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几类可降阶的高阶微分方程2

在科学技术和经济管理等许多实际问题中，系统中的变量间往往可以表示成一个（组）或差分方程，它们是两类不同的方程，前者处理的量的离散变量，间隔时间周期作为统计的.动态是连续变量；而后者处理的量则是依次取非负整数值例如在经济变量的数据中就有很多以湘潭大学数学与计算科学学院3

几类可降阶的高阶微分方程四、小结一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程湘潭大学数学与计算科学学院4下面介绍三类可降阶的高阶微分方程的解法.

二阶和二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程.有些高阶微分方程，可以通过自变量或未知函数的代换降低阶数，从而求出解来.湘潭大学数学与计算科学学院5一、令因此即同理可得依次通过

n

次积分,可得含

n个任意常数的通解.型的微分方程变量代换则湘潭大学数学与计算科学学院6例1解

（此处湘潭大学数学与计算科学学院7例2

解微分方程.解对方程两边积分得：再对以上二阶方程积分得最后对以上一阶方程积分，得通解为

湘潭大学数学与计算科学学院8型的微分方程设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、则变量代换湘潭大学数学与计算科学学院9例3

求解解令代入方程，得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为则湘潭大学数学与计算科学学院10三、型的微分方程

令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解变量代换则湘潭大学数学与计算科学学院11代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解设则

例4求解湘潭大学数学与计算科学学院12解令代入方程，得积分得利用初始条件,则例5解初值问题湘潭大学数学与计算科学学院13故所求特解为积分得得根据湘潭大学数学与计算科学学院14四、小结可降阶微分方程的解法——

降阶法逐次积分令令则则湘潭大学数学与计算科学学院15思考与练习1.方程如何代换求解?答:令或一般说,用前者方便些.

均可.有时用后者方便.例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答:(1)

一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意

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