证明：由于信号

仅在n为N的整数倍时不为零，所以

(6.4.10)信号

在时间上展宽

N倍，其频谱在频率上压缩

N倍对方波信号，当

时的时域展宽和频谱压缩情况如图所示:时域展宽频谱压缩如果

,则证明:两边取共轭6共轭对称特性

(6.4.13)用代替信号

是实的

信号

是实的偶信号

实的偶函数

(6.4.14)(6.4.15)虚的奇函数

实信号偶部实信号奇部信号

是实的奇信号

(6.4.16)(6.4.17)(6.4.18)7时域卷积特性

，则:证明：(6.4.19)傅氏变换的时域卷积特性

LTI离散时间系统冲激响应和输入信号分别为求系统响应

？解：系统响应

应为冲激响应和输入信号的卷积和

利用傅氏变换的时域卷积特性求解

时域卷积特性

系统响应为

8时域差分特性

如果

,则求以下离散时间信号的傅立叶变换。(1)(2)求单位阶跃信号

的傅氏变换。

(6.4.20)解：(1)信号

的波形如图所示，可以看出的一阶差分为

设信号

的傅氏变换为

，根据时域差分特性，有(6.4.21)(2)阶跃信号

可用信号

表示为

(6.4.22)9时域累加特性

如果

,则证明:时域卷积特性

(6.4.23)10能量定理——帕斯瓦关系

如果

,则(6.4.25)证明:交换积分与求和的顺序

利用帕斯瓦关系

(1)求信号

的能量。

(2)求级数

的值。解：(1)帕斯瓦关系(2)如果

，则信号能量为

11时域相乘〔幅度调制〕特性如果

则证明：根据傅氏变换定义

(6.4.26)

用时域相乘特性证明帕斯瓦关系式

证明：根据幅度调制特性式有令令求以下信号的傅立叶变换。(a)(b)解:(a)信号

可表示为

时域相乘特性为了利用一般的卷积计算方法计算上式的周期卷积，的

周期性，即令

可不考虑此时周期卷积可表示为一般卷积

(b)信号

可表示为

的傅氏变换可表示为

时域相乘特性卷积的结果

12频域微分特性如果

,则

求信号

和的傅立叶变换，且解：(6.4.27)频域微分特性

线性性质

时移特性

N=-1时信号为0一般公式

(6.4.29)(6.4.30)6.6LTI离散时间系统的频率响应与理想滤波器1离散时间系统频率响应一个LTI离散时间系统可用线性常系数差分方程描述为

通常取

。设的傅氏变换为

利用离散时间傅立叶变换的线性和时移特性，可得

定义LTI离散时间系统的频率响应

为(6.6.1)幅频特性

相频特性

表示为模和相角的形式

(6.6.4)

一个因果LTI离散时间系统的差分方程为

(1)求系统频率响应和冲激响应。

(2)设系统的输入信号为

系统响应

，求解：(1)系统的频率响应

为局部分式展开求傅氏逆变换，系统的冲激响应为(2)输入信号的傅氏变换为时域卷积特性

傅氏逆变换得系统响应

(6.6.7)2离散时间理想滤波器对频率选择性滤波器，允许信号无失真通过的频带范围称为通带，而禁止信号通过的频带范围称为阻带。

(1)离散时间理想低通滤波器

理想低通滤波器的频率响应为

称为低通滤波器的截止角频率。

(6.6.8)相应的系统冲激响应为(6.6.9)(2)离散时间理想高通滤波器

理想高通滤波器的频率响应为

称为高通滤波器的截止角频率。(6.6.10)(3)离散时间理想带通滤波器

理想带通滤波器的频率响应为角频率

称为带通滤波器的中心频率。

根据傅氏变换的频移特性，理想带通滤波器的冲激(6.6.12)响应可表示为或(6.6.14)低通滤波器频率响应为相应的系统冲激响应为

，现有另一系统为冲激响应问：是否仍为低通滤波器？

解：根据傅氏变换的时域展宽特性，

的傅氏变换为：即

是

频域上压缩一倍的结果。

不再是一个低通滤波器，而是一带阻滤波器。6.7离散时间信号的采样与抽取1离散时间信号的采样及采样定理离散时间信号的采样和恢复可表示为如图所示。，即设离散时间信号为带限信号，其傅立叶变换为

