初中几何辅助线做法

线、角、相交线、平行规律1.如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直1可以画2

n(n－1)条1规律2.平面上的n条直线最多可把平面分成2

n(n+1)+1〕个部分1规律3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数2

n(n－1)条规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半例：如图，B段AC上，M是AB的中点，N是BC的中点1求证：MN 2证明：∵MAB的中点，NBC

∴AM=BM

AB,BN=CN ∴MN=MB+BN

AB2

BC2

(AB+21∴MN 2练习：1.CAB上的一点，MBC的中点1求证：AM

(AB+2

如图，点B段AC上，M是AB的中点，N是AC的中点1求证：MN 2

如图，点B段AC上，N是AC的中点，M是BC的中点1求证：MN 2

BM1规律5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共2

n(n－1)个规律6.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个规律7.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角1规律8.平面上若有（n≥3个点三个点不在同一直过任意三点作三角形一共可作6－1)(n－2）个规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为1

规律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个2

n(n－1)个规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的例：如图，以下三种情况请自己证明AEBHFGFAEBAEBHFGFAEBHGAEBHFG 规律13.已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下A

B ABC+BCD+CDE=360 CAC

BCD=ABC+ ABAB

BCD=CDE

C

BCD=ABC

CDE=BCD+C

CABABC=BCD+AB规律14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半AMNCD例：已知，BE、DE分别平分∠ABC和∠ADC，若∠A=45o,∠C=55o,求∠E的度数.解：∠A＋∠ABE=∠AMNCD∠C＋∠CDE ∠A＋∠ABE＋∠C＋∠CDE

∵BE平分∠ABC、DE∴∠ABE=∠CBE，∠CDE∴2∠E1∴∠E

2∵∠A=45o,∠C∴∠E三角形规律5性质证题.D、E为△ABC MDF 在△AMN中，AM＋MDF 在△BDM中 在△CEN中 ①＋②＋③ C 证法（二）BDACFCEBF在△ABF和△GFC和△GDE注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或练习P为△ABC内任一点，12

规律16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACEBD的延D.求证：∠A证明：∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACE∴∠ACE=2∠1,∠ABC 21 ∵∠A=∠21 B∴∠A=又∵∠D∴∠A规律17.三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半例：如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACBBDC90o12证明：∵BD、CD分别平分∠ABC∴∠A＋2∠1＋2∠2=∴2(∠1＋∠2)=D12∵∠BDC D12∴(∠1＋∠2)180o－∠BDC② 2(180o－∠BDC)=即：360o－2∠BDC∴2∠BDC=∴∠BDC=90o＋12规律18.三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半例：如图，BD、CD分别平分∠EBC、∠FCBBDC90o12证明：∵BD、CD分别平分∠EBC∴∠EBC2∠1、∠FCB∴2∠1 2∠2 2（∠1＋∠2）=2（∠1＋∠2）=∴（∠1＋∠2）=90o＋1 B12CEF∵∠BDC=B12CEF1∴∠BDC=2∴∠BDC=90o－12

D例：已知，如图，在△ABC中，∠C＞∠BAD⊥BCDAE1求证：∠EAD

证明：∵AE1∴∠BAE=∠CAE 2∵∠BAC

E ∴∠EAC1〔180o－(∠B＋∠C)2∴∠DAC=90o∵∠EAD=∴∠EAD1〔180o－(∠B＋∠C)2=90o－21

(∠B＋∠C)－B

AFDEFDE E F

2如果把AD平移可以得到如下两图，FD⊥BC其它条件结论为∠EFD

2：注意在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌：规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证在内角的位置上，再利用外角定理证题.D为△ABC内任一点，求证：∠BDC＞∠BAC证法（一BDACE，∵∠BDC是△EDCDEDE ∵∠BDF是△ABD

D D规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形例：已知，如图，AD为△ABC的中线且∠1∠2，∠3∠4， =在△BDE和△NDEDN=∠1=ED=

