安徽省江南十校2026届高三3月联考数学试卷（含解析）

2026届高三综合素质检测数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后,将答题卡交回。一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.设集合A={1,2A.{2,3}B.{2.复数2i2A.25+45iB.3.数据35,54,46,36,73,85,60,89的第75百分位数为A.79B.54C.50D.414.2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从A地出发，以52km/h的静水速度向对岸航行，水流速度为5km/h，要使航程最短，大约需要多长时间A.43B.65.已知双曲线C:x2a2−y22=1a>0，在双曲线C左支上任取两个不同的点P1x1,A.3B.3C.2D.26.若a,b,c为正实数，且有A.c>a>bB.a7.A4纸是生活中最常用规格的纸.A系列纸张命名规则:①一张Ai型号纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张Ai+1型号纸张,比如,一张A0纸对裁后可以得到两张Al纸，一张Al纸对裁后可以得到两张A2纸；②一张A0型号的纸张面积是1平方米,A10纸是ISO国际标准中最小的纸张规格；③所有Ai型号的纸的长宽比相等.现从A0到A.422C.2428.如图,抛物线C的方程为y2=2pxp>0,焦点是F,圆心在x轴上的圆E与抛物线C在第四象限有且只有一个公共点M,且它们在点M处的切线是同一条直线.若点M的横坐标为3A.18B.12C.9D.6二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是A.若成对样本数据xi,yii=1,2,⋯,n都落在一条直线上,则变量xB.若PA>0,PB>0,则事件C.用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性,如果把2×2的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍,在相同的检验标准下,D.数据x1,x2,⋯,xm的平均数和方差分别为x和sx2,数据y1,y2,⋯,yn的平均数和方差分别为y和s10.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，BC1和B1C相交于点OA.DOB.DB1与CM所成角的正弦值为C.点M到平面AB1CD.多面体EFGHIO的内切球半径为311.已知函数fx=sinA.fx的最小正周期为B.fx的图象关于点π,C.fx在区间π4D.fx的零点构成的集合是三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知a=3,b=3,向量a在向量b上的投影向量为2b,则13.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C14.有一个摸奖游戏，在一个不透明的口袋中装有大小相同的3个红球和5个白球，红球分别标有数字1,2,3，白球分别标有数字1,2,3,4,5，若一次性从袋中摸出三个球，摸到三个球同色或摸到三个球数字之和为3的倍数就中奖，则中奖的概率为_____.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题13分)已知等差数列an的前n项和为Sn,且(1)求数列an(2)若bn=an+1an+1−1416.(本小题15分)托马斯·贝叶斯(ThomasBayes)在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式:设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪⋯∪AnP这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理),其中k=1nPAkPB∣A(1)假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是0.3，设同时发生故障的车床数为随机变量X,求X的分布列和数学期望;(2)假设该车间生产了两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件,其中有3件次品.现从两箱中等可能地随机挑选一箱,然后从该箱中随机取一个零件.已知取出的是次品,求它是从第二箱中取出的概率.17.(本小题15分)已知梯形ABCD,AB//CD,AB⊥AD,AB=2AD=2CD=4(1)证明:AC⊥DG(2)当折成直二面角时,求线段EF的长度;(3)当DG=2时，求平面BCG与平面DCG18.(本小题17分)如果点Mx,x设点M的轨迹为Ω.(1)求Ω的方程；(2)若点S0,−1，T0,1，P为轨迹Ω上一点(不在坐标轴上)，设点I，G①证明:IG所在的直线与y轴平行;②过G作直线l与轨迹Ω交于点A,B，且AG=BG，求△函数fx(1)当a=e−π时，求函数fx(2)若fx在x∈0,π4(3)当a=0时，设gx=2fx+f′x，若x1参考答案与评分细则一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.题号12345678答案DBADCACA1.