设信号

是周期为

(采样周期)的冲激串信号，表示为(6.7.1)对信号

采样，就是信号

与相乘，即

(6.7.3)的信号值在

的整数倍处与

相同，而在其它时刻为零。

的傅氏变换

为根据离散设计信号的调制特性，的傅氏变换

为

与的周期卷积，可表示为

(6.7.2)(6.7.4)同连续时间信号的采样类似，可用一低通滤波器从

，低通滤波器的频率响为恢复出信号的频谱应

相应的系统冲激响应为

(6.7.5)(6.7.6)恢复信号的频谱为

(6.7.7)恢复信号的时域表达式为

离散时间信号的内插

(6.7.8)离散时间信号的采样定理

或时，频谱不会采样角频率

出现混叠2离散时间信号的抽取和内插点〔对采样后的信号

隔

称为抽取周期）中对

的采样点“抽取”可用公式表示：

取样一点，即刚好将出来，抽取后的信号从离散时间信号

得到信号

的过程，称为对信的抽取。

号(6.7.11)离散时间信号的抽取

信号采样结果信号

抽取结果信号

信号的傅氏变换为

由于

仅在时间变量为

的整数倍，即

时不为零，所以

(6.7.12)由于信号

，所以信号

的傅氏变换可表示为是

倍展宽的(6.7.14)频谱

采样结果频谱

抽取结果频谱

将离散时间信号的抽取称为信号的降采样〔downsampling〕从抽取后的信号

恢复原信号

的过程就是抽取的逆过程。每两点间插入

个零点低通滤波器

(6.7.15)从抽取后的信号

恢复原信号

的过程常称为信号的升采样（upsampling）或内插从信号的抽取和恢复过程可以看出，为了能从信号

恢复出原信号

，要求抽取后的信号频谱

不能出现频谱混叠

或升采样频谱：例6.7.1

已知离散时间信号

为

求能恢复出信号

的最大采样周期

画出

的采样信号和抽取信号时，的波形和频谱图。解：信号

的傅氏变换为

采样周期

当时采样信号

抽取信号

信号频谱6.8连续时间信号的离散时间处理1连续时间信号的离散化及其频谱对带限连续时间信号

进行采样,采样结果是幅度被一冲激串，冲激的强度等于

在各采样点上的幅度，为(6.8.1)定义离散时间信号

连续时间信号

的傅氏变换

(6.8.2)(6.8.3)离散时间信号

的傅氏变换

或(6.8.5)采样

离散2连续时间信号角频率与离散时间信号角频率的关系为什么连续时间信号的角频率

可任意大，而离散时间信号的角频率总是小于等于

?

设连续时间信号

的最高角频率为

，根据奈奎斯特采样定理，采样周期应满足

例6.8.1

已知连续时间信号为

求对

采样时需满足的奈奎斯特采样周期。若采样周期分别为

，画出相应的离散时间信号的频谱。

解：信号

的傅氏变换为

信号的采样周期应满足

6.9离散傅立叶变换〔DFT〕1离散傅立叶变换的概念设时限信号

信号的点数

根据信号

构造周期信号

，且设周期

(6.9.1)信号的傅氏变换

周期信号

的傅氏级数系数

(6.9.2)是以

傅氏系数

为间隔对

取样并除以的结果。

常数定义

为(6.9.5)周期信号

可用傅氏级数表示为

(6.9.6)(6.9.7)定义旋转因子（rotationfactor）

为离散傅立叶变换

离散傅立叶逆变换

(6.9.8)(6.9.9)(6.9.10)设

为偶