N 2 ∴BE=同理可证：CF=在△EFN规律22.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形例：已知，如图，AD为△ABC的中线，且∠1∠2，∠3∠4，求证：BE＋CF＞EFEDMDM=DECM、FM△BDE和△CDMBD=∠1=ED=∴CM=又∵∠1∠2，∠3∠1＋∠2＋∠3＋∠4=∴∠3＋∠2=即∠EDFAEF214D∴∠FDMEF214D△EDF和△MDFED=CBC∠FDM=DF= ∴EF=∵在△CMF中，CF＋CM＞MF23.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知，如图，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2ADADEDEAD∵AD为△ABC21∴BD=21在△ACD和△EBDBD= C∠1=AD= ∵△ABE规律24.截长补短作辅助线的方这两种方法统称截长补短法当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法②a±b=③a±b=例：已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1∠2，PAD上任一点，证明：⑴截长法：ABANAC在△APN和△APCAN=1 ∠1 AP=BB ∴PC=∵△BPN⑵补短法：AC至MAMAB在△ABP和△AMPAB= ∠1=AP=∴PB=又∵在△PCMCM

1P 练习：1.已知，在△ABC中，∠B60o,AD、CE是△ABC的角平分线,求证：ACDE1432.已知，如图，AB∥CD∠1∠2∠3DE143A 规律25.证明两条线段相等的步骤①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等形全等.③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形例:如图，已知，BE、CDF，∠B∠C，∠1∠2，求证：DF证明：∵∠ADF∠AEF∠C＋∠4又∵∠3=∠4∠B=∴∠ADF=DE13F在△DE13F∠ADF=∠1=AF= ∴DF=规律26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等CE⊥ANE，求证：DE=BD－CE证明：∵∠BAC90o,∴∠1＋∠2= ∠1＋∠3=∴∠2= ∴∠BDA=∠AEC=在△ABD和△CAE∠BDA 1∠2= 3AB= E ∴BDAEAD∴AE－AD=∴DE=规律27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等例：AD为△ABCCF⊥ADF，BE⊥AD求证：BEF2F21D 规律28.条件不足时延长已知边构造三角形ACBD，AD⊥ACA，BCBD求证：ADDA、CB ∴∠CAE=∠DBE=在△DBE和△CAE∠DBEABOBD=ABO∠E∴ED=EC，EB= ∴ED－EA=EC－∴AD=规律29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题求证：AB=CDA14CA14C∴∠1=在△ABC和△CDA中 ∠1=AC=∠3=DB∴AB= DB练习：已知，如图，AB=DC，AD=BC，DE= 求证：BE=AF规律30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归Rt△ABC中，ABAC，∠BAC90o，∠1∠2，CE⊥BD求证：BD=BA、CE∴∠BEF=∠BEC=FAED12在△BEFAED12∠1= ∠BEF 1∴CE=FE 2∵∠BAC=90o, =∠CAF=∠1＋∠BDA=∠1＋∠BFC=∠BDA=在△ABD和△ACF =∠BDA=∠BFCAB=AC∴BD=∴BD=练习：已知，如图，∠ACB3∠B，∠1∠2,CD⊥ADD，求证：AB－AC=2CDA1D1D规律1.当证题有时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形例：已知，如图，C、BDBC，CB，O求证：∠A= O （规律32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件例：已知，如图，ABDC，∠A∠D求证：∠ABC=∠DCB证明：分别取AD、BC中点N、 33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离EAP12例：已知，如图，∠1∠2，PBNPD⊥BCD，AB＋BC2BD，求证：∠EAP12证明：过P作PE⊥BA于 ∵PD⊥BC，∠1=∴PE= DRt△BPERt△BPDBP=BPPE=∴BE=∵AB＋BC=2BD，BC=CD＋BD，AB=∴AE=∠PEB=∠PDC=在△PEA和△PDCPE=∠PEB=∠PDCAE=CD∴∠PCB=∵∠BAP＋∠EAP=∴∠BAP＋∠BCP=练习：1.已知，如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCAP，PD⊥BM于M，PF⊥BNF，求证：BP为∠MBN的平分线MDAP MDAP已知，如图，在△ABC中，∠ABC=100o，∠ACB=20o，CE是∠ACB的平分线，DAC上一点，若∠CBD20o，求∠CEDBE E规律34.有等腰三角形时常用的辅助⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高例：已知，如图，ABAC，BD⊥ACD，求证：∠BAC=2∠DBC（方法一）作∠BACAEBCE，则∠1∠2又∵AB

