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第八部分不定积分

8.1不定积分的概念和基本积分公式原函数和不定积分基本积分公式表不定积分的线性运算法则例定义1：一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？例（为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数，（2）若和都是的原函数，则（为任意常数）证（为任意常数）

根据定义，如果F(x)是f(x)的一个原函数，则其中C是任意常数，称为积分常数。二、不定积分

定义2

函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量不定积分的相关名称：

———叫做积分号，

f(x)——叫做被积函数，

f(x)dx

—叫做被积表达式，

x

———叫做积分变量。

例1．

例2．

例3．

解：-1O1xyy=x2

函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。C1

y=x2+C1

C2

y=x2+C2

C3

y=x2+C3

函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。三、不定积分的几何意义

例4．求过点(1,3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。解：设所求的曲线方程为yf(x)，则y

f(x)2x，即f(x)是2x

的一个原函数。

因为所求曲线通过点(1,3)，故31C，C2。于是所求曲线方程为yx22。-2-1O12x-2-112yyx2+2

yx2(1,3)

．所以y=f(x)x2C。实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.四、基本积分公式基本积分表是常数);说明：简写为例求积分解根据积分公式（2）例1．例2．例3．例4．例5．例6．例7．例8．例9．例10．例11．例12．证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）五、不定积分的性质例13

求积分解说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.基本积分表(1)不定积分的性质

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