由并集的定义A∪B={2.∵2i2+i=2i23.第一步,将数据从小到大排列为:35,36,46,54,60,73,85,89第二步,∵n第三步，取第6个73与第7个85的平均数为79，选A.4.设点B是长江对岸一点,AB与江岸垂直,当汽车实际沿AB方向行驶时,航程最短.设汽车的速度v1,水流的速度v2,实际速度∴v则航行时间为15×605.∵任取双曲线C左支上两个不同的P1x1,∴O∴ba6.log在同一个坐标系下考察函数y=log2x,y当t=0时,a当t>0时,当t<0时,a>b7.设Aii=0,1,2,…,10∵b∵∴∵∴选C.8.解答:如图,作出抛物线C和圆E在点M处的公共切线l,同时过M作射线MN//x则有EM⊥l，由抛物线的光学性质，∠∴FE且kEM=tan∠EMN=33=0−yM3+p−二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.题号91011答案ABACDBD9、A正确，B正确，对于C,因为K2=nad−bc2a+bc+da+cb+对于D,反例:第一组:1,1,1,第二组:0,2D不正确.故选AB10、对于A,因为△DBC1是等边三角形,且O是BC1中点,所以DO⊥BC1,A方法二:对B,在正方体ABCD−A1B1C1D1右侧补一个等大的正方体BSTC−B1S1T1C1,作C1T1的中点G,连B1G,对于C,点M是AB的中点,所以点M到平面AB1C的距离是点B到平面AB1C的距离的一半,又BD1⊥平面AB1C,点B到平面AB1C对于D,易知EFGHIO是正八面体,棱长为2,所以它的内切球的半径r=3V故选ACD.11A.fx+π=−sinB.f2π−C.f当f′x=0时,x=π4或2π3或3π4D.由C可知,fx在0,π4递增,在π4,在3π4,π递减.而f2π3>0,∴0,故选BD三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.63 设a与b的夹角为θ,向量a在向量b上的投影向量为acos13.3−12 ∵sinC∴3∵A14.13方法一:摸球总的方法数是C83第一类:全红有C33第二类:2红1白,若红球摸1+2号,白球只能是3号(1种);若红球摸1+3号,白球可以是2或5号(2种);若红球摸2+3号,白球可以是1或4号(2种),故第二类共1+2第三类:1红2白,若红球摸1号,白球可以是1+4号、2+3号、3+5号(3种),若红球摸2号,白球可以是1+3号、2+5号、3+4号(3种),若红球摸3号,白球可以是1+2号、1+5号、2+4号、4+5号(4种)，故第三类共3+3+4=10种；第四类:全白有C53故所求概率为1+方法二:按照容斥原理计算(1)三个球同色的方法数:C(2)三个球数字之和为3的方法数:分三种情况第一种:和为6的:1+2+3型有23=8;1+第二种:和为9的:1+3+5型有2+3+4型有2×2×1=42+2+5型有1×1×1=1第三种:和为12的:3+4+5型有2×1所以三个球数字之和为3的方法数共20种故共有11+20故所求概率为2656四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题13分)解:(1)数列an为等差数列,设首项为a1,公差为d,a2n=2an+1∴a2=2a1a即数列an的通项公式为an(2)bn=an+1an-13分16.(本小题15分)解:(1)设p=0.3,由题意知:X∴所以X的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.027∴E-5分(2)设B=Ai=“零件是从第i箱取出的”i=1,2,则有题意知:PPB∣由全概率公式:PB=PA217.(本小题15分)(1)证明:连接OD、OG,则AC⊥OD,∵OD∩OG=∴AC⊥平面∵DG⊂平面∴AC⊥(2)方法一:由(1)可知，∠DOG为二面角D−由题意OD⊥平面ABC,作EH⊥AC于H,则EH//OD∵FH⊂平面ABC△OFH中,OH∴F∴EF方法二:由(1)可知,∠DOG为二面角D−由题意∠∴以OA、OG、OD所在直线为xA∴E∴EF=(3)∵OD=OG=DG=2,∴∠DOG=60∘.在平面由(1)知平面DOG⊥平面AOG,∴OH⊥以OA、OG、OH所在直线为xD0设平面DCG的法向量为n2x+2y=0−22平面BCG的法向量m=0,0,118.(本小题17分)解:(1)由椭圆的定义,点M的轨迹是以0,1,0,−1为焦点,长轴2a=4的椭圆-2分所以点(2)由(1)知,S0,−1,T0,由题意知PG交y轴于点O,设直线PI交y轴于N,∵G为ΔPST∴PG分方法一、∵I为ΔPST∴IT,IS∴∴PIIN∴PIIN=2=PG∴IG与y轴平行分方法二:由对称性,不妨设点Px0,y0x12∴IG与y-10分(3)设点Px0,y0x∵PT=x0则∴同理:PS∵I为△PST∴又∵-13分设Ax1x12设−43x0y0=k,则直线l:y−y则Δ=483k2+4−m∴∴x1∴S(或者,其中3k分19.(本小题17分)(1)当a=e−π时，fxf′x所以有fπ2=0,f′π2=4eπ2即4eπ(2)由题意，fx在0,π4上没有零点，等价于方程excos3x−a即等价于方程4cos3x−3cosx−a即等价于方程4cos2x−3−等价于方程4cos2x−3e等价于方程2cos2x−1e2x=a设t=2x∈0,π2,原题等价于关于t的方程设hth′t当t∈0,π2时,t∴h′t<0对t∈0,π2又h0=1,hπ2=−e-8分