12 1D∴∠2＋∠ACB=1DC∴∠DBC＋∠ACB= CE∴∠2=∴∠BAC=（方法二）AAE⊥BCE（过程略（方法三）BCEAE（过程略⑵有底边中点时，常作底边中例：已知，如图，△ABC中，ABAC，DBC中点，DE⊥ABE，DF⊥ACF，求证：DE=DFA∵DBC∴BD=又∵AB ∴AD∴DE=⑶将腰延长一倍，构造直角三角形

例：已知，如图，△ABC中，ABACBAACE、FAEAF，证明：延长BE到N，使AN 连 ,则AB=AN=∴∠B=∠ACB,∠ACN=EAF∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC=EAF∴2∠BCA＋2∠ACN=∴∠BCA＋∠ACN=即∠BCN ∵AE=∴∠AEF=又∵∠BAC∠AEF∠BAC=∠ACN∴∠BAC=2∠AEF=∴∠AEF=⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行例：已知，如图，在△ABC中，ABAC，DAB上，EACBDCEBC求证：DF（证法一）DDN∥AEBCN，则∠DNB∠ACB，∠NDE∵AB=∴∠B=∴∠B∴BD=又∵BD=∴DN=在△DNF和△ECF∠1=∠NDF=∠EDN=EC∴DF=

AD1CNF2D1CFD1CNF2D1CF2（证法二）EEM∥ABBCM,则∠EMB=∠B（过程略⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行例：已知，如图，△ABC中，ABAC，EAC上，DBAADAEA （A ∠AFE∠AEFC∵AB=∴∠B∴∠AFE∵AD=∴∠AED又 =∴2∠AEF＋2∠AED=即∠FEDN（M（⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角 等边三角 = ,P为形内一点若∠PBC= = AB则∠BAE∠ABE60oAE=AB=BE∵AB=∴AE= ∠ABC∴∠AEC∵∠EAC=80o－60o=P∴∠ACE=1(180o－∠EAC)= P222

1(180o－∠BAC)=50o ∴∠BCE=80o－50o=∵∠PCB=∴∠PCB=∵∠ABC=∠ACB=50o,∠ABE=∴∠EBC=∠ABE－∠ABC=60o－50o∵∠PBC=∴∠PBC=在△PBC和△EBC∠PBC=∠EBCBC=BC∠PCB=∴BP=∵AB=∴AB=∴∠BAP∵∠ABP=∠ABC－∠PBC=50o－10o=∴∠PAB=1(180o－∠ABP)=2ACBC为一边作等边三角形△BCEAE,则EB=EC=BC，∠BEC=∠EBC=60o∵EB=∴EBCEAPABCAP∴EABC∠AEB

∠BEC=2

由解法一知：∠ABC∴∠ABE=∠EBC－∠ABC=10o∵∠ABE=∠PBC,BE=BC,∠AEB∴AB=∴∠BAP∵∠ABP=∠ABC－∠PBC=50o－10o=∴∠PAB=1(180o－∠ABP)=1(180o－40o)= 规律35.有二倍角时常用的辅助⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外例：已知，如图，在△ABC中，∠1∠2，∠ABC2∠C，求证：AB＋BD=ACABE，使BEBD则∠BED∵∠ABD∴∠ABC∵∠ABC=1BD∴∠E=1BD在△AED和△ACD∠E= ∠1=AD= ∴AC=∵AE=∴AC=AB＋BD⑵平分二倍例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥ACD，∠BAC求证：∠ABC证明：作∠BACAEBCE，则∠BAE∠CAE∴∠CBD＋∠C=∴∠CAE＋∠C=∵∠AEC=180o－∠CAE－∠C=∴∠ABC＋∠BAE=∵∠CAE＋∠C=∠BAE=∴∠ABC=⑶加倍小

D D例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥ACD，∠BAC求证：∠ABC证明：作∠FBD∠DBC,BFAC于F（过程略AFD FD规律36.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来例：已知，如图，△ABC中，ABAC，∠BAC120o，EFAB的垂直平分线，EFBCF，ABE1求证：BF 2AFAF∴∠B∵AB=∴∠B∵∠BAC=AEF∴∠B=∠C∠BAC=1(180o－∠BAC)=AEF2∴∠FAB= ∴∠FAC=∠BAC－∠FAB=120o－30o又∵∠C1∴AF 21∴BF 2ABC中，∠CABADBCDEM，DN⊥AC求证：BMAMEMECND37.有垂直时常构造垂直平分线例：已知，如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC求证：CD（一）CDDEDBAEAB∴∠B∵∠B= ∴∠AEB=又∵∠AEB

∴∠C∴AE=又∵CD= ∴CD=（二）延长CB到F，使DF=DC， =AC（过程略规律38.有中点时常构造垂直平分线

AF例：已知，如图，在△ABC中，BC2AB∠ABC2∠C,BD求证：△ABCDDE⊥BCACEBEBE∴∠C∵∠ABC=∴∠ABE∵BC=2AB，BD=∴BD=在△ABE和△DBEAB=∠ABE=∠EBCBE=BE∴∠BAE=∵∠BDE=∴∠BAE=即△ABC

E E规律39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题例：已知，如图，在△ABC中，∠A90o，DEBC的垂直平分线求证：BE2－AE2=AC2AECEBEAE∵∠A=∴AE2＋AC2=∴AE2＋AC2=∴BE2－AE2=

练习：已知，如图，在△ABC中，∠BAC90o，ABAC，PBC上一点求证：PB2＋PC2=2PA2A 规律40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中2例：已知，如图，在△ABC中，∠B45o，∠C30o，AB2AAD⊥BC∴∠B＋∠BAD=∵∠B=45o，∠B=∠BAD=

AC的长∴AD=A2∵AB2=AD2＋BD2，AB2 ∴AD= ∵∠C=∴AC=2AD=四边形规律41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半ABCD∴AB=CD，AD=CB，AO=∵AB＋CD＋DA＋CB=AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)=∴AB＋BC=30，AB－BC∴AB=CD=19，BC=AD=规律42.平行四边形被对角线分成四个角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差（例题如上规律43.有平行线时常作平行线构造平行四边BC求证：CE=

C 为平行四3边 F31DB2DBP∴∠B=∠FPA，BH=∵∠ACB=∴∠5＋∠CAB=45o，∠B＋∠CAB=∴∠5∴∠5又∵∠1∠2，AF∴CF=∵∠4=∠1＋∠5，∠3∴∠3∴CF=∴CE=练习：已知，如图，AB∥EF∥GH，BE求证：AB= FH FH规律44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段例：已知，如图，在□ABCD中，AB2BC，MAB中点DM、CBABCD∴AD=∴∠A= 21MB又∵AM=21MB∴AD= ∴BN=∵AB=2BC，AM= ∴BM=BC=∴∠1=∠2，∠3∵∠1＋∠2＋∠3＋∠N=∴∠1＋∠3=规律45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等如图：OEO OB 46.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三A A如图：S△BEC 2BC47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的如图：S△AOBS△DOCS△BOC＋S△AOD

OO2BC规律48.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等如图：AO2＋OC2BO2OO O 规律49.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形 如图：四边形GHMN是矩形ANANGMHBC（规律45～规律49 自己证明规律50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线例：已知，如图，EABCDADBEED，PBD上一点，PF⊥BEF，PG⊥ADG求证：PF＋PGPPH⊥ABHAHPG∴AH= ∴∠ADB∵BE=∴∠EBD=∴∠HPB又∵∠PFB∠BHP∴HB=∴AH＋HB=AB

EG PF PFGPBCNABNG（证明略）51.直角三角形常用辅助线方法：⑴作斜边上例：已知，如图,ABCDCBD的垂线与∠BAD求证：ACDGOFCDGOFC∴∠FAE= ABCD∴∠BAD= OA= ∴∠BDA∴∠ABD＋∠ADB=∠ABD＋∠BAF ∴∠BAF=∠ADB ∵AE为∠BAD∴∠BAE∴∠BAE－∠BAF∴∠CAE∴AC=⑵作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线①有斜边中 中点，G是AEFDEFD∵AD、BE是△ABC的高，GAB ∴GE

AB，GD ∴GE=∵FDE②有和斜边倍分关系的线段1例：已知，如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，且DA⊥BA于A，AC 2求证：∠ACB1证明：取BD中点E，连结AE，则AE=BE 2∴∠11∵AC 1212EC∴AC=∴∠ACB ∵∠2∴∠2=∴∠ACB=规律52.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等ABCDBDPPE⊥BCEPF⊥CD求证：AP证明:AC、ABCD∴BDAC，∠BCD∴AP=∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=PECF∴PC=∴AP=规律53.有正方形一边中点时常取另一边中点

PFP 例：已知,ABCD中，MAB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBEMN求证：MD1证明：取AD的中点P，连结PM，则DP=PA 2ABCD∴AD=AB,∠A=∠ABC=∴∠1＋∠AMD90o∴∠2＋∠AMD=∴∠1∵MAB1

CN21CN21∴AM=MB 2∴DP= AP=∴∠APM=∠AMP=∴∠DPM∵BN∴∠CBN=∴∠MBN=∠MBC＋∠CBN=90o＋45o=即∠DPM∴DM=注意：把MAB练习：已知，QABCD的CD边的中点，PCQAP求证：∠BAP QP 规律54.利用正方形进行旋转变旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法.旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中.例：已知，如图，在△ABC中，ABAC，∠BAC90o，D为BC边上任一点求证：2AD2=BD2＋CD2证明：把△ABDA90o∴BD= ∠B=∵∠BAC=∴∠DAE=∴DE2=AD2＋AE2=∵∠B＋∠ACB=∴∠DCE=∴CD2＋CE2=∴2AD2=注意：把△ADCA90o

E ABCD中，EAD上一点，BF平分∠CBECD求证：BE= FC规律55.有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形ABCD中，E、FCD、DA的中点，BECFP点求证：AP=ABCFBAABCD∴BC=AB=CD=DA∠BCD=∠D=∠BAD=∵E、FCD、DA∴CE

DF=AF

F21P F21P∴CE=∴∠CBE∵∠BCF＋∠DCF=∴∠BCF＋∠CBE=

又∵∠D=∠DAK= DF= ∠1∴CD=∴BA=∴AP=ABCD中，QCDDQQC，PBCAP求证：AQDQP规律56.从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形ABCD中，AD∥BC，AD3，AB4，BC求∠BAAE∥CDBCEAECD∴AD=EC，CD=∵AB=CD=4,AD=3,BC=7∴BE=AE=AB=∴△ABE∴∠B=

规律57.从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角形求证：CO=A、DAE⊥BC，DF⊥BCE、FAEFD∴AE=∵AB=AC，AE⊥BC，∠BAC=∴AE=BE=CE=1BC，∠ACB=2∵BC=1∴AE=DF O2O∴∠DBC= ∵BD=∴∠BDC=12=

F∵∠DOC=∠DBC＋∠ACB=30o＋45o=∴∠BDC∴CO=规律58.从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC10，DE⊥BCDE的长DDF∥ACBCFACFD∴AC=DF，AD=ABCD∴AC=

∴BD=1∴BE=EF 2 (BC＋CF)

1 ×10=2∵BE=∴DE=BE=EF答：DE

BF=2规律59.延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形ABCDABDC，∠BABCD∵∠BAD∴EB= AD又∵AB∴AE∴∠EAD∵∠E＋∠EAD＋∠EDA= ∠B＋∠C＋∠E=∴∠EAD∵AD≠BC，∠BABCD（ABCDA、DBC的垂线规律60.有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形例：已知,ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，EF⊥AB求证：S梯形ABCDEMN∥ABADMBCNABNM∴S□ABNM=∴∠M又∵DE= ∠1 =

A F12F12∴S梯形ABCDS五边形ABNED＋S△CENS五边形S梯形ABCD例：已知,ABCD中，AD∥BC，AB⊥ADA，DEEC求证：∠AECBEAD∴∠3又∵∠1 ED=∴BE= DN=∴AE=EN=∴∠N∴∠AEB=∠N＋∠DAE=∵DE= BC=∴DE=∴∠N∵∠1 ∠N∴∠2∴∠AEB＋∠2=即∠AEC

1E1E23C规律62.梯形有底的中点时，常过中点做两腰的平行线例：已知,ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E、FAD、BC求证：∠BEEM∥ABEN∥CD,BCM、N，则得∴AE=BM，AB∥=EM，DE=CN，CD=∵AE=∴BM=又∵BF=∴FM=∴EM=∴∠1∵AB∥EM，∴∠1 ∠2∴∠B=

规律63.任意四边形的对角线互相垂直时，它们的面积都等于对角线乘积的一半例：已知,ABCD中，AD∥BC，ACBD交于OAC⊥BD，AC4，BDABCD的面积.1∴S△ABD2

S△BCD

O O∴S梯形ABCDS△ABD

1 2S梯形ABCD

AC·BD2

2ABCD规律64.有线段中点时，常过中点作平行线，利用平行线等分线段定理的推论证题（BE＞CE）AE求证：FCDDDN∥AEBC∵DAB∴BN=又∵EBC∴BN=EN=∴FCD规律65.有下列情况时常作三角形中位线⑴有一边中⑵有线段倍分关系⑶有两边（或两边以上）中点

DF DFO1N51N53F 求证：OF 2AENON,ON为△ACE1

∴ON∥CE，ON 2∴∠6ABCD∴∠3=∠4=∴∠5=∠3＋∠1,∠6∵∠1∴∠5∵∠6∴∠ONE∴ON=1∴OF 2规律66.有下列情况时常构造梯形中⑴有一腰中⑵有两腰中⑶涉及梯形上、下底1：已知,ABCD中，AD∥BC，∠DAB90o,ECDAE、求证：AEABFEFE E∴∠DAB=∠EFB ∴EF为AB的中垂 ∴AE=2：从□ABCDABCDMNAA’、BB’、CC’、DD’，垂足分别为AC、BDOOOE⊥MNEDAOCBDAOCB∴AO=∴A’E=同理可证：BB’＋DD’= 规律67.连结任意四边形各边中点所得的四边形为平行四边形规律68.连结对角线相等的四边形中点所得的四边形为菱形

A'

C'D'规律69.连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形为矩形规律70.连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形为正方形71.连结平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各边中点所得的四边形分别为平行四边规律72.等腰梯形的对角线互相垂直时，梯形的高等于两底和的一半（或中位线的长以上各规律请自己证明.（利用中位线证明规律73.等腰梯形的对角线与底构成的两个三角形为等腰三角形∠AOB60oE、F、MOD、OA、BC的中点求证：△MEF是等边三角形E∵四边形ABCD为等腰梯 E∴AD=BC，AC= 又∵AB为公共 B∴∠CAB∴OA=∵∠AOB=∴△ABO为等边三角形又∵FAO中点∵MBC1∴MF 21同理可证：ME 2∵E、FOD、OA1∴EF 2∵AD=∴ME=MF=∴△MEF规律74.如果矩形对角线相交所成的钝角为120o，则矩形较短边是对角线长的一半ABCDAC、BDO，∠AOBO O求证：AB 2（证明略 规律75.梯形的面积等于一腰的中点到另一腰的距离与另一腰的乘积例：已知,ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，EF⊥AB求证：S梯形ABCDEMN∥ABADMBCNABNM∴S□ABNM=∴∠M又∵DE= ∠1 =

A F1F12∴S梯形ABCDS五边形ABNED＋S△CENS五边形76.若菱形有一内角为120o，则菱形的周长是较短对角线长4倍.ABCD是菱形，∠ABC=120O.求证:AB= （证明略ACB相似形和解直角三角形部规律77.当图形中有叉线（基本图形如下）时，常作平行线例：已知，如图，AD为△ABC的中线，FAB上任一点，CFAD

FFN∥BCAD∴AF FN 又∵CD=

A

F 规律78.有中线时延长中线（有时也可在中线上截取线段）构造平行四边形例：AD为△ABC的中线，EAD上一点，BE、CEAC、ABM、ADFDFDEBF、CFBFCE ∴AN

N DN D ∴ANAM

规律79.当已知或求证中，涉及到以下情况时，常构造直角三角形⑴有特殊角时，30o、45o、60o、120o、135o角时⑵涉及有关锐角三角函数值时构造直角三角形经常通过作垂线来实现AC60o8B，再C30C岛最近？最近距离是多少？解：由题可作图，且∠CAB60o，∠ABC120o，ABBC8（海里）Rt△ABC中，BC=8，∠CBD=60o，北CAB∴BDBC·cos60o8×1北CAB2CD=

3= =32

（海里 33规律80.0o、30o、45o、60o、90o角的三角函数值

海里三角函0122232113222120tan0313——3130另外：0o、30o、45o、60o、90o的正弦、余弦、正切值也可用下面的口诀来0o可记为区号不存在，即：010不存在，90o正好相30o、45o、60o可记为1、2、3、3、2、3、9、分子根号别忘添81.同角三角函数之间的关系：（1）.平方sin2cos2（3）.商数tansincos

（2）.倒数关系tancotcotsin规律82.任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值83.任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值.84.三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦之积的一半.例：已知△ABC中,∠A60o,AB6,AC4,求△ABC的面积。BD⊥ACDRt△ABD中，BD1∴S△ABC2

1 21 D2D33 33= =22规律85.等腰直角三角形斜边的长等于直角边 倍23规律86.在含有30o角的直角三角形中，60o角所对的直角边是30o角所对的直角边 倍.（即33角所对的直角边是几，另一条直角边就是几 35规律87.直角三角形中，如果较长直角边是较短直角边的2倍，则斜边是较短直角边 倍588.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一OABC、D二点.求证：AC证明:OOE⊥ABOACDOACD∴AE= CE=∴AC=练习：如图，AB为⊙O的弦，P是AB上的一点，AB= PA=4cm.OBPA⊙OOBPA规律89.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角AB是⊙O的直径，M、NAO、BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,（∵M、NAO、BO∴OM

AO、ON ∵OA=∴OM=CDMO∵CM⊥OA、DNCDMO∴ ∴∠COA= ∴∵M、NAO、BO∴AC= BD=∵OC=∴AC=∴规律90.有弦中点时常连弦心M、N分别是⊙OAB、CD的中点,ABCD，求证：∠AMN∠CNMOM、ON∵O为圆心，M、NAB、CD ∵AB=MNOBMN